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2023～2024 学年度下学期六校高二期末联考试卷
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 ，则 （ ）
.
A 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或507
2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（ ）的利润为y（单位：百万元），根据统计数
据，求得y关于x的经验回归方程为 ，若 时的观测值 ，则 时的残差为（
）
A. B. 1 C. 3 D. 6
3. 若定义在 上的函数 有 ，则 的单调递减区间是（
）
A. B. C. D.
4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首
与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、
乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布 1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两
天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A. 180 B. 360 C. 720 D. 14405. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数 在 上单调递增 B. 函数 至少有2个极值点
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 处取得极大值
6. 已知随机变量 ，若 ， ，则 （ ）
A. 15 B. C. D.
7. 已知函数 有3个不同的零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉
小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
.
A 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学
习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习
VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ）A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C不是互斥事件
C. D.
11. 已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且
，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 的分布列 ，则 ______．
13. 已知 是函数 的两个极值点，若 ，且 的极小值为整
数，则 ______．
14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点
游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路 的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，
游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一
个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量 ，则 __________，
__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
的
（1）若 ，求 值；
（2）若 ，求m的值．
16. 已知函数 ．（1）求 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值．
17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达
到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的
同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下
表：
8
数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 130 120
5
8
物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 90 82
1
（1）试列出 列联表，并依据 的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等
第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
（2）如果本次测试理科考生的物理成绩 ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均
数为 ，方差为 ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩
的等第优秀的概率．
参考数据：取 ， ， ， ．若 ，则
， ，
．
， ．
.
0.10 0.05 0.025 0010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机
扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分
别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为 ， ， ，举行此抽
奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说
明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
19. 定义：若函数 与 的图象在 上有且仅有一个交点，则称函数 与 在 上
单交，此交点被称为“单交点”.已知函数 ， ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，
（i）求证：函数 与 在 上存在“单交点” ；
（ⅱ）对于（i）中的正数 ，证明： .2023～2024 学年度下学期六校高二期末联考试卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 ，则 （ ）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或507
【答案】D
【解析】
【分析】通过组合数的性质即可得到答案.
【详解】由题意知 或 所以 或
故选：D．
2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（ ）的利润为y（单位：百万元），根据统计数
据，求得y关于x的经验回归方程为 ，若 时的观测值 ，则 时的残差为（
）
A. B. 1 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用残差的定义求解.
【详解】解：因为 时的预测值为 ，所以残差为 ．
故选：B．
3. 若定义在 上的函数 有 ，则 的单调递减区间是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由导函数定义可得 ，再利用导函数求单调减区间即可.
【详解】 ，
， ，
由 ，解得 ，
故 的单调递减区间是 .
故选：C.
4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首
与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、
乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布 1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两
天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440
【答案】D
【解析】
【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.
【详解】先将甲、乙排为一列，有 种方法，
再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有 种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为 ．
故选：D．
5. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数 在 上单调递增 B. 函数 至少有2个极值点
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 处取得极大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据 的图象判断其符号，进而可知 的单调性和极值，结合选项分析判断即可.
【详解】由 的图象可知：当 或 时， ；当 时， ；
可知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 有且仅有两个极值点 ，
结合选项可知：ABC正确；D错误；
故选：D.
6. 已知随机变量 ，若 ， ，则 （ ）
A. 15 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由随机变量 的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为 ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ．
故选：A．
7. 已知函数 有3个不同的零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得 ，得出函数 的单调性与极值，结合 有3个不同的零点，列出不
等式，即可求解．
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又由 ， ，
要使 有3个不同的零点，则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
故选：D．
8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉
小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由古典概率公式求出 ，再由全概率公式求出
，最后由条件概率求出 即可.
【详解】用 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用 表示丢掉的小球为红球， 表示丢掉的
小球为黑球，
则 ， ，
由全概率公式可得
，
所以 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：条件概率公式为 ，全概率公式为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为 的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以 ；所以 ，
由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．
故选：CD．
10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学
习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习
VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ）
A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C不是互斥事件
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由古典概率公式求出 ，再利用相互独立事件和互斥事件的
定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D.
【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有 种安排方案，
甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，
各有 种方案，∴ ；甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有 种方案，∴ ；
甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有 种方案，∴ ，
对于A，∵ ，∴事件A与B不相互独立，故A错误；
对于B，∵ ，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意分析可知4为 的周期，关于 对称，关于点 对称，进而判断AB；分析
可知4为 的周期，但没有充分条件求 ，进而判断CD.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
即 ，可知 关于 对称，
又因 为为偶函数，则 ，可知 关于 对称，且 ，则 ，即 ，
可得 关于点 对称，且 ，
则 ，可知4为 的周期，
由 ，可得 ，即 ，
则 ，
即 ，
所以 ， ，故AB正确；
因为 ，则 ，即 ，
可知4为 的周期，
又因为 ，则 ，
即 ，可知 关于点 对称，
但没有充分条件求 ，故无法求CD选项的值，故CD错误；
故选：AB.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 的分布列 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据分布列的性质概率之和为 可求.【详解】已知 （ ），
则由分布列的性质可得
，
解得 ，
故答案为： .
