辽宁省（点石联考）2023-2024学年高二下学期6月份阶段考试数学试卷_6月_240616辽宁省（点石联考）2023-2024学年高二下学期6月份阶段考

更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 绝密★启用前（点石联考） 2023—2024 学年度下学期高二年级 6 月阶段考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．奇函数 对任意 都有 ，且 ，则 （ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知命题“ 成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．在等比数列 中， 是函数 的两个极值点，若 ，则 的值 为（ ） A．8 B．9 C．16 D．24 6．已知函数 ，则（ ） 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 A． B． C． D． 7．已知数列 满足 ，若 为数列 的前 项和，则 （ ） A．408 B．672 C．840 D．1200 8．已知函数 的定义域为 为其导函数，若对 ， ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．当 时， 取得最小值 D．使 成立的 的最大值为62 10．下列命题是真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若正实数 满足 ，则 的最小值为4 11．已知函数 的定义域为 是偶函数， 是奇函数，则（ ） A． B． 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 C． D．不等式 的解集为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数 是 的导函数，则 ______． 13．已知函数 在 上的值域为 ，则 的值为______． 14．若正整数集 的非空子集 满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称 为数集 的超子集．对于集合 ，记 的超子集的个数为 ，则 ______， 与 的关系为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤） 15．（13分）已知函数 在 处取得极小值0． （1）求 的值，并说明 的单调性； （2）若 的一条切线 恰好经过点 ，求切线 的方程． 16．（15分）已知等差数列 的前9项和 ，且 ．若数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 17．（15分）2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见， 某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产 万件产品，每件产品需可变成本 万元，当产量不足50万件时， ；当产量不小 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 于50万件时， ．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品 可以全部销售完． （1）求利润函数的解析式； （2）求利润函数的最大值． 18．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）直接写出 的单调区间； （2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围； （3）证明： ． 19．（17分）意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项 链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式 ，其中 为悬链线系数， 称为双曲余弦函数，其函数表达式 ，相 反地，双曲正弦函数的函数表达式为 ． （1）证明：① ； ② ． （2）求不等式： 的解集． （3）已知函数 存在三个零点，求实数 的取值范围． 2023—2024 学年度下学期高二年级 6 月阶段考试 数学 参考答案及评分标准 1．C【解析】因为集合 ， ，所以 ． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 2．D【解析】由题意可知，要使 有意义，则 解得 所以函数 的定义域为 ． 故选：D． 3．A【解析】因为 对任意 都有 ，又 ，所以 ，所以函数 的周期为12，所以 ． 故选：A． 4．A【解析】由命题“ 成立”是假命题，则命题“ ， 成立”是真命题，即 恒成立．令 ，则 ， 且函数 在 上为增函数，当 时， ，所以 ． 故选：A． 5．C【解析】因为 为等比数列， ，所以 ，解得 或 （不 合题意，舍去），所以 ． 又 ．令 ，即 ． 由题意得， 是方程 的两个相异正根， 则 ，符合题意． 故选：C． 6．B【解析】函数 的定义域为 ．当 时， ，所以 ．同理，当 时， 成立，所以函数 为偶函数，且 在 上单调递减，在 上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 又 ，且 ， ，即 ，于是 ，即 ． 故选：B． 7．D【解析】由 ， 所以 当 时， ， 当 时， ， 两式相加，得 ， 所以 ． 当 时， ． 由 ， 两式相减，得 ， 所以 ， 所以 ． 故选：D． 8．C【解析】令 ， 则 ， 所以 在 上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 因为当 时， ， 所以当 时， ；当 时， ． 