四川省南充市嘉陵一中2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题PDF版含答案_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年12月试卷_1222四川省南充市嘉陵一中2024-2025学年高一上学期12月月考

嘉陵一中高 2024 级高一上第三次月考
数学试题
说明：本试卷分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150分，
考试时间 120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第 I卷（选择题）
一､选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）
A  xN x1x40  B  x 0 x3 
A B
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A.
1,2
B.
1,3
C.
2,3
D.
1,3
3
2. 函数 f xlgx 1的零点所在区间为（ ）
x
A.
0,1
B.
1,2
C.
2,3
D.
3,4
3. 已知alog 2,b21.1,clog 5，则a,b,c的大小关系为（ ）
3 3
A. cab B. bac
C. bca D. cba
4. 幂函数 f x  m2 m1  xm2m3在 0, 上是减函数，则实数m的值为（ ）
A. 2或1 B. 1 C. 2 D. 2或1
5. 函数 f xlog 2xa6（a0，且a1）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（ ）
a
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6. 已知函数 f xxaxbab 的图象如下图所示，则gxax b的图象可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
.
C. D.
7. 若函数 f xlog 1  x2 ax3a  在区间 2, 上是减函数，则a的取值范围为（ ）
2
A.
,4
B.
4,4
C.
4,4
D.
4,4
8.猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地
引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至
少需要经过n
 nN
年，则n（ ）（参考数据：lg20.3，lg111.04）
A 9 B. 8 C. 7 D. 6
二､多选题：本大题共 3个题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
2xx2
1
A. 函数 f x 的单调增区间是 1,
 
2
B. 函数yx1与y 3 x3 1是同一函数
2x 3
C. 函数 f x ，则函数y f x 的值域是 1,3
2x 1
D. 已知函数 f x 的定义域为 1,3 ，则 f 2x1 定义域为 1,1
10. 已知函数 f x 2x 1，实数a，b满足 f a f b ab，则（ ）
A. 2a 2b 2 B. a，bR，使得0ab1
C. 2a 2b 2 D. a b 0
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学科网（北京）股份有限公司11. 定义在R 上的奇函数 f x 满足 f 3x f 23x ，则下列结论一定成立的是（ ）
A. f 00 B. 2是 f x 的一个周期
C. 2,0 是 f x 的一个对称中心 D. f 3x1 为偶函数
第 II卷（非选择题）
三､非选择题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分，将答案写在答题卡上.）
12. 已知log 5m，log 7n，则用m，n表示log 9__________.
9 3 35
4 1
13. 已知函数yax11(a0且a1)的图象过定点 k,b ，若mnk且m0，n0，则  的
m n
最小值为__________.
  1  x
14. 若函数 f x      2   ,x  0 ，若 f x 在区间 m,n 上既有最大值，又有最小值，

x2  2x1,x  0
则nm的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 5小题，共计 77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （本题满分13分） 计算下列各式的值：
2
 27  3 1
（1） (0.002) 2 10( 5 2)1 ( 2  3)0 ；
 
 8 
1
（2） log 45 2log 2 log log 185log 5 4 ；
5 0.5 5 5
50
lg(x2 3x) 1
（3） .
16. （本题满分15分） 已知函数 f (x)4x 2x1m．
（1）当m0时，求函数 f(x)的零点；
（2）若 f(x)有两个零点，求实数m的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司17. （本题满分15分） 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，
在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的
药物含量y（毫克）与开始注射后的时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线，y与t的函数关系为
ymat(a0且a1).根据图中提供的信息：
（1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的函数关系式；
（2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留
小数点后两位）.（参考值：ln20.69,ln51.61）
ex a
18. （本题满分17分）已知函数 f x  为奇函数．（e为自然对数的底数，e2.718）
ex 1
（1）求a的值及函数 f x 的值域；
（2）用函数单调性的定义证明函数 f x 在𝑅上是增函数；
（3）求不等式 f
 4x
 f
 452x
0的解集．
19. （本题满分17分）已知函数 f xlog  4x 1  mx.
2
（1）若 f x 为偶函数，求实数m的值；
4x 1
（2）当m0时，若不等式  f log 2a1对任意x1恒成立，求实数a的取值范围；
2x  4 
 1 4 
（3）当m0时，关于x的方程 f 8log x2 2log  4 1在区间1,2 2上恰有两个不同的实
  4 2 x m    
数解，求实数m的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司嘉陵一中高 2024 级高一上第三次月考
数学试题参考答案
1-4、A C C B 5-8、 B C D B
9 ABC 10 CD 11 ACD
2
12、 13、9 14、1,3
2mn
167
15、（本题满分13分）【答案】（1） （2）6 （3）(2,0) (3,5)
9
【解析】【分析】（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可；
（2）根据对数的运算法则和性质化简求值；
（3）利用单调性解对数不等式，注意真数大于0.
【小问1详解】
 2 1  
 3 3 3  1   2 10 4 10 52
原式       1 10 5 1
 2  500 52 9 54
 
