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2.5.1直线与圆的位置关系 -B提高练
一、选择题
1．（2020上海高二课时练习）若直线 与圆 有两个不同的公共点，那么点 与
圆 的位置关系是（ ）．
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
【答案】A
【解析】因为直线 与圆 有两个公共点，所以有 ，
即 ，因为点 与 的圆心的距离为 ，圆 的半径为2，
所以点 在圆外.故选:A．
2．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆 相切, 且与直线
垂直, 则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】设过点 的直线的斜率为 ，则直线方程 ，即 ，由于和
圆相切，故 ，得 ，由于直线 与直线 ，因此
，解得 ，故答案为C.
3.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2]【答案】A
|2+0+2|
【解析】设圆心到直线 AB的距离d= =2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2
√2
≤d'≤3√2.
1
又AB=2√2,∴S = ·|AB|·d'=√2d',∴2≤S ≤6.
ABP ABP
2
△ △
4．（2020全国高二课时练习）点 在直线 上, ， 与圆 分别相切于
A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为 （ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【解析】
分析：因为切线 ， 的长度相等，所以四边形PAOB面积为 的面积的2倍．因为 ，
所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求 的最小值．当 取最小值时， 取最小值．
的最小值为点P到直线 的距离 ，因为圆 的圆心坐标为
，半径为 ．进而可求切线 的长度的最小值，最小值为 ．可求四边形
PAOB面积的最小值 ．
5．（多选题）（2020·江苏连云港高二期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重
心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M： 相切，则下列结论正确
的是（ ）
A．圆M上点到直线 的最小距离为2
B．圆M上点到直线 的最大距离为3
C．若点（x，y）在圆M上，则 的最小值是
D．圆 与圆M有公共点，则a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”
即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为 ，且直线的BC的斜
率 ，所以线段BC的垂直平分线的斜率 ，所以线段BC的垂直平分线的方程为
即 ，又圆M： 的圆心为 ，半径为 ，
所以点 到直线 的距离为 ，所以圆M： ，
对于A、B，圆M的圆心 到直线 的距离 ，所以圆上的点到直线
的最小距离为 ，最大距离为 ，故A正确，B错误；
对于C，令 即 ，当直线 与圆M相切时，圆心 到直线的距离为 ，解得 或 ，则 的最小值是 ，故C正确；对
于D，圆 圆心为 ，半径为 ，若该圆与圆M有公共点，则
即 ，解得 ，故D
正确.故选：ACD.
6.（多选题）（2020江苏省响水中学高二月考）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为
.若直线 上存在一点 ，使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的
取可以是( )
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】 ， 所作的圆的两条切线相互垂直，所以 ，圆点 ，两切
点构成正方形 即 ， 在直线 上，圆心距
，计算得到 ，故答案选AB
二、填空题
7．（2020全国高二课时练习）直线l与圆 相交于A，B两点，若弦AB的
中点为 ，则直线l的方程为____________.
【答案】
【解析】由圆的方程可得，圆心为 ，所以 ，故直线 的斜率为 ，所以直线方程为，即 ，故填 .
8．（2020·浙江温州高二月考）已知 ，则直线 过定点__________；若直线
与圆 恒有公共点，则半径r的取值范围是__________.
【答案】
【解析】将直线 化简为点斜式，可得 ， 直线经过定点 ，且斜率为 ．
即直线 过定点 恒过定点 ． 和圆 恒有公共点，
，即半径 的最小值是1，故答案为： ； ．
9．（2020·上海高二课时练习）若直线 与圆 相交于 两点，且
（其中 为原点），则 的值为__________.
【答案】 或
【解析】
取 的中点为 ，连接 ，则 .因为 ，故 ，所以 ，
又直线 的方程为： ，所以 ，故 .10.（2020湖北襄阳三中高二月考）如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的
中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P
以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D
的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约 秒(精确到0.1).
【答案】4.4
【解析】以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),
20-2.5t
可得出直线PQ的方程y-10+t= (x-10),
20
2.5t-20
| -t+10|
2
圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得 ≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得
√ 20-2.5t
1+( )2
20
8√7-8 8√7-8
0≤t≤ ,而 ≈4.4,因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.
3 3
三、解答题
11．（2020·上海市金山中学高二期末）如图，某海面上有 、 、 三个小岛（面积大小忽略不计），
岛在 岛的北偏东 方向距 岛 千米处， 岛在 岛的正东方向距 岛20千米处.以 为坐标
原点， 的正东方向为 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆 经过 、 、 三
点.（1）求圆 的方程；
（2）若圆 区域内有未知暗礁，现有一船D在 岛的南偏西30°方向距 岛40千米处，正沿着北偏东
行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【解析】（1）如图所示， 、 ，
设过 、 、 三点的圆 的方程为 ，
得： ，
解得 ， ， ，
故所以圆 的方程为 ，
圆心为 ，半径 ，
（2）该船初始位置为点 ，则 ，
且该船航线所在直线 的斜率为1，
故该船航行方向为直线 ： ，
由于圆心 到直线 的距离 ，
故该船有触礁的危险.
12．（2020全国高二课时练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积
的最小值.
【解析】（1）设圆 的方程为： ，
根据题意得 ，
故所求圆M的方程为：
（2）如图
四边形 的面积为
即
又 ，所以 ，
而 ，即 .
因此要求 的最小值，只需求 的最小值即可，
的最小值即为点 到直线 的距离所以 ，
四边形 面积的最小值为 .
