数学石河子第一中学2025届高三年级开学考试数学答案_8月_240821新疆石河子第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试_新疆石河子第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

石河子第一中学 2025届高三年级开学考试 数学答案 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 答案：A 2．下列不等式中，可以作为 的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A， 是 的不充分不必要条件，A不是； 对于B， 是 的一个必要不充分条件，B是； 对于C， 是 的一个充分不必要条件，C不是； 对于D， 是 的一个充分不必要条件，D不是. 故选：B 3．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当 时，由 不能推出 ，所以A错误； 对B：当 ， 时，由 不能推出 ，所以B错误； 对C：当 时，由 不能推出 ，所以C错误； 对D：由 ，又 ，所以 ，所以D正确. 故选：D 4. 函数 在区间 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D. 【详解】 ，又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又 ， 故可排除D. 故选：B. 5．若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式 在 上 恒成立问题，即求出二次函数在 上的最大值即得. 【详解】由 可得 ， 因 在 上单调递增，故 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 而函数 在 上单调递减，则 ， 故 ，即a的取值范围是 . 故选：A. 6．已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上单 调递减，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为幂函数 是 上的偶函数，则 ，解得 或 ，当 时， ，该函数是定义域为 的偶函数，合乎题意.所以 ，则 ，其对称轴方程为 ，因为 在区间 上单调递减，则 ，解得 .故选：C． 7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式： ，它表示在被高 斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率 取决于信道带宽 、信道内所传信号的平均功率S、信道内 部的高斯噪音功率 的大小，其中 叫做信噪比.已知当 比较大时， ，按照香农公式，由于技术提升，宽带 在原来的基础上增加 ，信噪比从1000提升至8000，则 大约增 加了（ ）（附： ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时 的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 所以 的增长率约为 . 故选：D公众号：高中试卷君 8. 已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ，则下列结论中一定 正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当 时 ，所以 ， 又因为 ， 则 ， ， ， ， ，则依次下去可知 ，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质 ，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ） A． B． 的图象关于直线 对称 C． D． 的一个周期为 【答案】ACD 【分析】由奇函数可得 ，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数 为奇函数，则 ，A选项正确； 又 ，即 ，则函数 关于直线 对称，B选项错误； 由 可知 ， 即 ，函数 的一个周期为 ，C选项正确，D选项正确； 故选：ACD. 10. 设函数 ，则（ ） A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 是 的极大值点 C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴 D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在 上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设 存在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项， 若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断， 亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项， ，由于 ， 故 时 ，故 在 上单调递增， 时， ， 单调递减， 则 在 处取到极大值，在 处取到极小值， 由 ， ，则 ， 根据零点存在定理 在 上有一个零点， 又 ， ，则 ， 则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；B选项， ， 时， ， 单调递减， 时 ， 单调递增， 此时 在 处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴， 即存在这样的 使得 ， 即 ， 根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ， 于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心， 则 ，事实上， ， 于是 即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ， ， ， 由 ，于是该三次函数的对称中心为 ， 由题意 也是对称中心，故 ， 即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1） 对称轴为 ；（2） 关于 对称 ；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三 次函数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心 11．已知 ， 则下列结论正确的有（ ） A． 的最大值为 B． 的最小值为C． 的最小值为3 D． 11．