4 167
 10 510 5201 ……4分
9 9
【小问2详解】
1
原式log 592log 122 log 501log 184
5 2 5 5
1log 91log 50log 184
5 5 5
log 9log 252log 184
5 5 5
log 92log 2log 184log 292log 1846；……8分
5 5 5 5 5
【小问3详解】
不等式lg(x2 3x)10 x23x10，解得x2 3x0，得x0或x3，
解x2 3x10，得2 x5，因此2 x0或3 x5，
所以原不等式的解集为(2,0) (3,5).……13分
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学科网（北京）股份有限公司16、（本题满分15分）【答案】（1）1（2）(1,0)
【解析】
【分析】（1）m=0 代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程t2 2tm0在 0, 上有两解，利用二
次函数根的分布求解即可
【详解】（1）m0时， f x4x 2x1   2x2  22x 2x 2x 2  ，……3分
令 f x0可得2x 2，即𝑥 =1．……6分
 f x 的零点是1．……7分
（2）令2x t，显然t 0，则 f xt2 2tm．……8分
f x 有两个零点，且t 2x为单调函数，……9分
方程t2 2tm0在 0, 上有两解，
 m0

 44m0 ，解得：1m0．……14分

12m0

m的取值范围是 1,0 ．……15分
【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题
 1
4t,0t 

 2
17、（本题满分15分）【答案】（1）y 
1
 41t,t 
 2
（2）2.81小时
【解析】
1 1
【分析】（1）分0t  、t  两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式；
2 2
（2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出t的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
1 1  1
当0t  时，设ykt，将 ,2 代入ykt得2 k，……2分
2 2  2
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学科网（北京）股份有限公司 1
解得k 4，此时y4t  0t  ；……4分
 2
 1
当t  1 时，设ymat(a0且a1)，将   1 ,2  ､ 1,1 代入ymat，得   2ma2 ，
2 2   1ma
 1
a  1 t  1
解得 4 ，此时y 4   41t  t  .……6分
 m4 4  2
 1
4t,0t 

 2
综上可得y  .……7分
1
 41t,t 
 2
【小问2详解】
4t 0.08
1  1
当0t  时，令 1 ，解得0.02t  ；……10分
2 0t  2

