文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，且 ，则 （ ）
A．3 B． C．5 D．
3．已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
4．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，若对任意的正数 、 ，满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
7．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，
某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织 去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲
工作，每村至少1人，其中 不去甲村，且 不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
8．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 、 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点， ，
，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方体 的棱长为3，点P是平面 内的动点，M，N分别为 ， 的中
点，若直线BP与MN所成的角为 ，且 ，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ）A． B． C． D．
12．已知函数 有两个极值点 ， （ ），函数 有两个极
值点 ， （ ），设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做
等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 是等和数列，且 ，公和为1，那么这个数列的
前2023项和 .
14．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向左平移 个单位
长度，得到函数 的图象，若对任意的 ，均有 成立，则 的最小值为 .
15．已知 是球 的球面上的三点， ，且三棱锥 的体积为 ，
则球 的体积为 ．
16．已知关于 的不等式 恰有3个不同的正整数解，则实数 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）在 中， ，D为 中点.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
18．（12分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车 与
电动自行车 两种车型，采用分段计费的方式租用. 型车每 分钟收费 元（不足 分钟的部分按 分
钟计算）， 型车每 分钟收费 元（不足 分钟的部分按 分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相
互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过 分钟还车的概率分别为 ，
并且四个人每人租车都不会超过 分钟，甲乙丙均租用 型车，丁租用 型车．
（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；
（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量 ，求 的概率分布和数学期望．
19．（12分）如图，在四棱锥 中，已知底面 是正方形， 底面 ，且
， 是棱 上动点.
(1)证明： 平面 .(2)线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值是 ？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存
在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， ， 均成立；若
存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数 的极值；
(2)已知 ，若 恒成立.求证：对任意正整数 ，都有 .
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系 中，已知直线 的方程为 ．以 为极点， 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)射线 与曲线 和直线 分别交于点 ，点 是曲线 上一点，求 面积的最大
值．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
