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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(9)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．在一组样本数据 、 、 、 、 、 、 、 不全相等）的散点
图中，若所有的样本点 都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为所有 的样本点都在直线 上，所以相关系数 满足 .
又因为 ，所以 ，所以 .
故选：C.
2．若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A. 6 B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】当焦点在 轴时，由 ，解得 ，符合题意，此时椭圆 的长轴长为
；
当焦点在 轴时，由 ，解得 ，符合题意，此时椭圆 的长轴长为 ．
故选：D．
3．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时
类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和
“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度 器皿中积
雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位 ），则平地降雪厚度的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为 ，所以平地降雪厚度的近似值为 .
故选：C
4．设 ，若 ，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】 展开式第 项 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
故选：A.
5．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布 ，若某学生
数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（ 附 ： ， ，
）
A. 第18名 B. 第127名 C. 第245名 D. 第546名
【答案】B
【解析】因为成绩 近似服从正态分布 , ，则 ，
且 ，
所以 ，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是 ．
故选：B．
6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学
模型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上有3个零点
【答案】D
【解析】A. ，故A错误；
B. ，当 ， 时，取得最大值1， ，当 ， 时，
即 ， 时，取得最大值 ，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以 的最大值
不是 ，故B错误；C. ，所以函数 的图象不
关于直线 对称，故C错误；
D. ，即 ， ，
即 或 ，解得： ，
所以函数 在区间 上有3个零点，故D正确.
故选：D
7．已知球 的直径为 是球面上两点，且 ，则三棱锥
的体积（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知 为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，
则 ，且 平面 ，
所以 ，故C到平面 的距离为 ，
所以三棱锥 的体积为 .
故选：C
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 是锐角 的一边 上的两点，试在边
上找一点 ，使得 最大．”如图，其结论是：点 为过 两点且和射线 相切的
圆与射线 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xoy中，给定两点
，点 在 轴上移动，当 取最大值时，点 的横坐标是（ ）A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1或3
【答案】A
【解析】由题意知，点 为过 ， 两点且和 轴相切的圆与 轴的切点，
已知 ，则线段 的中点坐标为 ，直线 斜率为 ，
线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
所以以线段 为弦的圆的圆心在直线 上，
所以可设圆心坐标为 ，
又因为圆与 轴相切，所以圆 的半径 ，又因为 ，
所以 ，解得 或 ，
即切点分别为 和 ，两圆半径分别为 .
由于圆上以线段 （定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，
且过点 的圆的半径比过 的圆的半径大，
所以 ，故点 为所求，
所以当 取最大值时，点 的横坐标是 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数 ， ， ，则（ ）
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
【答案】ABC
【解析】因为 ， ，所以 ，所
以 ，故A正确；因为 ， ， 的实部分别为1，3，9，所以 ， ， 的实部依次成等比数列，故B正确；
因为 ， ， 的虚部分别为 ， ，1，所以 ， ， 的虚部依次不成等差数列，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
10．已知 为坐标原点，点 为抛物线 ： 的焦点，点 ，直线 ： 交抛物
线 于 ， 两点（不与 点重合），则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 存在实数 ，使得
C. 若 ，则
D. 若直线 与 的倾斜角互补，则
【答案】ACD
【解析】由已知，抛物线 ： ，∴ ， ，焦点 ，
不妨设为 ， ，设 ， 到准线的距离分别为 ， ，
对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右， ，
∴由抛物线的定义 ，故选项A正确；
对于B， 消去 ，化简得 （ ），
则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴不存在实数 ，使得 ，选项B错误；
对于C， ， ，
∵ ，∴ ，∴
又∵由选项B判断过程知 ， ，
∴解得 ， ， 或 ， ， ，
∴若 ，则 ，选项C正确；对于D，由题意， ， ， ， ，
直线 与 的倾斜角互补时，斜率均存在，且 ，
∴ ，代入 ， ，化简得 ，
由选项B的判断知， ，
∴ ，∴ ，故选项D正确.
故选：ACD.
11．已知函数 定义域为R，满足 ，当 时， .若函数
的图象与函数 的图象的交点为 ， ，
，(其中 表示不超过 的最大整数)，则（ ）
A. 是偶函数 B.
B. C. D.
【答案】BC
【解析】函数 ，显然 ，而 ，即 ，
因此 不是偶函数，A错误；
函数 定义域为 ，满足 ，当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
因此当 时，函数 在 上递减，
在 上递增，当 时， 取得最大值 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
因此当 时，函数 ，
在同一坐标平面内作出函数 的部分图象，如图，
当 时，函数 的图象有唯一公共点 ，
因为 ，因此 ， ，而满足 的整数有
个，即 ，B正确；
显然 ，
所以 ，C正确；
，数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列，
所以 ，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设集合 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】在 中，由 得 ，即 ，
又由 可得： ，解得： ，即 ，
故 .
故答案为：13.函数 ，若 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
，所以 在 为增函数，
，所以 ，
又 ， 在 为增函数，所以 ，即 ，
因为 ， ，当且仅当 ，即 时，等
号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
14.已知反比例函数图象上三点 的坐标分别 ， 与 ，
过B作直线 的垂线，垂足为Q.若 恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意得：反比例函数为 ，因为点P在反比例函数图象上，所以 ，
，所以
，
记 ，由题意得： 恒成立，
当 ，则 ，解得： ，由于 ，故 ；
下面证明当 时， 恒成立，即因为 是开口向上的二次函数，
所以
；
② ，
令 ，则 ，开口向下，对称轴为 ，故
在 上单调递减，故 .
所以当 时， 恒成立，故a的取值范围是
故答案为：
