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专题3.3 解答（30道）巩固篇（期中篇）（1-3 章）
1．设全集为 ，集合 ， .
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围构成的集合.
【答案】（1） ，（ B）∪A= （2）
∁R
{a|2≤a≤8}
【解析】
（1）
（2）由题意集合 ， ∴ ，∴ ，∴ .
2．已知 ．
（1）求 中对应x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，
所以
即 ，
所以
即 中对应x的取值范围为
（2）设 对应的集合为 ， 对应的集合为B.
解集合q： ，得
当 时，不等式的解为 ，对应的解集为
当 时，不等式的解为 ，对应的解集为
当 时，不等式的解为 ，对应的解集为
若p是q的必要不充分条件，
当 时，满足条件；
当 时，因为 ， ，
则满足 ；
当 时，因为 ， ，则满足 ；
综上，实数a的取值范围为
3．设命题 实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 .
（1）若 ，且 均为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）由 ，
当 时， ，
即 为真命题时，
实数 的取值范围是 .
又 为真命题时，
实数 的取值范围是 ，
所以，当 均为真命题时，
有 解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2） 是 的充分不必要条件，即 且 .
设 或 ，
或 ，
所以 且 ，即 .
所以实数 的取值范围是 .
4．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
【解析】
（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取
等号又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
5．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．
（1）求 的最小值；
（2）证明：
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
（1） ， ，且 ，
，当且仅当 即 时等号成立，
的最小值为 .（2）因为a＞0，b＞0，所以要证 ，需证 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
6．已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若 ，求证：
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
（1）原不等式化为 ，即
① 时，不等式化为 ，解得 ；
② 时，不等式化为 ，解得 ， ；
③ 时，不等式化为 ，解得 ， .综上可得：原不等式解集为 .
（2） ，
当且仅当 且 时取等号.又 ，
，
当且仅当 时取等号.
7．已知
（1）求证: ;
（2）求证: .
【解析】
(1)证明：因为 ， ，而 ，
所以 ，(当且仅当 时取等号)
(2)因为 ，所以所以
，
当且仅当 时取等号.
8．已知函数 .
（1）当 时，求当 时，函数 的值域；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】
（1）当 时， ，此时， ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
因此，函数 在区间 上的值域为 ；
（2） ，
令 ，得 或 .①当 ，即 时，由 ，解得 ；
②当 ，即 时，由 ，解得 ；
③当 ，即 时，由 ，解得 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
9．设函数 ．
（1）当 且 时，解关于 的不等式 ；
（2）已知 ，若 的值域为 ， ，求 的最小值．
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
解：（1）由 且 ，代入不等式 ，得 ，化简，得 ， 或 ，
不等式的解集为 或
（2）由 的值域为 ， ，可得 ，△ ，
，可得 ．
， ．
的最小值为 ．
10．若不等式 的解集为
（1）求 值
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据不等式 的解集为 ，则1，2为方程的两根，由 求解.
（2）由（1）知不等式 ，即为 ，然后利用分式不等式的解法求解.
11．设全集U=R，集合 ， ．
（1）当 时，求集合 ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，所以 ，
而 ，故 ．
（2）当 时， ，符合；
当 时，因为 ，所以 ，解得 且 ．
综上， ．
12．已知不等式 的解集为 .
（1）若 ，求集合 ；（2）若集合 是集合 的真子集，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）由题意，当 时，不等式 ，即 ，
即 ，解得 ，所以集合 .
（2）由 ，可得 ，
当 时，不等式 的解集为 .
由集合 是集合 的真子集可得 ，所以 ，
当 时，不等式 的解集为 满足题意；
当 时，不等式 的解集为 ，
由集合 是集合 的真子集，可得 ，所以 ，
综上可得： ，即实数 的取值范围为 .
13．已知函数f(x)＝ .
（1）求f(2)＋f( )，f(3)＋f( )的值；（2）求证：f(x)＋f( )是定值；
（3）求f(2)＋f( )＋f(3)＋f( )＋…＋f(2012)＋f( )的值．
【答案】（1）1，1；（2）证明见解析；（3）2011.
