函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题（解析版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题 【方法技巧与总结】 1. 不动点与稳定点 【一阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(x )=x ，则称x 是函数f(x)的一阶不 0 0 0 0 动点，简称不动点． ①不动点是方程x=f(x)的解 ②不动点是y=x与y=f(x)图像交点的横坐标 【二阶周期点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(f(x ))=x 且f(x )≠x ，则称x 为函 0 0 0 0 0 0 数f(x)的二阶周期点 y=f(x)  ①二阶周期点是方程组x=f(y)的解 x≠y ②二阶周期点是y=f(x)图像上关于y=x对称(不在y=x上)的两点的横坐标 【二阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(f(x ))=x 则称x 为函数f(x)的二阶 0 0 0 0 不动点，简称稳定点 ①稳定点是不动点和二阶周期点的并集 ②稳定点是y=f(x)图像上关于y=x对称的两点的横坐标以及y=f(x)与y=x的交点的横坐标 2. 两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用 数形结合的方法求解 【典型例题】 1 (2024·山东青岛·高三统考开学考试)将函数y= 13-x2-2(x∈[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋 转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为 ( ) 3 2 A. B. C.1 D. 3 2 3 【答案】B 【解析】由y= 13-x2-2(x∈[-3,3])，得y≥0， x2+y+2 1  2=13，则函数的图像是以M(0,-2)为圆心的圆的一部分， 先画出函数y= 13-x2-2(x∈[-3,3])的图象, 这是一个圆弧AB，圆心为M(0,-2),如图所示， 由图可知当此圆弧绕点(-3,0)逆时针方向旋转角大于∠MAB时， 曲线C都不是一个函数的图象， 即当圆心M(0,-2)在x轴上时， 所以θ最大值即为∠MAB， 2 2 tan∠MAB= ，所以θ最大时的正切值为 . 3 3 故选：B.2 (2024·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知函数fx 2  =lnx+1  x≥0  ，将函数fx  的图象绕原点逆时 针旋转α α∈0,θ    角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为 ( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 【答案】B 【解析】因为fx  =lnx+1  x≥0  ，所以f x  1 = ，则f 0 x+1  =1． 即函数fx  =lnx+1  π 在原点的切线OM的斜率k=1，所以∠MOx= ． 4 π 由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于 -∠MOx时， 2 旋转所得的图象与y轴就会存在两个交点， π π 此时曲线C不是函数的图象，故θ的最大值是 -∠MOx= ． 2 4 故选：B． 3 (2024·江西·校联考模拟预测)已知函数f(x)=ax-ex与函数g(x)=xlnx+1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( ) e-1 A.(e-1,+∞) B.  ,+∞ 2  C.   e-1 ,+∞  2  D.(-∞,e-1) 【答案】A 【解析】因为函数fx  与gx  的图像上恰有两对关于x轴对称的点，所以-fx  =g(x)，即ex-ax=xlnx ex-xlnx-1 ex-xlnx-1 +1有两解，则a= 有两解，令h(x)= ，则h(x)=ex-1 x x  x-1 ，所以当x∈ x2 0,1  时，h(x)<0；当x∈1,+∞  时，h(x)>0；所以函数h(x)在0,1  上单调递减，在1,+∞  上单调递 增；所以h(x)在x=1处取得极小值，所以h(1)=e-1，所以a>e-1，a的取值范围为e-1,+∞  . 故选：A. 4 (2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数fx  =ax-xlnx与函数gx  =ex-1 的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( ) A. -∞,1-e  1-e B. -∞, 2  C. -∞,1-e  1-e D. -∞, 2  【答案】C 【解析】因为函数fx  与gx  的图像上恰有两对关于x轴对称的点， 所以-fx  =gx  ， 即-ax+xlnx=ex-1有两解，xlnx-ex+1 所以a= 有两解， x 令hx 3  xlnx-ex+1 = ， x 则h x  ex-1 =  1-x  ， x2 所以当x∈0,1  时，h x  >0，此时函数hx  在0,1  上单调递增； 当x∈1,+∞  时，h x  <0，函数hx  在1,+∞  上单调递减， 所以hx  在x=1处取得极大值，h1  =1-e， 且x∈0,1  时，hx  的值域为-∞,1-e  ， x∈1,+∞  时，hx  的值域为-∞,1-e  ， xlnx-ex+1 因此a= 有两解时，实数a的取值范围为-∞,1-e x  ， 故选：C. 5 (2024·全国·高三专题练习)对于连续函数 fx  ，若 fx 0  =x 0 ，则称x 0 为 fx  的不动点．设 fx  = x ax+2  ，若fx  有唯一不动点，且fx 0  1 = 1012 ，x n =fx n-1  n=1,2,⋯  ，则x = ． 2023 1 【答案】 2023 【解析】由fx  x 有唯一不动点，即方程 ax+2  =x有唯一解，即ax2+2a-1  x=0有唯一解， 所以Δ=2a-1  1 2-4a×0=0，解得a= ，所以fx 2  2x = ， x+2 又由x n =fx n-1  n=1,2,⋯  2x 1 1 1 ，可得x = n-1 ，所以 = + ， n x +2 x x 2 n-1 n n-1 从而 1  x n  1 1 1 是一个公差为 的等差数列，首项为 = 2 x 1 fx 0  =1012， 1 n-1 1 2023-1 1 所以 =1012+ ，所以 =1012+ =2023，即x = ． x 2 x 2 2023 2023 n 2023 1 故答案为： . 2023 6 (2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 0 为该函数的一个不动点，现新定义：若x 0 满足fx 0  = -x 0 ，则称x 0 为fx 0  的次不动点，有下面四个结论 ①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 ②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 3 ③当1≤a≤ 2 时，函数f(x)=log 24x-a⋅2x+1  在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点． 1 ④不存在正整数m，使得函数f(x)= ex- x-m在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为 2 ． 【答案】②③ 【解析】对于①:取函数f(x)=x2，f(0)=0，0既是fx  的不动点，又是fx  的次不动点，故①错误； 对于②:定义在R上的奇函数满足f(0)=0，故②正确； 对于③:当log 24x-a⋅2x+1  1 =x时，∴4x-a⋅2x+1=2x，即a=2x+ -1. 2x1 令2x=t，t∈[1,2]，∴a=t+ -1在区间1,2 t 4  1 上单调递增，a=2x+ -1在0,1 2x  上单调递增，满足 log 24x-a⋅2x+1  =x有唯一解； 当log 24x-a⋅2x+1  1 1 1 =-x时，∴4x-a⋅2x+1= 即a=2x+ - . 2x 2x 22x 1 1 令2x=t，t∈[1,2]，∴a=t+ - 在区间1,2 t t2  1 1 上单调递增，a=2x+ - 在0,1 2x 22x  上单调递增，满 足log 4x-a⋅2x+1 1 2  3 =x有唯一解；综上1≤a≤ 时函数f(x)在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动 2 点，故③正确; 1 对于④:假设函数f(x)= ex- x-a在区间0,1 2  上存在不动点，则f(x)=x在0,1  上有解，即a=ex 1 - x-x2在0,1 2  1 1 1 上有解，令m(x)=ex- x-x2，则m(x)=ex- -2x，再令n(x)=ex- -2x，则n 2 2 2 (x)=ex-2，令n(x)=0，解得x=ln2，所以nx  在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,1)上单调递增， 1 3 3 所以n(x) =n(ln2)=2- -2ln2= -2ln2=lne2-ln4=ln e3-ln 16>0， min 2 2 所以m(x)>0在0,1  上 恒成立，所以mx  在0,1  上单调递增， 所以m(x) min =m(0)=1，mx  =m1 max  3 =e- ， 2 3 所以实数a满足1≤a≤e- ，存在正整数a=1满足条件，故④错误： 2 故答案为：②③ 7 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数f(x)，如果存在点x ， 0 使得fx 0  =x ，那么我们称函数f(x)为“不动点”函数，而称x 为该函数的不动点．类比给出新定义：若 0 0 不动点x 0 满足f x 0  =x ，则称x 为f(x)的双重不动点．则下列函数中，①f(x)=x3-xsinx；②f(x)=ex 0 0 1 ex+e-x - ；③f(x)= -1具有双重不动点的函数为 ．(将你认为正确的函数的代号填在横线上) x 2 【答案】①③ 【解析】对于①，f(x)=x3-xsinx，x∈R，所以f x  =3x2-sinx-xcosx， 又f(0)=03-0sin0=0，f 0  1 =3×0-sin0-0×cos0=0，则x=0是f(x)=ex- 的双重不动点； x 1 对于②，f(x)=ex- ，x∈-∞,0 x  ∪0,+∞  1 1 ，f(x)=ex+ ，令φ(x)=ex+ -x， x2 x2 1 1 当x>0时，由基本初等函数图象易知ex>x，所以ex+ -x>0，当x<0时，ex+ -x>0显然成立， x2 x2 所以不存在x 0 ，使得f x 0  1 =x ，故函数f(x)=ex- 不是具有双重不动点的函数； 0 x ex+e-x ex-e-x e0+e-0 e0-e-0 对于③，f(x)= -1，x∈R，则f(x)= ，又f(0)= -1=0，f(0)= =0，所 2 2 2 2 ex+e-x 以x=0是函数f(x)= -1的双重不动点； 2 综上，具有双重不动点的函数是①③. 故答案为：①③. 【过关测试】 一、单选题1. (2024·安徽池州·高三统考期末)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕 π 原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的取值只可能是 3 3 A. 3 B.1 C. D.0 3 【答案】B 【解析】由题意可得： π 问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会重合． 3 设f(π)处的点为A ， 1 π ∵f(x)的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合， 3 ∴旋转后A 的对应点A 也在f(x)的图象上， 1 2 同理A 的对应点A 也在图象上， 2 3 以此类推，f(x)对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点， 当f(1)= 3时，即A(1, 3)，此时A (1,- 3)，不满足函数定义； 1 5 3 3 当f(1)= 时，即A 1, 3 1 3 5  3 ，此时A 1,- 6 3  ，不满足函数定义； 1 3 当f(1)=0时，即A (1,0)，此时A  ， 6 1 2 2  1 3 ，A  ，- 5 2 2  ，不满足函数定义； 故选B． 2. (2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习)设D是含数3的有限实数集，fx  是定义在D上的函数，若 fx  的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，f3  的可能取值只能是 ( ) A. 3 B.3 C.-3 D.0 【答案】A 【解析】对于A项，若f3 6  = 3，则构造如图1的函数图象， 使得点A 13, 3  ，根据定义可得图象上不存在关于x轴对称的点， 符合函数的定义，所以f3  的取值可能是 3.故A正确； 对于B项，若f3  =3，构造如图2的函数图象， 使得点A 13,3  ，根据定义可推得点A 73,-3  ， 所以有f3  =-3，不符合函数的定义，故B错误； 对于C项，若f3  =-3，构造如图3的函数图象， 使得点A 13,-3  ，根据定义可推得点A 33,3  ， 所以有f3  =3，不符合函数的定义，故C错误； 对于D项，若f3  =0，构造如图4的函数图象， 使得点A 13,0  ，根据定义可推得则点A 23,3  ，所以f3  =3. 又A 83,-3  ，所以f3  =-3，不符合函数的定义，故D错误. 故选：A. 3. (2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试)2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以 “蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图①)，而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：     如图②，平面上有两定点O､A，两动点B､Q，且|OA|=|OB|=1,OA绕点O逆时针旋转到OB所形成的 角记为θ，设函数fθ 7  =4⋅signθ  ⋅cosθ-sin5θ-π≤θ≤π  ，其中signx  1x>0  =0x=0, 令ρ=fθ -1x<0  ，作   OQ=ρOB，随着θ的变化，就得到了点Q的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q的轨迹(考虑蝴蝶 的朝向)最有可能为 ( ) A. B.C. D. 【答案】B  【解析】先考虑与OA共线的蝴蝶身方向， 令θ=π，则fπ 8  =4⋅signπ     ⋅cosπ-sin5π=-4，所以OQ=-4OB=4OA， 令θ=-π，则f-π  =4⋅sign-π  ⋅cos-π  -sin-5π     =4，所以OQ=4OB=-4OA， 所以排除AC，  先考虑与OA垂直的蝴蝶身方向， π π 令θ= ，则f 2 2  π =4⋅sign 2    π 5π ⋅cos -sin =-1，所以OQ=-OB，所以排除D， 2 2 故选：B 4. (2024·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数fx  =x2-m与函数g(x)=ln 1 -x,x∈  1 ,2 x  2  的图像上恰 有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ( ) A. 0,2-ln2  1 B. 0,- +ln2 4  C.  - 1 +ln2,2-ln2  4  1 D. - +ln2,ln2 4  【答案】B 【解析】函数fx  =x2-m关于x轴对称的函数为h(x)=-f(x)=-x2+m， 根据题意h(x)和g(x)在  1 ,2  2  上有两个交点， 1 即-x2+m=ln -x,所以m=x2-lnx-x, x 令h(x)=x2-lnx-x, 1 2x2-x-1 由h(x)=2x- -1= , x x 1 令h(x)=0，可得x=1或x=- 2 故当x∈  1 ,1  2  时，h(x)<0，h(x)为减函数， 当x∈1,2  时，h(x)>0，h(x)为增函数， 1 由h 2  1 1 1 1 = - -ln =- +ln2<1， 4 2 2 4 h(1)=1-0-1=0，h(2)=4-2-ln2=2-ln2>1，1 所以m∈0,- +ln2 4 9  时m=x2-lnx-x有两解， 故选：B 5. (2024·贵州六盘水·高三校考期末)已知函数f(x)=-x3+ax∈  1 ,e  e  (e是自然对数的底数)与g(x)=3lnx 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ( )  1 A. 0, +2  e3  B. 0,e3-4  C. 1,e3-3  D. e3-4,+∞  , 【答案】C 【解析】由已知，得到方程a-x3=-3lnx⇔-a=3lnx-x3在  1 ，e  e  上有解． 3 31-x3 设f(x)=3lnx-x3，求导得：f′(x)= -3x2= x  ， x 1 ∵ ≤x≤e，∴f′(x)=0在x=1有唯一的极值点， e 1 ∵f e  1 =-3- ，f(e)=3-e3，f(x) =f(1)=-1， e3 极大值 1 且知f(e)0，故函数先减 后增，且gx  =g1 min  1 =0 ；g e  1 =2+ 0⇒10，hx  单调递增， 又h1  =m-2,h2  1 =ln2-2+m,h 2  5 =-ln2- +m， 4 1 由ln2> 可判断h2 2  1 >h 2  ， 因而hx  的值域为m-2,m+ln2-2  ， 又hx  有零点，有m-2≤0≤m+ln2-2， 所以m∈2-ln2,2  . 故选：D. 10.(2024·青海海南·高三校联考期末)已知函数fx  =ln-x  与函数gx  =ex-e-1  x-a的图象上存在关 于y轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( ) A. 0,e  B. 1,+∞  C. e,+∞  1 D.  ,+∞ e 【答案】B 【解析】由题意，f(x)=ln(-x)、h(x)=lnx关于y轴对称， ∴h(x)与g(x)在(0,+∞)上有交点，则ex-(e-1)x-a=lnx在(0,+∞)有解， 1 1 令k(x)=ex-(e-1)x-a-lnx，则k(x)=ex- -(e-1)，k(x)=ex+ >0， x x2 ∴k(x)在(0,+∞)上递增，而k(1)=e-1-e+1=0， ∴在(0,1)上k(x)<0，k(x)递减；在(1,+∞)上k(x)>0，k(x)递增； ∴k(x)≥k(1)=1-a，故只需1-a≤0即可，得a≥1. 故选：B 1 11.(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex- (x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称 2 的点，则实数a的取值范围是 ( ) 1 A. -∞, e 11  B. 0, e  1 C. - , e e  1 D. - e, e  【答案】B 【解析】函数fx  与gx  的图象上存在关于y轴对称的点，即f(-x)=g(x)有解，即函数y=f(-x)与函数 1 y=g(x)的图象有交点，在同一坐标系内画出函数y=f(-x)=e-x- 与函数y=g(x)=ln(x+a)的图象． 2 1 由图象，得lna< ，即00，所以g(t)在(0,2)上单调递增， g(-t)=e-t+et+-t  2=et+e-t+t2=g(t)，所以g(t)为偶函数， 所以g(t)在(-1,0)上单调递减. g(t) =g(0)=2，g(t)x>x B.x >x >x C.x >x>x D.x >x >x 3 1 2 2 3 1 2 1 3 3 2 1 【答案】C 【解析】由已知可得，cosx=x ，则cosx-x=0， 1 1 1 1 且sincosx 1  =sinx 1 ，所以sincosx 1  -sinx=0. 1 又cossinx 2  =x 2 ，sincosx 3  =x . 3 令hx  =x-sinx，x∈0,1  ，则h x  =1-cosx>0恒成立， 所以，hx  在0,1  上单调递增，所以hx  >h0  =0，所以x>sinx. 所以，sincosx 3  =x 3 >sinx 3 ，即sincosx 3  -sinx >0. 3 令Fx  =sincosx  -sinx，x∈0,1  ， 因为函数y=sinx在0,1  上单调递增，y=cosx在0,1  上单调递减，且00=Fx 1  ，所以x cosx . 2 又cossinx 2  =x ，所以x >cosx ，即cosx -x <0. 2 2 2 2 2 令Gx  =cosx-x，x∈0,1  ，则G x  =-sinx-1<0恒成立， 所以，Gx  在0,1  上单调递减. 又Gx 1  =cosx 1 -x 1 =0，Gx 2  =cosx 2 -x 2 <0=Gx 1  ， 所以x >x. 2 1 综上可得，x >x>x . 2 1 3 故选：C. 14.(2024·河南开封·统考一模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可 应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 fx  ，存在点x 0 ，使得fx 0  =x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数fx  =xaex-lnx  为“不动 点”函数，则实数a的取值范围是 ( ) A. -∞,0  1 B. -∞, e  C. -∞,1  D. -∞,e  【答案】B 【解析】由题意得若函数fx  =xaex-lnx  为不动点函数则满足 fx 0  =x 0aex0-lnx 0  lnx +1 =x ，即aex0=lnx +1，即a= 0 0 0 ex0 设gx  lnx+1 = ，g x ex  lnx+1 =  ⋅ex-ex   lnx+1  ex  1 -lnx-1 x = 2 ex 设hx  1 = -lnx-1,h x x  1 1 =- - <0 x2 x 所以hx  在0，+∞  单调递减，且h1  =0x∈0,1 13  ，hx  >0,g x  >0所以gx  在0，1  上单调递增， x∈1,+∞  ,hx  <0,g x  <0，所以gx  在1,+∞  上单调递减， 所以gx  ln1+1 1 = = max e1 e 1 当x∈0, e  ,lnx+1  <0,ex>0,则gx  <0 1 当x∈ ,+∞ e  ,lnx+1  >0,ex>0,则gx  >0 所以gx  的图像为： lnx +1 要想a= 0 成立，则y=a与gx ex0  有交点，所以a≤gx  1 = max e 故选：B 15.(2024·全国·高三专题练习)对于函数fx  ，若fx  =x，则称x为fx  的“不动点”，若f fx    =x，则称x 为fx  的“稳定点”，记A= x fx    =x  ，B= x f fx      =x  ，则下列说法错误的是 ( ) A.对于函数fx  =x，有A=B成立 B.若fx  是二次函数，且A是空集，则B为空集 C.对于函数fx  1 = 2  x ，有A=B成立 D.对于函数fx  b = ，存在b∈0,+∞ x  ，使得A=B成立 【答案】D 【解析】对于A：函数fx  =x，A=xx=x  =R=B，故A正确. 对于B：若A是空集，则fx  >x恒成立或fx  x恒成立，用fx  代替x可得 f fx    >fx  >x，同理可得f fx    0时，二次函数y=f(x)-x的图象开口向上，则f(x)-x>0恒成立，即∀x∈R，恒有f(x)>x， 而f(x)∈R，因此有f[f(x)]>f(x)>x恒成立，即方程f(f(x))=x无实根， 当a<0时，二次函数y=f(x)-x的图象开口向下，则f(x)-x<0恒成立，即∀x∈R，恒有f(x)y ，则f(f(y ))>f(y )>y 与f(f(y ))=y 矛盾， 0 0 0 0 0 0 0 若f(y )0， 于是得h(x)在[0,1]上单调递增，有h(0)≤h(x)≤h(1)，即1≤h(x)≤e，则1≤a≤e，D正确. 故选：BCD 19.(2024·全国·高三专题练习)将函数hx  =ex x≥0  的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ θ∈0,π    ，得 到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图像，则θ的可能取值为 ( ) π π 3π A. B. C. D.π 4 2 4 【答案】ABCD 【解析】如上图所示，L 1 ,L 2 ,L 3 ,L 4 分别是hx 16  π π 3π =ex绕着原点逆时针方向旋转 ， ， ，π，所得到的的曲线，根据 4 2 4 函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义. 故选：ABCD． 20.(2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不 动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定 条件的连续函数fx  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不 0 动点”函数的是 ( ) A. fx  =x2-x-3 B. fx  =2x+x C. fx  1 =x2+2 D. fx  =log 2 x  -1 【答案】ACD 【解析】选项A，若fx 0  =x ，则x2-2x -3=0，解得x =3或x =-1， 0 0 0 0 0 故该函数是“不动点”函数； 选项B，若fx 0  =x ，则2x0=0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数； 0 选项C，若fx 0  =x ，则 x +2=x ， 0 0 0 得 x 0  2- x -2=0，且x ≥0，解得x =4，该函数是“不动点”函数； 0 0 0 选项D，若fx 0  =x 0 ，则log 2 x 0  -1=x 0 ，即log 2 x 0  =x +1， 0 在同一坐标系中，作出y=log 2 x  与y=x+1的函数图象，如图， 由图可知，方程log 2 x  =x+1有实数根x ， 0 即存在x 0 ，使log 2 x 0  -1=x ，故该函数是“不动点”函数． 0 故选：ACD. 21.(2024·广东珠海·高三校考期末)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷 兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数fx  ，存在一个定点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 为该函数的不动点，则下列说法中正确的有 ( ) 0 0 A.函数fx  =lnx+1  是“不动点”函数 B.函数fx  =x2-x-3的不动点为-1和3 C.函数fx  =ex+x的导函数是“不动点”函数 D.函数fx  =ex+x的导函数不是“不动点”函数【答案】ABD 【解析】对于A,由于fx 17  =lnx+1  的定义域为-1,+∞  ，且f0  =ln0+1  =0，所以x=0是fx  = lnx+1  的不动点，故fx  =lnx+1  是“不动点”函数，A正确， 对于B,令fx  =x2-x-3=x，则x2-2x-3=0，解得x=3或x=-1，故函数fx  =x2-x-3的不动点 为-1和3，B正确， 对于C，由于f x  =ex+1，定义域为R,令nx  =ex+1-x，则n x  =ex-1， 则当x>0,n(x)>0,n(x)单调递增，当x<0,n(x)<0,n(x)单调递减，所以n(x)≥n(0)=2>0，故nx  =ex+1-x>0，故f x  =ex+1=x无实数根，因此f x  =ex+1不是“不动点”函数，C错误，D正确， 故选：ABD 22.(2024·全国·高三专题练习)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动 点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条 件的连续函数fx  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动 0 点”函数的是 ( ) A. fx  =2x+x B. fx  =x2-x-3 C. fx  1 = +1 D. fx x2  =log 2 x  -1 【答案】BCD 【解析】选项A，若fx 0  =x ，则2x0=0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数； 0 选项B，若fx 0  =x ，则x2-2x -3=0，解得x =3或x =-1，故该函数是“不动点”函数； 0 0 0 0 0 选项C，若fx 0  1 3+ 5 =x ，则 +1=x ，得x2-3x +1=0，且x ≥1，解得x = ，该函数是“不动点”函 0 x2 0 0 0 0 0 2 0 数； 选项D，若fx 0  =x 0 ，则log 2 x 0  -1=x 0 ，即log 2 x 0  =x +1， 0 在同一坐标系中，作出y=log 2 x  与y=x+1的函数图象，如图， 由图可知，方程log 2 x  =x+1有实数根x 0 ，即存在x 0 ，使log 2 x 0  -1=x ，故该函数是“不动点”函数． 