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玉溪师范学院附属中学 2024-2025 学年高三上学期开学适应性考试
数学
考试范围：高考范围；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一､单选题（每小题5分，共8小题，共计40分）
1.已知集合 ，若 ，则所有 的取值构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A.8 B.9 C.10 D.100
3.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据 ，后来复查数据时，又将 重复记
录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A.平均数 B.中位数 C.极差 D.众数
4.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 是抛物线 上的两点， 为坐标原点.若 ，且 的面积为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标为（
）A. B. C. D.
7.若" "为假命题，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，若关于 的方程 有两个不等
实根 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（每小题6分，共3小题，选对得部分分，选错得0分，共计18分）
9.在 的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A.偶数项的二项式系数之和为32
B.第3项的二项式系数最大
C.常数项为60
D.有理项的个数为3
10.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，左､右顶点分别为 是 上异于
的一个动点.若 ，则下列说法正确的有（ ）
A.椭圆 的离心率为
B.若 ，则
C.直线 的斜率与直线 的斜率之积等于
D.符合条件 的点 有且仅有2个
11.已知函数 的定义域为 ，则（ ）A. B.函数 是奇函数
C. D. 的一个周期为3
第II卷（非选择题）
三､填空题（每小题5分，共3小题，共计15分）
12.某省的高中数学学业水平考试，分为 五个等级，其中 等级的比例为 .假设
某次数学学业水平考试成绩服从正态分布 ，其中王同学得分88分等级为 ，李同学得分85分
等级为 .请写出一个符合条件的 值__________.
（参考数据：若 ，则 ，
13.有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占 ，甲厂生产的次品率为 ，乙厂生产
的占 ，乙厂生产的次品率为 ，从中任取一件产品是次品的概率是__________.
14.已知函数 的部分图象如图所示.若在 中，
，则 面积的最大值为__________.
四､解答题（15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分，共计77分）
15.已知等差数列 ，若 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设 ，求数列 的前 项和 .
16.2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经
过一段时间的运营后，统计得到 之间的五组数据如下表：1 2 3 4 5
9 11 14 26 20
其中， （单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入， （单位：百万元）是科技创新和市场开发
后的收益.
（1）求相关系数 的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发
的总投入 的线性相关程度；
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：
满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
是否有 的把握认为消费者满意程度与性别有关？
（3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行
现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为 ，求
的分布列及数学期望.
参考公式：① ；
② ，其中 .
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据： .
17.如图所示， 是 的直径，点 是 上异于 平面 分别为 ， 的中点，（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，二面角 的正弦值为 ，求 .
18.已知双曲线 的渐近线方程为 ，左焦点为F，过 的直线为 ，
原点到直线 的距离是 .
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 交双曲线于不同的两点 ，问是否存在实数 ，使得以 为直径的圆经过
双曲线的左焦点 .若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
19.设实系数一元二次方程 ①，有两根 ，则方程可变形为
，展开得 ②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相
反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程 有三个根 ，则有 ③
（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
（2）已知函数 恰有两个零点.
（i）求证： 的其中一个零点大于0，另一个零点大于-2且小于0；
（ii）求 的取值范围.玉溪师范学院附属中学 2024-2025 学年高三上学期开学适应性考试
数学 答案
考试范围：高考范围；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一､单选题（每小题5分，共8小题，共计40分）
1.【答案】C
【详解】 ，故当 时，易求 ；
当 时，由 得， 或2.综上得：
2.【答案】C
【详解】 ，所以
3.【答案】C
【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将 重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极差一定不变，
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
4.【答案】A
【详解】由解析式知： ，
时 递增； 或 时 递减；
结合各选项易知：A符合要求.
5.【答案】C
【详解】如图，
，知 两点关于 轴对称，设
，解得 ，
.
6.【答案】B
【详解】因为向量 以 为基底时的坐标为 ，所以 ，
设 ，
由空间向量基本定理得 ，解得
所以 以 为基底时的坐标为 .
