文档内容
石嘴山三中2024届高三一模考试数学（文科）试题答案
一．单选题 ACDADB CDABDB
二．填空题 3， ， ②③⑤
，
三．答案详解
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求解 ，再求解 ，确定选项.
【详解】因为 ，
所以 .
2．设 在复平面内对应的点为 ，则 在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数运算法则化简 即可求解.
【详解】依题意得 ，
所以 ，
则 在复平面内对应的点为 ．
故选：C
3.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
1 25成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领
域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作
用．制造业PMI高于 时，反映制造业较上月扩张；低于 ，则反映制造业较
上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计
图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）
A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张
C．2022年1月至4月制造业逐月收缩
D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
【答案】D
【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与 比较，即可得到答案.
【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于 ，故A
项错误；
对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于 ，故B项错误；
对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于 ，故C项错误；
对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年
6月PMI超过 ，故D项正确.
故选：D.
4.已知某运动员每次投篮投中的概率是 0.4.现采用随机数法估计该运动员三次投篮
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
2 25中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1，2，3，4
表示投中，5，6，7，8，9，0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投
篮的结果．现产生了如下 10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估
计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为( A )
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义域为 的偶函数，在区间 上单调递增，且对任意
，均有 成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即
可求解.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故 不是偶函数，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，
又 定义域为全体实数，它关于原点对称，且 ，
即函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， 单调递增，满足题意.
故选：D.
6已知平行四边形 ABCD的三个顶点为 A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
3 25（x，y）在平行四边形ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（ B）
A（-14，16） B（-14，20） C（-12，18） D（-12，20）
7．正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成角的正切值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】平移直线 到 ，将直线DP与 所成的角转化为DP与 所成的
角，利用几何求法求解即可.
【详解】
连接 ，根据正方体的性质可知 ，
所以 或其补角为直线 DP与 所成的角，
因为 平面 ， ⊂平面 ，所以 又 ，
， ⊂平面 ，所以 平面
又 平面 ，所以
设正方体的棱长为2，则
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
4 25在 中， 所以 故直线 与 所成的角的
正切值为 .
故选: C.
8.已知函数 （其中 ）图象的一个对称中心为 ，为了得到
的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【分析】根据题意，利用正弦型函数的性质求得 ，再结合三角函
数的图像变换，即可求解.
【详解】因为函数 的一个对称中心为 ，且 ，
将点 代入 ，可得 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
5 25所以函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象.
故选：D.
9．如图，在 中， ， 为 上一点，且 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意可知 三点共线，进而得到 ，利用向量基本定理表示出
,进而表示出 计算即可.
【详解】因为 ，所以
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
6 25因为 三点共线，所以 ，解得 ，
所以 ，
而 ,
所以 ,
即 .
10．已知数列 满足 ，设其前 项和为 ，则
（ ）
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
【答案】B
【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解.
【详解】若 ，则 ，
若 ，则 ，
所以数列 的偶数项构成以2为首项，公差为2的等差数列，奇数项构成常数数
列，
.
故选：B.
11.已知 ， ， ，则a，b，c（ ）
A． B． C． D．
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
7 25【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
【详解】令 ，求导得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
则 ，即 ，而 ，于是 ，
所以 .
故选：D
12.已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 在 上， 在 轴
上， ，以 为直径的圆过 ，且 的面积为 ，则椭圆 的标准
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ,表示出 的面积，结合向量关系以及垂直关系，
求出点 ，借助椭圆的定义求解即可.
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
8 25【详解】
结合题意可得： ， ，设 ，
则由 的面积为 ，得 ①，
由 ，得 ②．
连接 以 为直径的圆过 ， ③．
由②③得 ，
结合①得 ，
，
，故椭圆 的标准方程为 ，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在各项均为正数的等比数列 中， ，则 .
【答案】3
【分析】利用等比数列的性质，结合对数运算性质求解即可.
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
9 25【详解】解： .
故答案为：3
14.已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个
球表
面积是 ___ __
15．已知双曲线 的左焦点为 ，过 作一倾斜角为 的直线交双曲线右支
于 点，且满足 （ 为原点）为等腰三角形，则该双曲线的离心率 为
．
【答案】 /
【分析】画出图形利用双曲线定义并根据 为等腰三角形可得 ，再
由勾股定理可得 ，即求出离心率.
【详解】如图，连接 ，
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
10 25因为P在双曲线的右支上，则 ，又易知双曲线 的左焦点
，
又因为 为等腰三角形， ，可知 ，
可得 ，即 ，又 ，
即 为等边三角形，即 ， ，
所以 ，
所以在直角 中， ， ，则 ，
所以 ，即 ，
解得 ．
故答案为：
16．下列命题中：
①若集合 中只有一个元素，则 ；
②已知命题p： ， ，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是
；
③已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ；
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
11 25④函数 在 上单调递增；
⑤方程 的实根的个数是2.
所有正确命题的序号是 .
【答案】②③⑤
【分析】利用判别式可判断①；利用特称命题的否定为全称命题可判断②；求出
的定义域可判断③；分离常量后根据反比例函数的单调性可判断④；在同一坐
标系中作出 和 的图象可判断⑤.
