文档内容
嘉陵一中高 2024 级高一下期第二次考试
数学试题
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，
考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B．1 C． 或1 D．2
2．如图，在 中，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
4．如图所示，已知正方形O' A'B'C'的边长为1，它是
水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长
为( )
A．4 B． 2√2 C． 8 D． 2+2√3
5．已知 ，则 的值为（ ）
答案第1页，共10页A． B． C． D．
6．已知一个正四棱锥的底面边长为 ，内切球的体积为 ，则这个正四棱
锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ π
7．已知平面向量 ⃗
a,
⃗
b
满足|a|=1,⟨b,a+b⟩= ，则| ⃗
a−
⃗ b|的最大值为（ ）
6
A．2 B． √2+1 C． √3+1 D． 3
8．在棱长均为 的正四面体 中， 为 中点， 为
中点， 是 上的动点， 是平面 上的动点，则 的
最小值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分）
9．已知复数 ，其中 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B． ，则 C． D．
10．已知函数 的部分图象如图
所示，则（ ）
A．
B． 是 的一个对称中心
答案第2页，共10页C． 的单调递增区间
D．若实数 ， 满足. ，则 的最小值为
11．如图，在正方体 中，E，F是底面正方形 四边上的两个
不同的动点，过点 的平面记为 ，则（ ）
A． 截正方体的截面可能是正五边形
B．当E，F分别是 的中点时， 分正方体两部分的体
积 之比是25∶47
C．当E，F分别是 的中点时， 上存在点P使得
D．当F是 中点时，满足 的点E有且只有2个
第II卷（非选择题）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知圆锥底面半径为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的母
线长为 ．
13．函数 最大值为 ．
14．解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.某校数学
兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点
C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30∘，45∘，60∘，且CD=DE=22m，
则解放碑的高AB为 m．
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､
证明过程或演算步骤）
答案第3页，共10页15．（本小题满分13分）已知 ， ．
(1)若 与 的夹角为 ，求 的值．
(2)求向量 在向量 上投影的数量．
16．（本小题满分15分）在 中，设 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求角 的值；
(2)若 ，判断 的形状；
(3)若 为锐角三角形，且 ，求 的面积 的取值范围.
17．（本小题满分15分）设函数 ，
(1)若函数 在 是增函数，求实数 的最大值；
(2)设 ，若函数 在区间 上恰有两个零点，求 的取
值范围.
18．（本小题满分17分）如图已知四棱锥 ，底面 为梯形，
， ， ，P、Q为侧棱 上的点，且
，点 为 上的点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
答案第4页，共10页(3)平面 与侧棱相交于点 ，求 的值．
19．（本小题满分17分）已知O为坐标原点，对于函数 ，称
向量 为函数 的伴随向量，同时称函数 为向量 的伴随函数.
（1）设函数 ，试求 的伴随向量 ；
（2）记向量 的伴随函数为 ，求 且 时 的
值；
的
（3）由（1）中函数 图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象
向右平移 个单位长度得到 的图象，已知 ， ，问在 的图
象上是否存在一点P，使得 .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
答案第5页，共10页数学参考答案
一二、选择题
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
号
答
B D B C D A C A AC BD BCD
案
三、填空题：12. 6 13. 14. 11√6
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
7．【解析】解：设 a=OA,b=OB,a+b=OC ，如图，
π
由题意，即在平行四边形OACB中，OA=1,∠OCA= ，
6
延长OA至OD，使OA=AD，则CD=AB，
OA
由正弦定理，O，A，C三点所在外接圆的直径2R= =2，
sin∠OCA
所以R=1，设圆心为G，如图，
π
所以可知∠GOD= ，又OG=1，OD=2，
3
√ π
所以由余弦定理可得DG= 12+22−2×1×2×cos =√3，
3
则由图可知CD≤DG+R=1+√3.
故选：C.