BD【详解】因为 ， 对于A，因为 ，当且仅当 时，等号成立， 但 ，可得 ，则 ，可得 ，可知 不为 的最大值，故A 错误； 对于B，因为 ，当且仅当 ，即 ， 时，等 号成立， 所以 的最小值为 ，故B正确；对于C，因为 ，则 ，即 ，则 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，这与题干不符，故3不为 的最小值，故C错误； 对于D，由题意可知： ， ，则 ，构建函数 ， ，则 ，在 内恒成立，可知 在 内单调递减，则 ，所以 ，故 D正确；故选：BD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．函数 有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 【答案】 【分析】根据题设条件可知抛物线与 轴相切，从而可得 的关系，进一步解一元二次方程即可求解函 数零点. 【详解】解析因为函数 有零点，但不能用二分法求出， 所以函数 的图象与x轴相切，所以 ，所以 ， 令 ，解得 . 故答案为： ， . 13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 __________. 【答案】 【解析】【 分 析 】 先 求 出 曲 线 在 的 切 线 方 程 ， 再 设 曲 线 的 切 点 为 ，求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可 求解. 【详解】由 得 ， ， 故曲线 在 处的切线方程为 ； 由 得 ， 设切线与曲线 相切的切点为 ， 由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ， 切线方程为 ， 根据两切线重合,所以 ，解得 . 故答案为： 14．已知 为实数，若不等式 对任意 恒成立，则 的最 大值是 . 【答案】6 【分析】先对不等式等价变换为 ，令 得 ，构造函数 ，从而 ，又 ，利用不等式性质即可求解范围. 【详解】因为 ，所以 ， 则不等式 等价于 ， 等价于 ，令 ，则 ， 从而 ，令 ，由对勾函数的性质知 ， 因为 ，即 ，所以 ， 令 ，则 ，解得 ， 所以 ，当且仅当 即 时取等号， 故 的最大值是6.故答案为：6 【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利 用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.公众号：高中试卷君 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知不等式 的解集为 . (1)求 的值， (2)若 ， ， ，求 的最小值. 【答案】(1) ， · (2)9· 【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可. （2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得 ，然后利用不等式性质求解即可. 【详解】（1）由 及函数 在定义域上单调递减， 得 ，解得 ，因此， ， · （2）由已知可得 ， 又因为 且 ，则 ， 当且仅当 时，等号成立，故 . 16（15分）．已知函数 . (1)作出函数 的大致图像，并简要说明理由； (2)讨论函数 的单调性. 【详解】（1） （2）由已知可得函数 ， . 当 时， 当 时， ， 时， ； ①则 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 当 时， ， ② 或 时， ； 则 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 因 与 同号，故 恒成立，即 在R上单调递增； ③ 当 时， 当 时， ， 或 时， ； ④则 在 上单调递减，在 上单调递增. 17.（15分） 设函数 ，直线 是曲线 在点 处的切 线． （1）当 时，求 在点 处的切线方程. （2）求证： 不经过点 . 【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 ， 切线方程为： ，即： 。 【小问2详解】 ，切线 的斜率为 ， 则切线方程为 ， 将 代入则 ， 即 ，则 ， ， 令 ， 假设 过 ，则 在 存在零点. ， 在 上单调递增， ， 在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 . 【点睛】 关键点点睛：本题第三问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.18. （17分）已知函数 （1）若 ，且 ，求 最小值； （2）证明：曲线 是中心对称图形； （3）若 当且仅当 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出 后根据 可求 的最小值； （2）设 为 图象上任意一点，可证 关于 的对称点为 也 在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断 即 ，再根据 在 上恒成立可求得 . 【小问1详解】 时， ，其中 ， 则 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 故 ，而 成立，故 即 ， 所以 的最小值为 .， 【小问2详解】 的定义域为 ， 设 为 图象上任意一点， 关于 的对称点为 ， 因为 在 图象上，故 ， 而 ， ， 所以 也在 图象上， 由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .【小问3详解】 因为 当且仅当 ，故 为 的一个解， 所以 即 ， 先考虑 时， 恒成立. 此时 即为 在 上恒成立， 设 ，则 上恒成立， 设 ， 则 ， 当 ， ， 故 恒成立，故 在 上为增函数， 故 即 在 上恒成立. 当 时， ， 故 恒成立，故 在 上为增函数， 故 即 在 上恒成立. 当 ，则当 时， 故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍； 综上， 在 上恒成立时 . 而当 时， 而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ， 即 的解为 . 综上， . 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对 一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范 围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .若 ，则称集合 为一个 元 理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集 ，求证： ； 【解析】（1）设 的随影数集分别为 ， 则 ， 所以集合 是理想数集，集合 不是理想数集. （2）不妨设集合 且 ，即 . 为理想数集， ，则 ，且 ，使得 . 当 时， . 当且仅当 且 时，等号成立； 当 时， . 当且仅当 且 时，等号成立； 当 时， . 当且仅当 时，等号成立. 综上所述： .