由于当 时， 且 ，所以 ； 当 时， 且 ，所以 ； 当 时，因为 ，令 ，得 ，所以在 上 恒成立． 故选：C． 9．AC【解析】由题意可知 ，故A不正确； 又 ，所以 ，故 不正确； 即 ，所以当 时， 取得最小值，故 正确； 因为 ，所以使 成立的 的最 大值为61，故D不正确． 故选：AC． 10．ACD【解析】对于 ，由 ，得 ，所以 ，故 正确； 对于 ，要证 成立，只需证 ，即证 ． 因为 ，当 时，显然 ，故B不正确； 对于 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ， 即 时，等号成立，故 正确； 对于 ，由 ，可得 ，所以 ． 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 由 为正实数且 ，可得 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确． 故选：ACD． 11．ACD【解析】因为 是偶函数，关于 对称，所以 关于 对称． 又函数 为奇函数，所以 ，即 ． 令 ，则 ，故A正确； 令 ，则 ，所以 ． 因为 关于 对称，所以 ，所以 ，故B不正确； 因为 关于 对称，即 ． 由 ，可得 ， 所以 ， 故 正确； 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 因为 ，令 ． 当 时， 在 单调递增，且 单调递增． 由复合函数的单调性易知 在 上单调递增，且 为偶函数， 则 在 单调递减，且 ， 所以不等式 等价于 ， 则 ，即 或 ，解得 或 ， 故该不等式的解集为 ，故 正确． 故选：ACD． 12．-2【解析】函数 可视为函数 的复合函数． 因为函数 关于变量 的导函数为 ，函数 关于变量 的导函数 为 ，所以 ，所以 ． 13．6【解析】由 的对称轴为 ，则 ，解得 ，则 在 上单调递增，所以 即 所以 为 方程 的两个根，即 为方程 的两个根，所以 ． 14．7 【解析】由题意知， ，则超子集只有 ，所以 ； ，则超子集有 ，所以 ； ，则超子集有 ，所以 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 由此可以分析，对于 的超子集可以分为两类： 第一类是超子集中不含 ，这类超子集有 个； 第二类是超子集中含 ，这类超子集同样也包含两类，一类在 中取一个元 素，个数为 ；另一类在 中取两个或两个以上个元素，任意两个元素 之差的绝对值大于1，个数为 ，所以 ． 15．（13分）解：（1）由题可得 ． 因为函数 在 处取得极小值0， 所以 即 解得 所以 ． 当 或 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）由（1）知 ． 设切点为 ，则 ， 切线方程为 因为切线经过点 ，故 ， 所以 ，整理得 ， 解得 ，或 当 时， ；当 时， ， 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 即过点 的切线方程为 或 16．（15分）解：（1）设等差数列 的公差为 ． 由 ，得 ，化简得 ． 又 ，即 ， 解得 ， 所以等差数列 的通项公式为 因为 ，① 所以当 时， ，② ①—②得， 当 时， ，满足上式， 所以数列 的通项公式为 故 ． （2）由于 ， 则 ， 又 ， 两式相减，得 故 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 17．（15分）解：（1）由题意得，销售收入为 万元． 当产量不足50万件时，利润 ； 当产量不小于50万件时，利润 所以利润函数 （2）当 时， ， 所以当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 单调递减， 所以当 时， 取得最大值 当 时， 当且仅当 ，即 时，等号成立 又 ，故当 时，所获利润最大，最大值为1000万元． 18．（17分）（1）解：单调递增区间是 和 ，无单调递减区间 （2）解：令 ． 要证明 ，即证明 恒成立，且 ， 设 ，其中 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 ①当 ，即 时， 在 上单调递增，且 ， 所以在 上， ，即 ，则 在 上单调递增， 所以当 时， ，故 满足题意； ②当 ，即 时，此时 ． 设 的两根为 ， 解得 （舍）， ． 因为 ，所以当 时， 单调递减， 则 ，与题意矛盾，故 不满足题意． 综上， 的取值范围是 （3）证明：由（2）可知当 时， 恒成立， 整理得 ． 令 ，即 所以 ，整理得 所以 ． 19．（17分）（1）证明：① ． 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 ② （2）解：因为 恒成立，故 是奇函数． 又因为 在 上严格递增， 在 上严格递减， 故 是 上的严格增函数， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 ， 即所求不等式的解集为 （3）解：由题可知 ， 所以 因为 ， 所以 为奇函数， ． 要证明函数存在三个零点，只需证明 在 存在一个零点． 由 ，所以 ． ①当 时， 恒成立，此时 ，当且仅当 时等号成立， 所以 在 上单调递增， 学科网（北京）股份有限公司更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 而 ，所以函数 只存在一个零点，不符合题意； ②当 时，当 时，若 满足 ， 即当 时， ， 则 在 上单调递减； 当 时， ， 则 在 上单调递增． 因为 ，所以 ． 又因为 当 时， ， 所以当 时，显然 ， 所以 在 存在一个零点， 所以 在定义域上共存在三个零点． 综上，实数 的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司