【详解】对于①： 时， ； 时， ，则 ，故 或
1，
故错误；
对于②：p： ， 为假命题，则 ， 为真命题，
故 即 ，故正确；
对于③： ，则 ，即 的定义域为 ，故正确；
对于④： ，其在 上单调递减，故错误；
对于⑤：在同一坐标系中作出 和 的图象，观察两图象有2个交
点，
则方程 的实根的个数是2，故正确.
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
12 25故答案为：②③⑤.
三、解答题(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色
学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
(1)根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱．
（已知： ，则认为y与x线性相关性很强； ，则认为y与x线
性相关性一般； ，则认为y与x线性相关性较弱）：
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2025年足球特色学校的个数（精确到
个）．
参考公式和数据： ，
， ， ．
【答案】(1) ，y与x线性相关性很强
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
13 25(2) ；244个
【分析】（1）根据公式求解相关系数r，再根据 判断即可；
（2）先根据公式求得回归方程 ，再代入 求解即可.
【详解】（1）由题得 ，
.
所以 ，
∴y与x线性相关性很强．
（2） ，
，
∴y关于x的线性回归方程是 ．当 时，
，
即该地区2025年足球特色学校有424个．
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
14 2518．已知函数
(1)求 的单调递增区间；
(2)三角形 的三边a，b，c满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用倍角公式以及两角和差的正弦公式进行化简可得
，然后根据函数的单调性即可求得 的单调递增区间；
（2）根据余弦定理可求得 ，便可知 的取值范围从而求得 的取值范围.
【详解】（1）解：由题意得：
当 时，函数 单调递增，解得：
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
15 25的单调递增区间：
（2）由 可知
由余弦定理得：
故可知
∴
又
∴ ．
19．如图，在圆锥 中， 是圆 的直径，且 是边长为4的等边三角形，
为圆弧 的两个三等分点， 是 的中点.
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
16 25(1)证明： 平面 .
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）利用平行四边形对边平行可得 ，再由线面平行判定定理求
证；
（2）利用等体积法求点面距离即可得解.
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 .
因为 为圆弧 的两个三等分点，所以 .
因为 分别为 的中点，所以 ，
则 ，从而四边形 为平行四边形，
故 .
因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）作 ，垂足为 ，连接 .
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
17 25由 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
因为 为圆弧 的两个三等分点，所以 ，则 .
因为 是边长为4的等边三角形，所以 .
因为 是 的中点，所以 ，
则三棱锥 的体积 .
因为 ，所以 ，则 .
设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积 .
因为 ，所以 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
.
20．已知抛物线 和圆 ，倾斜角为45°的直线 过 的
焦点且与 相切．
(1)求p的值：
(2)点M在 的准线上，动点A在 上， 在A点处的切线l 交y轴于点B，设
2
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
18 25，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定直线方程为 .
【分析】（1）设直线l 的方程为 ，再根据直线和圆相切求出 的值得解；
1
（2）依题意设 ，求出切线l 的方程和B点坐标，求出 ，
2
，即得证.
【详解】（1）由题得抛物线 的焦点坐标为 ，
设直线l 的方程为 ，
1
由已知得圆 的圆心 ，半径 ，
因为直线l 与圆 相切，
1
所以圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
所以 .
（2）依题意设 ，由（1）知抛物线 方程为 ，
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
19 25所以 ，所以 ，设A ， ），则以A为切点的切线l 的斜率为
2
所以切线l 的方程为 ．
2
令 ，即l 交y轴于B点坐标为 ，
2
所以 ，
∴ ，
∴ ．
设N点坐标为（x，y），则 ，
所以点N在定直线 上．
21．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
20 25【详解】（1）当 时， ，则 ，
，所以 ．
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由 有两个零点，
得方程 在 上有两个不同的实数解．
当 时，显然方程没有正实数解，所以 ．
则方程 在 上有两个不同的实数解．
令 ，则 ．
显然 在 上为减函数，又 ，
所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．
当 时， ；当 时， ，
要使方程 在 上有两个不同的实数解，
则 与 的图象在 上有两个不同的交点，
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
21 25结合图象可知 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选
题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （其中 为参数）.以
坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)已知点 ，直线l与曲线C交于M，N两点，求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的关系求直线的直角坐标方程；消去参数得到
曲线C的普通方程；
（2）先求出直线的参数方程，代入曲线中，得到韦达定理，再由根与系数的关系求
出结果.
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
22 25【详解】（1）将 代入 ，得 ，
所以直线l的直角坐标方程为 .
由曲线C的参数方程为 ，化为 ，
平方相加得曲线C的普通方程为 .
（2）易得点 在直线l上，
由此可得直线l的参数方程为 （其中t为参数），
将其代入曲线C的普通方程中得 ，
设点M对应的参数为 ，点N对应的参数为 ，则 ， ，
所以 ， 一正一负，
所以 .
23．设函数 的最小值为t
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且 ，求证： .
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
23 25【答案】(1)3；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分类讨论去 中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取
值范围，即可求解；
（2）由（1）得 ，利用已知等式有 ，再应用
基本不等式，即可证明结论.
【详解】（1）（1）
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
所以当 时， 取最小值 .
（2）由（1）可知 ，因为 ， ， 为正实数，
.
当且仅当 ，即 ， ， 时取等号，
所以 .
第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
24 25第 页 共 页
学科网（北京）股份有限公司
25 25