根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求CD的最值，利用外接
圆结合数形结合可求最值．
本题考查了平面向量加法的几何应用和正弦定理的应用，
属于中档题．
8．由题知,在正四面体 中, 为 中点,
答案第6页，共10页, 平面 ,
设 中点为 ,连 , 为 中点,
,且 , 平面 ,
即为 在平面 上的射影,
沿 展开平面 ,使之与平面 重合,
此时, 的最小值即为点 到 的距离,
故过点 作 于点 ,
又 , , ,
,
,
11．A.若 截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的
平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平
行，故截面不可能是五边形，选项A错误．
B.如图，延长 分别交 于点G，I，连接
分别交 于点H，J，
∴截面为五边形 ，记正方体棱长为6，
，
截面 下侧的体积为
，
答案第7页，共10页另侧体积为： ，∴ ，故选项B正确.
C．截面 为图中等腰梯形 ，此时取 中点P，知 ，
平面 , 平面 ∴ ，故选项C正确．
D.当E在 上时，设 ，
由 ，
故 上有一个点E；当E在 上时，
，故 上不存在这样的点E；
当E在 上时， ，故 上也不存在；
当E在 上时，设 ，∴ ，故 上存在
一个点E，∴共2个，选项D正确．
14．11√6
x
【解析】解：由题意，设AB=xm，Rt△ABC中，BC= =√3xm，
tan30∘
x x √3
同理可得BD= =xm，BE= = xm，
tan45∘ tan60∘ 3
因为CD=DE=22m，所以在△BEC中，
1
x2+442−3x2
BE2+EC2−BC2 3
cos∠BEC= = …①，
2BE⋅EC √3
2× x×44
3
1
x2+222−x2
BE2+ED2−BD2 3
在△BDE中，cos∠BED= = …②，
2BE⋅BD √3
2× x×22
3
由①②组成方程组，解得x=11√6，即AB=11√6m.
答案第8页，共10页故答案为：11√6.
设AB=x米，根据锐角三角函数的定义求出BC、BD、BE关于x的表达式，然
后分别在△BEC、△BDE根据余弦定理列式，建立关于x的方程，解之即可得到
本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数的定义、余弦定理等知识，考查了计算能力、图形
的理解能力，属于中档题．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步
骤）
15．（本小题满分13分） （1）因为 ， ，
又 与 的夹角为 ，
则 ，解得 ；.............................................（6
分）
（2）因为 ， ，所以 ， ，
所以向量 在向量 上投影的数量为 ；..............................................（7
分）
16．（本小题满分15分）（1）在 中，由 及正弦定理，得
，
整理得 ，
因 ，则 ，则得 ，而 ，所以 ；...............（4
分）
（2）在 中，由 及正弦定理，得 ，
故得 ，因 ，故得 ，即 为等边三角形；......（9
分）
（3）由（1）知， ，
答案第9页，共10页因 为锐角三角形，得 ，则 ，
由正弦定理，得 ，
所以 ；...........................................（15
分）
17．（本小题满分15分）（1）
.....................................（4分）
令 ，则 ，..........（6分）
令 ，则 ；令 ，则 ；令 ，则 ；
若函数 在 是增函数，则 ，则 的最大值为 ；..........（9
分）
（2） ，
因为 ，则当 时， ，
为使 在 上恰有两个零点，则 ，
解得 ，则 的取值范围为 ；...............................................（15
分）
18．（本小题满分17分）（1）连接 ，
在 中， ， ，且 ，
答案第10页，共10页又 ， ， 且 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；..............................................................................................(5
分)
（2）由（1）得 ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
在 中， ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又因 且 均在平面 中，
平面 平面 ；...................................................................................（11
分）
（3）由（1）知 ，又 面 ， 面 ， 平面 ，
又 平面 ，面 面 ，
，又 ， ， ．..................................（17
分）
19．（本小题满分17分）
（1）
（2）
（3）存在点 ，使得 .
【分析】（1）利用诱导公式求出 ，从而得到 的伴随向量；
答案第11页，共10页（2）根据向量得到 ，利用利用凑角法得到 ；（3）先求出 ，再设出P点
坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到 ，根据两
边的取值范围，得到当且仅当 时， 和 同时等于 ，此时
.
【小问1详解】 ，
故 ；...........................................(5分)
【小问2详解】由题意得： ，故
，由于 ，所以 ，所以 ，所
以
............................................(10分)
【小问3详解】
，所以 ，假设存在点
答案第12页，共10页，使得 ，则
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以当且仅当 时，
和 同时等于 ，此时 ，故在函数 的图象上存
在点 ，使得 ............................................(17分)
答案第13页，共10页
