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期末模拟卷4
一．选择题（共8小题）
1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了 100次试验，发现正面朝上
出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45 0.45 B．0.5 0.5 C．0.5 0.45 D．0.45 0.5
2．已知i是虚数单位，则复数 的实部和虚部分别是（ ）
A．﹣7，3 B．7，﹣3i C．7，﹣3 D．﹣7，3i
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是
A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（
）
A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数
4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（
）
A．者 B．事 C．竟 D．成
5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于
如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则
该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2， ≈1.732）
A．63 B．69 C．75 D．81
6．已知向量 不共线， ， ，若 ，则m＝（ ）A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3
7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分 3组，分别为[5，10），[10，
15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．已知正方体ABCD﹣A B C D 棱长为4，P是AA 中点，过点D 作平面 ，满足CP⊥平
1 1 1 1 1 1
面 ，则平面 与正方体ABCD﹣A B C D 的截面周长为（ ） α
1 1 1 1
α α
A．4 B．12 C．8 D．8
二．多选题（共4小题）
9．某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了
2019年1月至2019年12月期间二手房成交均价（单位：元/平方米）的数据（均价＝销
售总额÷销售总面积），绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有（ ）A．月均价的极差大于4000元/平方米
B．年均价一定小于18000元/平方米
C．月均价高峰期大致在9月份和10月份
D．上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3 ，则a＝
D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形
11．下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量 ，若 |，且 与 同向，则
B．已知 ， 为单位向量，若 ，则 在 上的投影向量为
C．设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分不必
λ
要条件
D．若 ，则 与 的夹角是钝角
12．如图，正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为1，动点E在线段A C 上，F、M分别是
1 1 1 1 1 1
AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）A．FM∥A C
1 1
B．BM⊥平面CC F
1
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC D D
1 1
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
三．填空题（共4小题）
13．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别
为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的
概率为 ．
14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八
十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北
乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488人，南面有6912人，
这三面要征调 300人，而北面共征调 108人（用分层抽样的方法），则北面共有
人．”
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点
的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝
60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m．
16．在底面为等腰梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，PA＝8，PA⊥平面ABCD，该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为 ，
球O的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积的比值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知不共线向量 与 ，其中 ＝（2，m）， ＝（1，2）．
（Ⅰ）若（ ﹣ ）⊥ ，求m的值；
（Ⅱ）若向量2 ﹣ 与 +2 共线，求m的值．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．
（1）求证：CD∥平面SAB；
（2）求证：BD⊥SC．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，AA ⊥平面ABC，AB＝AA ＝6，AC＝8，D，E分别
1 1 1 1 1
是AC，CC 的中点．
1
（1）求证：AB ∥平面BDC ；
1 1
（2）若异面直线AB与A C 所成的角为30°，求三棱锥C ﹣BDE的体积．
1 1 121．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）证明acosB+bcosA＝c；
（2）在① ，②ccosA＝2bcosA﹣acosC，③2a﹣ 这三个
条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若 a＝7，b＝5，______，求△ABC的周
长．
22．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医
疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员
工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25人调
查专项附加扣除的享受情况．
员工 A B C D E F
项目
子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇
继续教育 × × 〇 × 〇 〇
大病医疗 × × × 〇 × ×
住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇
住房租金 × × 〇 × × ×
赡养老人 〇 〇 × × × 〇
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，
D，E，F．享受情况如上表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受现从这6人中随
机抽取2人接受采访．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M发生
的概率．