7.【答案】C【详解】由题意得该命题的否定为真命题，即" "为真命题，
即 ，
令 ，因为 ，则 ，则存在 ，使得 成立，
令 ，令 ，则 （负舍），
则根据对勾函数的性质知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，则 ，则 .
8.【答案】B
【详解】由 可得：
函数 的定义域为 ，
所以函数 在 上单调递增.
令 .
因为关于 的方程 有两个不等实根 ，
则关于 的方程 有两个不等实根 .
作出函数 的图象，如图所示：
所以结合图形可知 .
由 可得： ，解得： ，即有 .
设 ，则 .
令 ，得： ；令 ，得： ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 .
二､多选题（每小题6分，共3小题，选对得部分分，选错得0分，共计18分）
9.【答案】AC
【详解】偶数项的二项式系数之和为 ，故A正确；
根据二项式，当 时 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误
，
令 ，故C正确；
为整数时， ，故有理项的个数为4，故D错误.
10.【答案】AC
【详解】A选项， ，因为 即 ，
解得 ，所以离心率 ，故A正确；
B选项，若 ，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ，又因为点 在椭圆上，所以 ，
所以 ，又由 ，解得 ，
所以 ，故B错误；
C选项，设
则 ，
又因为点 在椭圆上，所以 ，因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ，故C正确；
D选项，因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，半径为 ，
又因为 ，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件
的点 ，故D错误.
11.【答案】AC
【详解】令 ，则 ，所以 ，A选项正确；令 ，则 ，即 ，所以 是偶函数，B选项
错误；
，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，C选项正确；
令 ，则 ，
所以 ，所以 的一个周
期为 选D项错误.
第II卷（非选择题）
三､填空题（每小题5分，共3小题，共计15分）
12.【答案】7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）
【详解】由题意可知， ，解得 .
故答案为：7（答案不唯一，只需要填区间 内的任意一个值）.
13.【答案】
【详解】设 为甲，乙两厂生产的产品， 表示取得次品，
，
所以 .
所以任取1件产品的概率为0.026.
14.【答案】
【详解】由图象可得 ，解得 ，所以 ，由 ，由图 ，即 ，
由 ，得 .故 ，
在 中， ，
，即 ，
设角 的对边为 ，由 ，
则 ，
，当且仅当 时等号成立.
，所以 面积最大值为 .
四､解答题（15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分，共计77分）
15.【答案】（1） 或 （2）
【详解】解：（1） ①
成等比数列， 化简得 ，若
若 ②，由①②可得，
所以数列的通项公式是 或
（2）由（1）得
16.【答案】（1）0.84，科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发的总投入 具有较强的相关性.（2）有；（3）分布列见解析，
【详解】（1）由题意可得 ，
，
，
.
"科技创新和市场开发后的收益 与科技创新和市场开发的总投入 具有较强的相关性.
（2）由题意：
满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
，
有 的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人，不满意的有4人
由题意可知， 的可能取值为 ，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4.
17.【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为 平面 平面 .所以 ，
因为 是 的直径，知 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
由 分别是 的中点，所以 ，所以 平面 .
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设 ，且 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量 ，
设平面 的一个法向量 ，则
则 ，即 ，
取 ，得 ，则 ，
因为二面角 的正弦值为 ，则其余弦值为 ，
所以 ，化简得 ，
又因为 ，所以 ，解得： ，即 ，
所以 ，即 .18.【答案】（1） .（2） .
【详解】试题分析：（1） ，
原点到直线 的距离， .
.故所求双曲线方程为 .
（2）把 代入 中消去 ，整理得 .
设 ，则 ，
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ，
可得 把 代入，
解得：
解 ，得 满足
19.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii） .
【详解】（1）证明：因为方程 有三个根 ，
所以方程 即为 ，
变形为 ，
比较两个方程可得 .
（2）（i）证明： 有两个零点， 有一个二重根 ，一个一重根 ，且由（1）可得 ，由 可得 .
由 可得 .
联立上两式可得 ，解得 ，
又 ，综上 .
（ii）解：由（i）可得 ，
.
令 ，则 ，
，当 时， ，
在 上单调递增， ，
.
