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绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
( 银川一中第一次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
z 1
2．已知 =1− ，则|z|=
1+i i
❑√2
A．❑√2 B． C．2 D．1
2
3．若直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则 与 所成角
为
A． B． C． 或 D． 或
4．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计
成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计
附：
P(K2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005
0
k 3.841 5.024 6.635 7.879
0
数学（理科）试卷 第1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关
系”
5．已知向量 ， ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 与 的夹角为钝角，则
6．将顶点在原点，始边为 轴非负半轴的锐角 的终边绕原点逆时针转过 后，交单位
圆
于点 ，那么 的值为
A． B． C． D．
7．贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图 是岩画公园
风景优美的公园地图，其形状如一颗
爱心．图 是由此抽象出来的一个“心
形”图形，这个图形可看作由两个函数
的图象构成，则“心形”在 轴上方的图
象对应的函数解析式可能为
A． B．
C． D．
8．已知 ，点 满足方程 ，且有 ，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
数学（理科）试卷 第2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司9．若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列选项正确的是
A． B． C． D． 或
11．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得 分，有选
错的得 分，部分选对的得 分．若选项中有 其中 个选项符合题目要
求，
随机作答该题时 至少选择一个选项 所得的分数为随机变量 其中 ，则
有
A． B．
C． D．
12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始
终
保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技
人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的
棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 的棱长
为2，则下列说法正确的是
A．勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是
B．勒洛四面体 内切球的半径是
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
数学（理科）试卷 第3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司13．记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则角 ________.
14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.
甲、
乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙
说：
“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不
同的
情况.（用数字作答）
15．斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点
M，
且M为线段AB的中点，则k=________.
16．已知函数 的图象关于 对称，且 ，
则 的值是________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．(12分)
已知数列 的首项a=2，且 (n≥2)．
1
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
18．(12分)
已知菱形 边长为 ，
，以 为折痕把
△ABD和△CBD折起，使点
到达点 的位置，点 到
达点 的位置， ， 不重合.
（1）求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求点 到平面 的距离.
19．(12分)
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让
它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝
宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可
以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该
公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数
并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在 的适合小小班幼儿使用（简称A类产品），在 的适
合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在 的适合大班幼儿使用（简称C类产
品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件
产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用 （单位：万元）对年销售量 （单位：万件）的影
响，对近5年的年营销费用 ，和年销售量 数据做了初步处理，得到的散
点图（如图2）及一些统计量的值.
16.30 24.87 0.41 1.64
表中 ， ， ， .
数学（理科）试卷 第5页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司根据散点图判断， 可以作为年销售量 （万件）关于年营销费用 （万元）
的回归方程.
（i）建立 关于 的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达
到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 ）.
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和
截距的最小二乘估计分别为 ， .
20．(12分)
已知 为坐标原点，椭圆 的上焦点 是抛物线
的焦点，过焦点 与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆 于 两点，且
，过点 的直线 交椭圆 于 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点 ，记△APE 的面积为 的面积为 ，求 的取值范
围．
21．(12分)
已知函数 ，其中 ．
（1）若 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的
第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
{x=2+2cosθ，
在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （θ为参数），以
1 y=2sinθ
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学科网（北京）股份有限公司原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2
4
ρ2=
.
1+3sin2α
(1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；
1 2
(2)若直线l:y=kx与曲线C 、曲线C 在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，点
1 2
M的直角坐标为(1,0)，求△PMQ的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知 均为正实数，函数 的最小值为4．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
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