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石河子第一中学 2025届高三年级开学考试 数学试卷
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下列不等式中，可以作为 的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4. 函数 在区间 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5．若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区
间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式： ，它表示在
被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率 取决于信道带宽 、信道内所传信号的平均功
率S、信道内部的高斯噪音功率 的大小，其中 叫做信噪比.已知当 比较大时，
，按照香农公式，由于技术提升，宽带 在原来的基础上增加
，信噪比从1000提升至8000，则 大约增加了（ ）（附： ）
A． B． C． D．8. 已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ，则
下列结论中一定正确的是（ ）A. B. C.
D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.
全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 的一个周期为
10. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 是
的极大值点
C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴 D. 存在a，使得点 为曲线
的对称中心
11．已知 ， 则下列结论正确的有（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最
小值为3 D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数 有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是
（用a表示）.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
__________.
14．已知 为实数，若不等式 对任意 恒成立，
则 的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知不等式 的解集为 .
(1)求 的值， (2)若 ， ， ，求 的最小值.16（15分）．已知函数 .
(1)作出函数 的大致图像，并简要说明理由；
(2)讨论函数 的单调性.
17. （ 15 分 ） 设 函 数 ， 直 线 是 曲 线 在 点
处的切线．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程.
（2）求证： 不经过点 .
18. （17分）已知函数
（1）若 ，且 ，求 最小值；
（2）证明：曲线 是中心对称图形；
（3）若 当且仅当 ，求 的取值范围．19.（17分）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .
若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的
绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
注：①由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的
最大数与最小数.
②已知 ，例如 。
