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5.3.2 第一课时 函数的极值
[A级 基础巩固]
1．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以
f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－
12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的
图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0，排除B、
D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以
函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值，当x＝1时f(x)取极小值0.
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1 B．a＞－1
C．a＜－ D．a＞－
解析：选A ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞
1，即a＜－1.
6．函数y＝的极大值为__________．
解析：函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y′＝.令y′＝0，即＝0，得x＝e.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
y′ ＋ 0 －
y 单调递增 极大值 单调递减
由表可知，当x＝e时，函数有极大值.
答案：
7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜
0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
8．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－
∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1
＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或29．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
极小值
f(x) 单调递减 单调递增
2(1－ln 2＋a)
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；f(x)在x＝ln 2处取得极小值．极小值
为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－10，f(x)单调递增，当(2k－1)π0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.
由f′(x)＝0，得x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，2) 2 (2, ＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
F′(x) － 0 ＋
F(x) 单调递减 极小值 单调递增
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e20时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
F′(x) ＋ 0 －
F(x) 单调递增 极大值 单调递减
当x>2时，F(x)＝＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝＋1<0，
即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex
