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7.1.2全概率公式 ---A基础练
一、选择题
1．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产
品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
【答案】A
【详解】记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
3．（2021·全国高二课时练）设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车
正点到达目的地的概率分别为0.9、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84
【答案】C
【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车
到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝
P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选：C
4.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂
1 1 1
生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为 , , ,现从这10盒中任取一盒,再从
10 15 20
这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
【答案】A
【详解】以A,A ,A 分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片
1 2 3
5 3 2 1 1 1
为次品,P(A )= ,P(A )= ,P(A )= ,P(B|A )= ,P(B|A )= ,P(B|A )= ;则由全概率公
1 10 2 10 3 10 1 10 2 15 3 20
5 1 3 1 2 1
式,所求概率为P(B)=P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )= × + × + ×
1 1 2 2 3 3 10 10 10 15 10 20
=0.08.
5．（2021·全国高二专题练）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%
的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
【答案】D
【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A，A，A，A，则它们
1 2 3 4
构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：
P(B)＝∑P(A)P(B|A)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
i i
6．（多选题）（2020·全国高二课时练习）下列说法一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】 ，而 ， ，故A不成立；
，∴当 时，B成立；当 相互独立时，
，故C可能成立； ，故D不成立.故选：AD.
二、填空题
7．（2021·四川省泸县第一中学高二月考）已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为
________．
【答案】0.75
【详解】因为P(A|B)＝，所以P(AB)＝0.3.所以P(B|A)＝＝＝0.75.
8. （2021·全国高二课时练）5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩
票的概率为________,第三个人摸到中奖彩票的概率为________ .
1 1
【答案】
5 5
1
【详解】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件A ,显然P(A )= ,而P(A )=P[A∩(A ∪A )]
i 1 5 2 2 1 1
1 4 1 1
=P(A∩A )+P(A∩A )=P(AA)+P(A A )=P(A)P(A |A)+P(A )P(A |A )= ×0+ × = ,
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 5 5 4 5
P(A )=P[A∩(A A+A A +A A+A A )] =P(A AA)+P(AA)+P(A AA)+P(A A A)=0+0+0+P(A
3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 3
A A )
1 24 3 1 1
=P(A )P(A |A )P(A |A A )= × × = .
1 2 1 3 1 2 5 4 3 5
9．（2021·全国高二课时练习）设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，
再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，则第一次，第二次取到红球，第三次，第四次
取到白球的概率为________.
【答案】 · · ·
【详解】设R(i=1，2，3，4)表示第i次取到红球的事件，
i
(i=1，2，3，4)表示第i次取到白球的事件.
则有P(RR )=P(R)P(R )P( )·P( RR )
1 2 1 2 1 2
= · · · .
10.（2021·全国高二课时练习）通信渠道中可传输的字符为 ， ， 三者之一，
传输三者的概率分别为 ， ， .由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为
，收到其他字符的概率为 ，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为 ，
则传输的字符是 的概率为________．
【答案】
【详解】以 表示事件“收到的字符是 ”， 表示事件“传输的字符为 ”， 表
示事件“传输的字符为 ”， 表示事件“传输的字符为 ”，根据题意有：
， ， ， ，
， ；
根据贝叶斯公式可得：.
三、解答题
11． 一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．
求：(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
【详解】设A表示第一次取得白球， B表示第二次取得白球，则AB表示第一、第二次都取得白球，
AB表示第一次取得黑球，第二次取得白球，且P(B|A)＝，P(B|A)＝＝. (1)P(A)＝＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
(3)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
12．（2021·全国高二课时练习）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据
以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自
三家工厂生产的概率分别是多少？
【详解】设 表示“取到的是一只次品”， 表示“所取到的产品是由第 家工厂提供
的”．
则 ， ， 是样本空间的一个划分，且 ， ， ，
， ， .
（1）由全概率公式得 .
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
