2024届高三第一次模拟数学(理科)试卷_2024年3月_013月合集_2024届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试_宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷

绝密★启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题卷 ( 银川 一中第 一次模 拟考试 ) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合A  xN|x22x30  ，B{xR|log x0}，则AI B 2023 A．(0,1 B．[0,1] C．{1} D． 𝑧 1 2．已知 =1− ，则|𝑧|= 1+i i A． 2 B． 2 C．2 D．1 2 r r 3．若直线l的一个方向向量u1,0,1，平面的一个法向量n0,1,1，则l与所成角为 π π π 2π π 5π A． B． C． 或 D． 或 6 3 3 3 6 6 4．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计 成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 附： P(K2≥k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 3.841 5.024 6.635 7.879 0 数学（理科）试卷 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司2 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是 7 A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” r r 5．已知向量a(1,2)，b (4,t)，则 r r r r A．若a∥b，则t8 B．若ab，则t2 r r r r C．若|ab|5，则t2 D．若a与b 的夹角为钝角，则t2 π 6．将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过 后，交单位圆 4  3  于点P ,y，那么cos的值为  5  2 2 7 2 9 2 A． B． C． D． 10 5 10 10 7．贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是岩画公园 风景优美的公园地图，其形状如一颗 爱心．图2是由此抽象出来的一个“心 形”图形，这个图形可看作由两个函数 的图象构成，则“心形”在x轴上方的图 象对应的函数解析式可能为 A．y x 4x2 B．yx 4x2 C．y x22 x D．y x22x 8．已知A2,0,B2,0，点P满足方程nxmy0(m0,n0)，且有 PA  PB 2， n 则 的取值范围是 m A．(0,1) B．(0, 3) C．(1, 3) D．( 3,2) 9．若数列a 满足a 1，则“m，nN*，a a a ”是“ a 为等比数列”的 n 1 mn m n n A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 数学（理科）试卷 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司10．若经过点a,b可以且仅可以作曲线y lnx的一条切线，则下列选项正确的是 A．a0 B．blna C．alnb D．a0或blna 11．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得 分，有选 错的得 分，部分选对的得 分．若选项中有 其中 个选项符合题目要求， 随机作答该题时 至少选择一个选项 所得的分数为随机变量 其中 ，则 有 A． B． C． D． 12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终 保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技 人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的 棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长 为2，则下列说法正确的是   A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是8 π 3 B．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4 6 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π2 3 6 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2 3 二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若asinC  3ccosA，则角A________. 14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、 乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说： “你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的 情况.（用数字作答） 数学（理科）试卷 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司15．斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点M， 且M为线段AB的中点，则k=________.  8 16．已知函数 f xasinxbcosxab0的图象关于x 对称，且 f x  a， 6 0 5   则sin  2x  的值是________.  0 6  三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．(12分) 已知数列a 的首项a =2，且(n1)a na 0(n≥2)． n 1 n1 n （1）求数列a 的通项公式； n  2  3 （2）若数列 的前n项和为T ，证明：T  ． a2  n n 2 n 18．(12分) 已知菱形ABCD边长为1， AC  3，以BD为折痕把 △ABD和△CBD折起，使点 A到达点E的位置，点C到 达点F 的位置，E，F 不重合. （1）求证：BD EF ； 3 （2）若EF  ，求点B到平面DEF 的距离. 2 19．(12分) 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让 它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝 宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以 持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司 研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制 频率分布直方图（如图1）： 数学（理科）试卷 第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司产品的性能指数在50,70的适合小小班幼儿使用（简称A类产品），在70,90的适合 小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在90,110的适合大班幼儿使用（简称C类产品）， A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的 性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响， 对近5年的年营销费用x ，和年销售量y i1,2,3,4,5数据做了初步处理，得到的散点图 i i （如图2）及一些统计量的值.  5 u  5   5  u u     5  u u 2 i i i i i i1 i1 i1 i1 16.30 24.87 0.41 1.64 1 5 1 5 表中u lnx ，lny ，u u ， . i i i i 5 i 5 i i1 i1 根据散点图判断，yaxb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的 回归方程. （i）建立y关于x的回归方程； （ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达 到最大？（收益=销售利润-营销费用，取e4.159 64）. 参考公式：对于一组数据u,,u ,,L ,u ,，其回归直线u的斜率和截 1 1 2 2 n n  n  u u    i i 距的最小二乘估计分别为 ˆ  i1 ，ˆ ˆu.  n  u u  2 i i1 数学（理科）试卷 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司20．(12分) y2 x2 已知O为坐标原点，椭圆C:  1a b0的上焦点F 是抛物线x2 4 2y a2 b2 MN 6 的焦点，过焦点F 与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆C于M,N 两点，且  ， OF 3 过点P  2b2,0  的直线l交椭圆C于A,B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点E1,0 ，记△APE的面积为S ,△BPE 的面积为S ，求 S S 的取值范 1 2 1 2 围． 21．(12分) 1 已知函数 f x ex 3x，其中a0． a （1）若 f x 有两个零点，求a的取值范围； （2）若 f xa12sinx ，求a的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程] 𝑥=2+2cos𝜃， 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶 的参数方程为 （𝜃为参数），以原点 1 𝑦=2sin𝜃 4 为极点，𝑥轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线𝐶 的极坐标方程为𝜌2= . 2 1+3sin2𝛼 (1)求曲线𝐶 的极坐标方程以及曲线𝐶 的直角坐标方程； 1 2 (2)若直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥与曲线𝐶 、曲线𝐶 在第一象限交于𝑃，𝑄，且|𝑂𝑄|=|𝑃𝑄|，点𝑀的直角 1 2 坐标为(1,0)，求△𝑃𝑀𝑄的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知a,b,c均为正实数，函数 f x x4a x9b c的最小值为4． (1)求证：abbcca9abc； (2)求证：6 ab3 bc2 ca 4． 数学（理科）试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司