【解析】
（1）∵f(x)＝ ，
∴f(2)＋f( )＝ ＋ ＝1，f(3)＋f( )＝ ＋ ＝1.
（2）证明：f(x)＋f( )＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1.
（3）由（2）知f(x)＋f( )＝1，
∴f(2)＋f( )＝1，f(3)＋f( )＝1，f(4)＋f( )＝1，…，f(2012)＋f( )＝1.
∴f(2)＋f( )＋f(3)＋f( )＋…＋f(2012)＋f( )＝2011.
14．已知函数 .（1）求 ， 的值；
（2）求证： 是定值；
（3）求 的值．
【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2011.
【解析】
解析：（1）∵ ，
∴ ,
;
(2)证明：∵ ，∴ ,∴ ,
(3)由(2)知 ，∴
∴ ＝2011.
15．已知函数 （a，b为常数），且方程 有两个实根
， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，解关于x的不等式： ．
【答案】（1） （2）当 时， 或 ；当 时， 且
；当 时， 或 ．
【解析】
（1）由题意得 ，解得 ，所以 ；
（2）原不等式可化为 ，即 ．
所以当 时， 或 ；当 时， 且 ；当 时， 或．
16．（1）已知 求 的解析式；
（2）已知 是二次函数，且满足 求 的解析式.
【答案】（1） 且 ；（2） .
【解析】
（1）设 ，则 ，代入 ，
得
故 且 ；
（2）设所求的二次函数为 .
∵ 则 .
又∵
∴
即由恒等式性质，得
∴所求二次函数为
17．已知函数 .
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，求x的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
.
【解析】
解:（1）因为
所以
所以 ，
因为 ，所以
（2）①当 时，由 ，得 ；
②当 时，满足题意
③当 时，由 ，得
综上所述：x的取值范围是： 或 .
18．（1）已知 是一次函数，满足 ，求 的解析式.
（2）已知 ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
解：（1）设 ，则 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以
（2）设 ， 则
，
所以 .19．已知函数 .
（1）求函数 的定义域和值域；
（2）判断函数 在区间 上单调性，并用定义来证明所得结论.
【答案】(1)定义域 ，值域 ；(2)单调递减，证明见解析.
【解析】
(1) ,
的定义域为 ，值域 .
(2)由函数解析式得该函数在 为减函数，下面证明：
任取 ，且 ，，
， ， ，
.
函数在 为减函数.
20．已知函数 .
（1）若 ，写出 的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）单调递减区间为： ，单调递增区间为： ；（2）
.
【解析】
解：（1）当 时， ，函数图象如下所示，
所以 的单调递减区间为： ；单调递增区间为：
（2）记 ，则
由题意得对任意 ， ，即对任意 恒成立
由（1）得 对任意 恒成立
由（2）得 对任意 恒成立
综上所述 ，即 的取值范围为
21．已知f(x)= 奇函数，且 ．
（1）求实数p ,q的值．
（2）判断函数f（x）在 上的单调性，并证明．
【答案】（1）p＝2，q＝0（2）见解析
【解析】
解：（1）由题意可得f（﹣x）+f（x）＝0，即 0，求得 q＝0．
再由f（2） ，解得 p＝2．
综上可得，p＝2，q＝0．（2）由上可得，f（x） （x ），函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函
数．
证明：设x＜x＜﹣1，则f（x）﹣f（x） [（x ）﹣（x ）] （x﹣x）（
1 2 1 2 1 2 1 2
）．
由题设可得 （x﹣x）＜0，x•x＞1，故有f（x）﹣f（x）＜0，
1 2 1 2 1 2
故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．
22．定义在 上的函数 对任意 ， 都有 （ 为
常数）．
（1）当 时，证明 为奇函数；
（2）设 ，且 是 上的增函数，已知 ，若不等式
对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）根据题意，函数 满足 ，
当 时，令 ，由 ，得 ，即 ，
令 ， ，则 ，
又 ，则有 ，即 对任意 成立，
∴ 是奇函数．
（2）根据题意，∵ ，∴ ，
∴ ．
又 是 上的增函数，∴ ，即 ，
分2种情况讨论：
①当 时，不等式显然成立；此时不等式的解集为 ；
②当 时，则有 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是 ．
23．设函数 ，作出 的图像并讨论其性质．
【解析】
因为 ，
所以将幂函数 的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：
其定义域为： ，值域为： ，函数 为非奇非偶函数，图像
关于 对称，在 上单调递增，在 上单调递减.
