山东省泰安市肥城市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）_2024-2025高一（7-7月题库）_2025年05月试卷_0530山东省泰安市肥城市2024-2025学年高一下学期期中考试

高 一 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. i1+i= A. -1+i B. 1+i C. -1-i D. 1-i 2. 下列向量的运算结果不正确的是 uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB+BC = AC B. AB-AD= DB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AB- AD+DC = BC D. OA-OD+ AD=0 3. 已知水平放置的DABC的斜二测直观图为DA¢B¢C¢，如图所示. 若DA¢B¢C¢是等腰直 角三角形（点O¢与点A¢重合），A¢B¢=2， 则DABC的面积为 A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 4. DABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b= 3,c =3,A=30o，则a= A. 3 B. 6 C. 3- 3 D. 21 2 uuur 5. 如图，DABC中，AD= AB,点E是CD的中点，则AE = 3 A D B E Cuuur uuur uuur uuur 1 1 2 1 A． AB+ AC B. AB+ AC 6 2 3 2 uuur uuur uuur uuur 1 1 1 1 C. AB+ AC D. AB+ AC 2 3 3 2 6. 如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点B与点A的距离，现取南岸一点 C，测得ÐBAC =a，ÐBCA=b，AC =s，则AB = s×cosb s×sinb A. B. cosa+b sina-b s×cosb s×sinb C. D. sina+b sina+b 7. 长方体ABCD-ABC D 中，直线AC与平面ABD 的交点为M ，AC 与BD 交于 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 点O，则下列结论正确的是 A. A，M ，O三点共线 B. A，M ，O三点确定一个平面 C. D，D ，M ，O四点共面 1 D. A，B ，B，O四点共面 1 p 8． DABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A= ,a= x>0,b=4，则当DABC有 3 两解时，x的取值范围是      A. é2 3,4ù B. 2 3,4ù C. 2 3,4 D. 2 3,+¥ ë û û 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9. 复数z =a2 -4+a+2i，aÎR，z 的共轭复数为z ，则 A．若z 为纯虚数，则a =±2 B．若a=-1，则z×z =10 z 3 4 C．若a =0，则 = - i z 5 5 D．若z 在复平面内对应的点位于第四象限，则a<-2 10. 用一个平面a去截棱长为 1 的正方体ABCD-ABC D ,则 1 1 1 1 A．若平面a过点A,C,B ,则截面的周长为6 1 B．若平面a过点A,C,B ,则截得的两个几何体的外接球体积相等 1 C．若平面a过点A,D,B ,则截得的两个几何体的表面积均为3+ 2 1 D．若平面a过点D,B ,则平面a截正方体ABCD-ABC D 的外接球所得截面 1 1 1 1 1 b的面积不是定值 11. 已知向量a,b是两个单位向量，则 A．若a,b不共线，则 a+b^a-b æ1 ö B. 若a =cosa,sina,b= ç ,t ÷，且a//b，则tana= 3 è2 ø 2π 1 C. 若a,b的夹角 ，则向量a在向量b上的投影向量是- b 3 2 2π D. 若 a-b ³ 3，向量a,b的夹角为q，则q的最小值为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 uuuur 12. 已知复平面上点M对应的复数是 1，点N对应的复数是 i，则向量MN对应的复数是 ▲ . 13. 一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 5,4,3，则球的表面积 是 ▲ . 14. 如图，矩形ABCD中，边AB=3,AD=2，E,F分别是BC,CD上的点，若 BE CF uuur uuur = =t0£t £1, 则AE×AF 的取值范围是 ▲ . BC CD F D C E A B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 2+i2 已知复数z = -4i5. 4-3i （1）求z ； （2）若复数1+z是关于x的方程x2 +mx+n=0的一个根，求出实数m,n的值， 并把代数式x2 -mn分解成一次因式的积. 16.（15分） 已知a,b是两个不共线向量，且a,b的夹角为q. uuur uuur uuur （1）若AB=a+5b,BC =-2a+xb，CD=3a-3b，当A,B,D三点共线时，求实 数x的值； （2）若 a =3，b = 2，q=45o，那么当实数l为何值时，la-b 的值最小.17.（15分） 已知a,b,c分别是DABC的三个内角A,B,C的对边，且满足2asinB= 3b. （1）求A； （2）若b+c=6，DABC的面积为 3，求a. 18.