 2
41t 0.08
1  1 ln5 1
当t  时，令 1 ，即 t   ……13分
2 t  2 ln2 2

 2
ln5 1 1
而  2.83，故 t 2.83……14分
ln2 2 2
药效时间2.830.022.81，
所以药效时间约为2.81小时. ……15分
18、（本题满分17分）【答案】（1）a1，
1,1
（2）证明见解析 （3）2,0
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域.
（2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明.
（3）利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司ex a
因为函数 f x 为奇函数，定义域为R ，所以 f x f x0.……1分
ex 1
所以 ex a  ex a 0 1aex  ex a 0a1 ex 1  0
ex 1 ex 1 ex 1 ex 1
因为ex 10，所以a10，所以a1.……3分
ex 1 2
所以 f x 1 ，
ex 1 ex 1
1 2 2
因为xR，所以ex 11 0 1 2 0 11 1，即 f x1,1 .
ex 1 ex 1 ex 1
所以函数 f x 的值域为： 1,1 .……6分
【小问2详解】
设x  x ，
1 2
则 f x  f x   ex 2 1  ex 1 1   ex 2 1  ex 1 1    ex 1 1  ex 2 1   2  ex 2 ex 1  .
2 1 ex 2 1 ex 1 1  ex 2 1  ex 1 1   ex 2 1  ex 1 1 
因为x  x ，所以0<ex 1<ex 2 ，于是ex 2 ex 1 0，ex 2 10，ex 1 10，
1 2
2  ex 2 ex 1 
所以 0.
 ex 2 1  ex 1 1 
所以 f x  f x 0即 f x  f x  .
2 1 2 1
所以函数 f x 在R 上单调递增. ……11分
【小问3详解】
由 f
 4x
 f
 452x
0  f
 4x
f
 452x
.……12分
因为函数 f x 为奇函数，且在R 上单调递增.
所以 f  4x  f  52x 4   4x 52x 4  2x2 52x 40……14分
所以  2x 1  2x 4  0 12x 4  0x2 2 x0.……16分
即所求不等式的解集为：2,0 ……17分
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学科网（北京）股份有限公司 1  8 
19、（本题满分17分）【答案】（1）m1 （2）  , 21  （3） ,1 
 2  9 
【解析】【分析】（1）根据偶函数解得m1，再用定义法进行证明；
4x 1
（2）记gx 2x 2x， x1 ，判断出gx 在(1,+∞)上单调递增，列不等式组求出实数a的
2x
取值范围；
（3）先判断出 f xlog  4x 1  mx 在 R 上单调递增且 f 01，令t log x ，把问题转化
2 2
4  3  3 4
2t2 2t 40在t 0, 上有两根，令y 2t2 2t4，t 0, ，y  ，利用图象有两
m   2   1   2   2 m
个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
f xlog  4x 1  mx定义域为R ，
2
因为 f x 为偶函数，所以 f 1 f 1 ，
即log  411  mlog  411  m，解得：m1，……3分
2 2
此时， f xlog  2x 2x ，
2
所以 f xlog  2x 2x  f x ，
2
所以 f xlog  2x 2x 为偶函数，
2
所以m1；……4分
【小问2详解】
4x 1 4x 1
当m0时，不等式  f log 2a1可化为： log 2a2，……5分
2x  4  2x 2
4x 1
即 log 2a2对任意x1恒成立，
2x 2
4x 1
记gx 2x 2x， x1 ，只需g(x) log 2a2 ，……7分
2x min 2
因为y 2x在(1,+∞)上单调递增，y2x在(1,+∞)上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以gx2x 2x在(1,+∞)上单调递增，
1 3
所以g(x)  g12  ，
min 2 2
 3
log 2a2 1
所以 2 2，解得： a 21，……9分
2
  2a10
 1 
即实数a的取值范围为  , 21 ；……10分
 2 
【小问3详解】
当m0时，ylog  4x 1  在R 上单调递增，ymx在R 上单调递增，……11分
2
所以 f xlog  4x 1  mx在R 上单调递增且 f 0log  40 1  1，
2 2
 1 4   1 4 
则 f 8log x2 2log  4 1可化为 f 8log x2 2log  4  f 0 ，
  4 2 x m     4 2 x m  
1 4
又因为 f x 在R 上单调递增，所以8log x2 2log  40，……12分
4 2 x m
2
log x 4
换底得：8 2  2log x 40，
log 4 2 m
 
2
4
即2log x2 2log x 40，
2 2 m
 3
令t log x，则t 0, ，
2   2  
4  3
问题转化为2t2 2t 40在t 0, 上有两根，……14分
 
m  2
4  3
即 2t2 2t4，t 0, ，
 
m  2
 3 4
令y 2t2 2t4，t 0, ，y  ，
1   2   2 m
分别作出图像如图所示：
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只需4  ，解得： m1，……16分
m 2 9
8 
即实数m的取值范围为 ,1

.……17分
9 
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
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