24．已知幂函数 在 上单调递增，函数 ；
（1）求 的值；
（2）当 时，记 、 的值域分别是 、 ，若 ，求实数 的取
值范围；
【答案】(1) 0 ; (2)
【解析】
(1) 函数 为幂函数，
则 ，解得： 或 .
当 时， 在 上单调递增，满足条件.
当 时， 在 上单调递减，不满足条件.综上所述 .
(2)由(1)可知, ,则 、 在 单调递增,
所以 在 上的值域 , 在 的值域 .
因为 ,即 ,
所以 ，即 ，所以 .
所以实数 的取值范围是 .
25．已知幂函数 在 上单调递减.
（1）求 的值并写出 的解析式；
（2）试判断是否存在 ，使得函数 在 上的值域为
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】
（1）因为幂函数 在 上单调递减，
所以 解得： 或 （舍去），所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，
假设存在 使得命题成立，则
当 时，即 ， 在 单调递增，
所以 ；
当 ，即 ， 显然不成立；
当 ，即 ， 在 单调递减，
所以 无解；
综上所述：存在 使命题成立.
26．已知幂函数 为偶函数，在区间 上是单调增函数，
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，若 恒成立，求实数q
的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）
（2）
27．已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）证明：函数 在 上是减函数．
【答案】（1） （2）证明见详解.
【解析】
（1）设幂函数 ，则有 ，
即 ，∴ ，
∴ .（2）证明：在 上任取 ，且 .
则 ，
因为 ，故 ，即
∴ ，
∴函数 在 上是减函数.即证.
28．已知幂函数 的图象过点 .
（1）求出函数 的解析式，判断并证明 在 上的单调性；
（2）函数 是 上的偶函数，当 时， ，求满足 时实数
的取值范围.
【答案】（1） ， 在 上是增函数；证明见解析（2）
【解析】
（1）设幂函数的解析式为 ，
将点 代入解析式中得 ，
解得 ，
所以，所求幂函数的解析式为 .幂函数 在 上是增函数.
证明：任取 ，且 ，则
，
因为 ， ，
所以 ，即幂函数 在 上是增函数
（2）当 时， ，
而幂函数 在 上是增函数，
所以当 时， 在 上是增函数.
又因为函数 是 上的偶函数，所以 在 上是减函数.
由 ， 可得： ，
即 ，
所以满足 时实数 的取值范围为 .29．已知函数 ， .
（1）若对任意 ， ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
（2）若存在 ，对任意 ，总存在唯一 ，使得
成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 或 ；（2） 或 .
【解析】
（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，故 ，
要使对任意 ， ，不等式 恒成立，只需
，
所以 ，即 .
记 ，因为 ，所以只需 ，即 ，
解得 或 或 .
故 的取值范围为 或 或 .（2）当 时， ；
当 时， ，因为 ，当且仅当
时，等号成立，所以 ，
所以函数 在 上的值域为 .
由题意知 ，
以下分三种情况讨论：
①当 ，即 时，则 ，解得 ；
②当 ，即 时，则 ，解得 ；
③当 ，即 时，则 或
，即 或 ，所以 ，或 .
综上， 的取值范围为 或 .
30．已知函数 是幂函数.
(1)求函数 的解析式;
(2)判断函数 的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数 在 上的单调性,并证明你的结论.
【答案】(1) ;(2)函数 为偶函数;(3) 在 上单调递减,证明见解
析.
【解析】
（1）因为函数 是幂函数，
则 ，
解得 ，
故 ．
（2）函数 为偶函数．
证明如下：由（1）知 ，其定义域为 关于原点对称，因为对于定义域内的任意 ，都有
，
故函数 为偶函数．
（3） 在 上单调递减．
证明如下：在 上任取 ， ，不妨设 ，
则
，
且 ，
，
在 上单调递减.
【点睛】
本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的
计算能力，是基础题.
