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高一下第二次月考
一、单选题
1．复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．0或3
2．设 表示两条不重合的直线， 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．存在一对异面直线 ，则
3．如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形
容器装满时，约可以倒满水杯（ ）
A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯
4．已知 是关于 的方程 的一个解，则 （ ）
A．4 B．8 C．6 D．0
5．在 中， （ ， ， 分别为角 ， ， 的对边），则 是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
6．在 中，D是AC边的中点，且点M满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．若水平放置的平面四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ，
，则以原四边形 的边 为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A． B． C． D．
8．如图， 是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点， 的周长的最小值为 ，
则侧棱SA，SC的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中错误的是（ ）
A．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C．平行六面体是一种特殊的斜四棱柱
D．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出的它的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面
图形的面积是
10．如图，在三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则下列说法正确
的是（ ）A． ， ， ， 四点共面 B． 为异面直线
C． ， ， 三线共点 D．
11．已知 分别是 三个内角 的对边，以下四个命题正确的是（ ）
A．若 ，且该三角形有两解，则 的范围是
B．若 ，则点 为 的外心
C．若 为锐角三角形，则
D．存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍
三、填空题
12．将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为
．
13．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则 与 所成的角为 ．
14．若存在 使 满足 ，则正数 的取值范围是
.
四、解答题
15．设函数 ，其中向量 ， .
（1）求函数 的最小正周期和在 上的单调增区间；
（2）当 时 的最大值为 ，求 的值.
16．如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 .现测得
， ， ，并在点 处测得塔顶 的仰角 .(1)求 与 两点间的距离；
(2)求塔高 .
17．如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形， 是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿
对角线BD翻折到 ，在翻折的过程中
(1)求证：BD⊥PC；
(2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD．
18．如图所示，正四棱锥 ， ，底面边长 ，M为侧棱PA上的点，且 ．
(1)求正四棱锥 的体积；
(2)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(3)侧棱 上是否存在一点E，使 平面 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由．
19． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若 ，求角C；(3)若 为锐角三角形，且 的面积为S，求 的取值范围．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B B D B A ABC AC
题号 11
答案 BCD
1．A
利用纯虚数的定义列式求解.
【详解】由 是纯虚数，得 ，所以 .
故选：A
2．D
利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，逐项分析推理判断.
【详解】对于A，由 ，得直线 与 可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误；
对于B，由 ，得 可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，要 垂直于 内的两条相交直线，才能推出 ，C错误；
对于D，过直线 的平面 ，由 ，得 ，而 ，则 ，
由 是异面直线，得直线 相交，又 ，因此 ，D正确.
故选D，
3．B
应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可.
【详解】球的体积 ，
圆柱的体积 ，
所以 ，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4杯.
故选：B
4．B
将 代入方程中化简，利用复数相等的概念得出 即可.
【详解】由题意可得， ，化简整理得 ，
则 ，得 ，则 .
故选：B
5．B
根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解.
【详解】由 ，得 ，整理得 ，
在 中，由射影定义得 ，则 ，
而 ，因此 ，又 ，则 ，
所以 是直角三角形.
故选：B
6．D
由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【详解】因为 ①， ②，
由 ，得 ，所以 ，
即 ， ，所以 .
故选：D.
7．B
先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积.
【详解】已知在斜二测图形中 ， ，
根据斜二测画法中平行于 轴的线段长度不变的规则，可知在原图形 中 ， ， .
又已知 ，由斜二测画法中平行于 轴的线段长度减半的性质，
可得原图形中 ，且 （斜二测画法中 轴与 轴夹角在原图形中为 ）.
如图，得到原图.因为梯形 以边 为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台.
其中圆台的底面半径 ，高 ；
根据圆台体积公式，可得 .
故选：B.
8．A
首先将三棱锥 的侧面沿着 剪开，得到 ，即 ，即可得到答案.
【详解】将三棱锥 的侧面沿着 剪开，如图所示：
因为 的周长的最小值为 ，
所以当 四点共线时， 的周长最小，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
又因为三棱锥 是正三棱锥，
所以 ，即侧棱SA，SC的夹角为 .
故选：A
9．ABC
根据棱柱的概念可判断A；举反例可判断B；根据棱柱的概念可判断C；根据直观图与原图面积关系可判断D.
【详解】对于A，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的
交线互相平行，故A错误；
对于B，若四棱柱的底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长，
则显然其四个侧面都是正方形，而此四棱柱不是正方体，B错误；对于C，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，
而侧棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱，
因此平行六面体不一定是斜四棱柱，故C错误；
对于D，直观图面积为 ，
根据直观图与原图面积关系可得 ，故D正确．
故选：ABC．
10．AC
利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得 ， 的交点 在 ，从而可判
断C；举反例即可判断D.
【详解】对于AB，如图，连接 ， ，
因为 是 的中位线，所以 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，所以 四点共面，A正确B错误；
对于C，如图，延长 ， 相交于点 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以 ，所以 三线共点，C正确；
对于D，因为 ，当 时， ，又 ，则 ，D错误.
故选：AC
11．BCD
由三角形有两解，可求 的取值范围，可判断A选项；取 的中点分别为 ，由数量积可得
， ，可判断B选项；因为 为锐角三角形中 ，进而可得 ，
从而由不等式的性质可判断C选项；设三边长为 ， 为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，若
，根据余弦定理和余弦的二倍角公式建立关于n的方程，解之可判断D选项.
【详解】对于A：因为该三角形有两解，所以 ，即 ，故A错误；
对于B： 中， 的中点分别为 ，如图：
由 得 ，即 ，
所以 是 的垂直平分线，则 ，
同理可得 ，则 ，
所以点 为 的外心，故B正确；
对于C：因为 为锐角三角形，
所以，当 时， ，又 在 上单调递增，
于是 ，即 ，
同理，可得 ， ，
综上可知， ，故C正确；
对于D：设三边长为 ， 为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，
若 ，从而 ，而 ， ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以存在三边为连续自然数 的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故D正确.
故选：BCD.
12．
根据圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】因为将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体为圆
锥，
且圆锥的底面半径为： ，圆锥的母线长为： .
所以圆锥的侧面积为： .
故答案为：
13．
将平面展开图复原为如图所示的正方体后结合正方体的性质可得 与 所成的角即为 或其补角，故可求
线线角的大小.
【详解】将平面展开图复原为如图所示的正方体：
设正方体的棱长为 ，连接 ，则 ，
由正方体的性质可得 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，故 与 所成的角即为 或其补角，而 ，
故 与 所成的角为 ，
故答案为： .
14．通过正弦函数最值，确定 ， ，从而得到 进而求解可解决问题.
【详解】 ，
所以 ，
又
所以必有 ， ， ，
因为 ， 当 时， ，
所以 得 ，所以 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ；
因此 的取值范围是 ．
故答案为： 15．（1） ，增区间 和 ；（2） .
（1）将函数 的解析式利用平面向量数量积的坐标运算，结合二倍角降幂公式与辅助角公式进行化简，利
用周期可得出函数 的最小正周期，求出函数 的单调递增区间，并与定义域 取交集，可得出
该函数在区间 上的单调递增区间；
（2）先由 计算出 的取值范围，结合正弦函数的图象得出 的最小值，于此可得出函数
的最大值，进而得出实数 的值．【详解】（1）
，
所以，函数 的最小正周期为 .
由 ，解得 ，
，
因此，函数 在 上的单调递增区间为 和 ；
（2） ， ，
所以，当 时，函数 取最大值，即 ，
因此， .
16．(1)
(2)
【详解】（1）
在 中， ，由正弦定理得
，
.
（2）由（1）知，
中，
17．(1)证明见解析(2)证明见解析
（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系，取 的中点 ，根据等腰三角形的性质，证明
平面 ；
（2）根据线线垂直，证明 平面 ，再根据线面垂直关系说明 ，再根据（1）的结果，证明线面
垂直.
【详解】（1）取 的中点 ，在等腰 中， ， 为 的中点，
∴ ，在等边 中， ，又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴
（2）∵在 中， ，又 ，又 ， 平面
∴ 平面 ，又 平面 ，∴
又由（1）知 （已证）， ， 平面 ，
∴ 平面
18．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
（1）根据体积公式可求几何体的体积；
（2）连 ，交 于 ，可证 ，故可证 平面 ；
（3）存在， ，此时作 中点 ，连结 ， ， ，可证平面 平面 ，故可得 平面
.
【详解】（1）连接 ，设 ，连接 ，则 平面 ．
中， ， ， ，所以 ．
（2）由正方形 可得 为 的中点，而 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（3）存在， ．理由如下：作 中点 ，连结 ， ， ．
， ，
又 平面MBD， 平面 ，
平面 ，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ，而 平面 ，
平面 ．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由 ，可得 ，
由正弦定理和余弦定理， ，
又由余弦定理， ，
因为 ，所以 ．（2） ，由正弦定理，
则
即 ，整理得
因 ，函数 在 上为增函数，
且 ，故 ；
（3）依题意， ，由（1）已得 ．
则 ．
因为 锐角三角形，所以 ，整理得 ．
因为 ，
因函数 在 上为增函数，则 ， ．
令 ，因函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
