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5.2.2导数的四则运算法则
[A级 基础巩固]
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
解析：选A y′＝′＝＝＝.
3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′| ＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
x＝0
5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
解析：选A 设切点为(x ，y)，则y ＝3x ＋1，且y ＝ax＋3，所以3x ＋1＝ax＋3①.对y＝ax3＋3求导得
0 0 0 0 0 0y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1②，由①②可得x＝1，所以a＝1.
0
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′| ＝3×12－1＝2.
x＝1
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y＝2－与y＝x3－x2＋2x在x＝x 处切线的斜率的乘积为3，则x＝________.
1 2 0 0
解析：由题知y′ ＝，y′ ＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x 处切线的斜率分别为，3x－2x ＋2，所以＝
1 2 0 0
3，所以x＝1.
0
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝；(4)y＝.
解：(1)y′＝(－ln x)′
＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝
＝.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的
解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c ，
∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
[B级 综合运用]
11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
12．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.
13．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d
＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
答案：2－1
14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x，y)，
0 0
则f′(x)＝3x＋1＝4，
0∴x＝±1.
0
由f(x)＝x3＋x－16，
可得y＝1＋1－16＝－14，
0
或y＝－1－1－16＝－18.
0
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
[C级 拓展探究]
15．设f (x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
n
(1)求f ′(2)；
n
(2)证明：f (x)在内有且仅有一个零点(记为a )，且0＜a －＜.
n n n
解：(1)由题设f ′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.
n
所以f ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
n
则2f ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
n
①－②得，－f ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
n
＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以f ′(2)＝(n－1)·2n＋1.
n
(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.
f ＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
n
所以f (x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，
n
所以f (x)在内单调递增，
n
因此f (x)在内有且仅有一个零点a .
n n
由于f (x)＝－1，
n
所以0＝f (a )＝－1，
n n由此可得a ＝＋a＞，故＜a ＜.
n n
所以0＜a －＝a＜×n＋1＝.
n