（17分） 如图1，设半圆的直径为 4 ，点B、C三等分半圆，点M 、N 分别是OB、OC的 中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段MN的长； （2）求四面体ACMN的体积； （3）求三棱锥M -ABC与三棱锥N - ABC 公共部分的体积． 19.（17分） 如图，M,C,N 是以点O为圆心，OB为半径的BD上的点，点M 、N 关于直线OC 对称，OC ^ AE,OA=OE,ÐBAE =ÐAED.如果以线段EA所在直线为实轴，以线段 CO所在直线为虚轴，建立复平面. 则A,B两点在复平面内对应的复数分别为z =4 3,z =5 3-5i. 1 2 uur uuur （1）求OA×OB的值； （2）求ÐABO的正弦值； （3）点M 在何位置时，五边形BMCND的面积S 取到最大值，并求出该最大值. E O A D B N M C高一数学参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A D D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. -1+i 13. 50p 14. 4,9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 3+4i 解：（1）z = -4i5 ………………………………………………………………2分 4-3i 3+4i = -4i …………………………………………………………………………………4分 4-3i 3+4i4+3i = -4i， 4-3i4+3i 25i = -4i 25 = -3i ………………………………………………………………………………………6分 （2）解法一：因为复数1-3i是方程x2 +mx+n=0的一个根，则复数1+3i是 方程x2 +mx+n=0的另一个根， …………………………………………………………8分 ì-m =1-3i+1+3i 由韦达定理得í ，解得m=-2,n=10. ……………………………10分 n =1-3i1+3i î则x2 -mn = x2 +20= x2 -20i2  2 = x2 - 2 5i ………………………………………………………………………………12分    = x+2 5i x-2 5i ……………………………………………………………………13分 解法二：因为复数1-3i是方程x2 +mx+n=0的一个根，所以有 1-3i2 +m1-3i+n=0，整理得m+n-8-3m+6i =0， ìm+n-8=0 所以í ，解得m=-2,n=10. …………………………………………10分 î3m+6=0 则x2 -mn = x2 +20= x2 -20i2  2 = x2 - 2 5i ………………………………………………………………………………12分    = x+2 5i x-2 5i ……………………………………………………………………13分 16.（15分） uuur uuur uuur uuur 解：（1）由题意可得： AD= AB+BC+CD=2a+2+xb， …………………2分 uuur uuur 因为A,B,D三点共线，所以存在唯一实数k，满足AD=kAB， 即有2a+2+xb= ka+5kb， ……………………………………………………4分 ìk =2 所以í ，解得x =8. ………………………………………………………7分 î5k =2+x （2）因为 a =3，b = 2,q=45o， 2 所以可求得a×b= a × b cosq=3´ 2´ =3， …………………………………10分 2 所以la-b 2 =la-b2 =l2a2 -2la×b+b2 =9l2 -6l+2， …………………13分2 æ 1ö 1 因为9l2 -6l+2=9 l- +1，当l= 时，la-b 2 取得最小值1， ç ÷ è 3ø 3 此时la-b 的最小值也为1. ……………………………………………………15分 17.（15分） 解：（1）因为2asinB= 3b， 所以由正弦定理可得，2sinAsinB= 3sinB，…………………………………………2分 3 解得sin A= . ………………………………………………………4分 2 p 2p 因为0< A= = ， ………………………………8分 uuur uuur BA BO 7 21 可得sinÐABO= 1-cos2ÐABO = . …………………………………9分 7 p 解法二：由（1）知，ÐAOB= ,OA=4 3,OB=10, 6由余弦定理得：AB2 =OA2 +OB2 -2OA×OBcosÐAOB 3 =48+100-2´4 3´10´ =28，所以AB=2 7 . ………………………7分 2 OA AB 由正弦定理得： = ,所以得： sinÐABO sinÐAOB 1 4 3´ OAsinÐAOB 2 21. ………………………………9分 sinÐABO= = = AB 2 7 7 （3）由题意可知，DBCD的面积是定值，因为点M 与点N 关于直线OC对称， 所以只需求DBCM 的面积的最大值即可. 在DBCM 中，BC的长度是定值，故只需求点M 到直线BC的距离的最大值， 因为曲线BCD为圆弧，所以当点M 是圆弧BC的中点时，点M 到直线BC的距离最大， 从而DBCM 的面积达到最大. …………………………………………………12分 p 连接OM,ON ,因为ÐAOB= , 6 p 可知ÐBOM =ÐCOM =ÐCON =ÐDON = , 6 2p 又因为OB=OM =OC =ON =OD=10,ÐBOD= , …………………14分 3 五边形BMCND的面积为S ，则有 1 1 1 3 S =4S -S =4´ ´10´10´ - ´10´10´ =100-25 3.………17分 max DBOM DBOD 2 2 2 2