13. 已知 是函数 的两个极值点，若 ，且 的极小值为整
数，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】因为 有两个极值点，所以 有两个变号解，结合韦达定理得出
，又因为 ，联立得出 又因为 ，所以得出
或 再利用 的极小值为整数即可得出答案.
【详解】 由题意知 是 的两根，所以
且 又 所以
所以 即 解得 或当 时， 此时 的极小值为 不合题意；
当 时， 此时 的极小值为 符合题意．
故
故答案为： .
14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点
游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，
游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一
个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量 ，则 __________，
__________.
【答案】 ①. ##0.3125 ②.
【解析】
【分析】X表示向右移动的次数，则 ，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到
与X关系，得到 ，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.
【详解】设X表示向右移动的次数，则 .
若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，
所以回到原点的概率 .
因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量 ，X表示向右移动的次数则 表示向左移动的次数，
则 ，
则 ，
所以 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求m的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）通过赋值法求系数和；
（2）通过二项式定理的通项求参数值．
【小问1详解】
在 中，
取 ，得 ，
取 ，得 ，
以上两式相减，得 ．
【小问2详解】
的通项为 ，若 ，可得 ，
所以 ，解得 或 ．
16. 已知函数 ．
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值．
【答案】（1）
（2）极大值为 ，极小值为 .
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.
【小问1详解】
由 ， 的定义域为 ，
得 ，
所以 ，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
，
由 ，得 ，或 ，
当 或 时， ， 在 上均单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；故函数 在 处取得极大值，极大值为 ；
在 处取得极小值，极小值为 .
故函数 有极大值，也有极小值，极大值为 ，极小值为 .
17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达
到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的
同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下
表：
8
数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 130 120
5
8
物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 90 82
1
（1）试列出 列联表，并依据 的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等
第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
（2）如果本次测试理科考生的物理成绩 ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均
数为 ，方差为 ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩
的等第优秀的概率．
参考数据：取 ， ， ， ．若 ，则
， ，
．
， ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005.
2.706 3.841 5024 6.635 7.879
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意完善 列联表，求 ，并与临界值对比分析；
（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求 ，进而利用对立事件分析求解.
【小问1详解】
由题意可得： 列联表为
物理优秀 物理非优秀 总计
数学优秀 2 4 6
数学非优
0 4 4
秀
总计 2 8 10
零假设 ：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，
可得 ，
的
依据小概率值 独立性检验，可以推断 成立，
即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.
【小问2详解】
由题意可得，物理成绩的平均分为 （分）；
方差
，结合题意可知： ，即 ，则 ，
可得 ，
记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则 为“ 人物理成绩的等第都是非优秀”，
故 ，
所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为 .
18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密
码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机
扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分
别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为 ， ， ，举行此抽
奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说
明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
【答案】（1）分布列见解析，40
（2）①减少了；②增加了
【解析】
【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；
（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．
【小问1详解】
由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．
， ，
， ，， ，
， ，
所以X的分布列为
X 10 15 20 35 40 65 70 90
P
【小问2详解】
①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元，
举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为 ，
所以举行抽奖活动后该景区 在五一期间门票收入减少了．
②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为 ， ， ，
则期望值为 ．
不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为 ，
举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为 ，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了
19. 定义：若函数 与 的图象在 上有且仅有一个交点，则称函数 与 在 上
单交，此交点被称为“单交点”.已知函数 ， ， .（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，
（i）求证：函数 与 在上存在“单交点” ；
（ⅱ）对于（i）中的正数 ，证明： .
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）借助导数，分 及 讨论即可得；
（2）（i）结合定义，令 ，构造函数 ，借助导数研究其单调性，
结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明 ，构造函数
，借助导数求出其在 上的最大值即可得.
【小问1详解】
，
当 时， 对任意 恒成立，故函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
（i）令 ，得 ，得 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，
即 在 上单调递减，且 ， ，
故 ，使得 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
因为 ， ，
所以 在 上只有一个零点 ，故函数 在 上只有一个零点 ，
即函数 与 在 上存在“单交点” ；
（ii）因为 ，所以要证 ，即证 ，
即证 ，只需证 ，
因为 ，得 ，
所以只需证 即可，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 ，即 ，
原不等式即证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助 ，从而消去参数 ，将
转化为 .