0 故选：BCD 三、填空题 1 23.(2024·全国·高三专题练习)设函数y= x-1 2  1 + x-2 2  +1． (1)该函数的最小值为 ； π (2)将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角θ0≤θ≤ 2  得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 ． 【答案】 2  0， π  4  1 1 【解析】(1)先画出函数y= x-1+ x-2+1的图象 2 2 由图可知，该函数的最小值为 2．(2)由图可知， π 当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于 时， 4 曲线C都不是一个函数的图象 则θ的取值范围是： 0， π  4 18  ． 故答案为：2； 0， π  4  ． 1 24.(2024·浙江温州·统考一模)将函数y= x-1 2  1 + x-2 2  +1的图像绕原点顺时针方向旋转角 π θ0≤θ≤ 2  得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 . 【答案】 0， π  4  【解析】29．(2024·云南·统考模拟预测)已知函数fx  1 = x3-mx+3，gx 6  1 =-5x-4ln ，若函数f x x  与gx  x∈  1 ,4  e    的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 8ln2-12,- 9  2  【解析】函数f x  与gx  x∈  1 ,4  e    的图象上至少存在一对关于x轴对称的点， 等价于f x  +gx  在  1 ,4  e  上有零点， 令hx  =f x  +gx  1 1 = x2-m-5x-4ln 2 x 1 = x2-m-5x+4lnx 2 则h x  4 x-1 =x-5+ = x  x-4  ， x 所以在  1 ,1  e  上，h x  ≥0，hx  单调递增， 在1,4  上，h x  ≤0，hx  单调递减，则hx 19  ≤h1  ，又h1  9 =-m- ， 2 1 h e  1 5 = -m- -4， 2e2 e h4  =8ln2-m-12， 因h4  1 -h e  5 1 =8ln2-8+ - <0， e 2e2 又h4  1 0)与函数y=g(x)=ln(x+a)的图象： ∴函数y=g(x)=ln(x+a)的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移 且平移到过点(0，-1)后开始，两函数的图象没有有交点， 1 把点(0，-1)代入y=ln(x+a)得，-1=lna，∴a= ， e 1 ∴a< ， e 1 故答案为：-∞, e  ． 26.(2024·全国·高三专题练习)曲线y=lnx绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线的方程为 ． 【答案】y=e-x【解析】设曲线y=lnx上一点(a,b)，绕坐标原点逆时针旋转90°后对应点的坐标为(x,y)， x=-b a=y 则 ，即 ，   y=a b=-x 即-x=lny，即y=e-x. 故答案为：y=e-x. 27.(2024·宁夏银川·高三校考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常 重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数fx 20  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  = x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有 (填写序号) 0 ①fx  =x+1 ②fx  1 = -x,x>0 x ③fx  =x2-x+3 ④fx  =log x 1 2 【答案】②④ 【解析】对于①，fx 0  =x +1=x ，显然无解， 0 0 对于②，fx 0  1 1 2 = -x =x ,x >0，易得2x = ⇒x = ，符合题意， x 0 0 0 0 x 0 2 0 0 对于③，fx 0  =x2 0 -x 0 +3=x 0 ⇒x 0 -1  2+2=0，显然无实数解， 对于④，fx 0  =log x =x ，如下图所示， 1 0 0 2 作出两函数y=log 1 x，y=x，显然两函数有交点，即存在一个点x 0 ，使得fx 0 2  =x ， 0 故答案为：②④.