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2024-2025 学年广东省湛江市高一上学期期末调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={1,3,5,7}，B={x|3≤x<6}，则A∩B=( )
A. {1,3} B. {1,7} C. {3,5} D. {5,7}
2.函数 的一个零点所在区间为( )
f(x)=2x+x−4
A. (−1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (3,4)
3.清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，
少年强则国强”的口号.其中“国强”是“少年强”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2x
4.函数f(x)= 的图象大致是( )
1+x2
A. B.
C. D.
2
5.已知cos(π−θ)= ，则cos(−θ)=( )
5
√21 2 2 √21
A. − B. − C. D.
5 5 5 5
1
6.已知函数f(x)=x+ ，x∈(1,+∞)，则下列不等式恒成立的是( )
x
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1 1A. B.
f(8)>f(k2+2k+4) f(6)>f(k2+2k+4)
C. D.
f(4)0且a≠1)的图象恒过定点(k,b)，若m+n=b−k且m>0，n>0，则 +
a m n
的最小值为( )
9 5
A. 9 B. 8 C. D.
2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
√6+√2 √3
A. cos15∘= B. cos415∘−sin415∘=
4 2
π π π
tan 2cos −sin
8 1 18 9
C. = D. =√3
π 2 π
1+tan2 cos
8 9
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2 1( π π)
10.函数f (x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,− <φ< 的部分图象如图，则( )
2 2
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点( π )对称
f (x) π f (x) − ,0
12
C. 在[ 5π π]上单调递增 D. 在 上有 个零点
f (x) − ,− f (x) [0,π] 2
6 3
11.已知 {x2+2x−3,x⩽0，则下列结论正确的是( )
f(x)=
lnx−2,x>0
A. f(f(1))=−3
B. 函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)∪(0,+∞)
C. 当−4−3时，方程f(x)=k有两个不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题p：∀x>2，x2−1>0，则¬p是 ．
sinα+3cosα
13.已知 =2，则tanα= ．
2cosα−sinα
14.若 f(x)= { log a (x−1),x>2 ，且 f(x) 满足：对任意实数 x ≠x ，都有 f(x 1 )−f(x 2 ) >0 成立，则实
(2a−3) x−9,x≤2 1 2 x −x
1 2
数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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3 115.(本小题13分)
计算 1 10 − 2
(1) (2 ) 0.5−(2 ) 3−π0;
4 27
计算
(2) (lg5) 2+lg2×lg50+lg0.01;
a+a−1
(3) 已知
a
1
2−a
− 1
2=2√3
，求式子
1 − 1
的值．
a2+a 2
16.(本小题15分)
已知sinα+cosα=m，
(1)若m=√2，求tanα的值；
1 10 π
(2)若tan2α+ = ，且α∈(0, )，求实数m的值．
tan2α 3 4
17.(本小题15分)
5 1
(1)已知x< ，求4x−2+ 的最大值;
4 4x−5
(2)若正数x，y满足x2+xy−2=0，求3x+ y的最小值．
18.(本小题17分)
π
已知函数f(x)=3sin(ωx− )的最小正周期为π，其中ω>0．
6
(1)求ω的值；
π π
(2)当x∈[− , ]时，求函数f(x)的单调区间；
4 4
π
(3)求函数f(x)在区间[0, ]上的值域．
2
19.(本小题17分)
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4 1已知函数f(x)的定义域为D，且D⊆(0,+∞)，若对任意x ，x ∈D，当x log 1 f(x) D T
1 2 2 x
2
(1)若定义在(0,+∞)上的函数g(x)为减函数，判断g(x)是否为(0,+∞)上的T函数，并说明理由;
(2)若f(x)为(0,+∞)上的T函数，且f(2)=5，求不等式f(2x)>log (32x)的解集;
2
1
(3)若k(x)=(log x+a3 )log x为[ ,2]上的T函数，求实数a的取值范围．
2 2 2
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5 1参考答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.B
6.D
7.D
8.B
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.∃x>2，x2−1≤0
1
13.
3
14.(2,3]
15.解： 1 10 − 2 9 64 − 2 3 9 1 ．
(1)(2 ) 0.5−(2 ) 3−π0=( ) 0.5−( ) 3−1= − −1=−
4 27 4 27 2 16 16
．
(2)(lg5) 2+lg2×lg50+lg0.01=(lg5) 2+(1−lg5)×(1+lg5)−2=−1
(3) 由 a 1 2−a − 1 2=2√3 ，得 (a 1 2−a − 1 2) 2=12 ，
所以a+a−1=14．
又因为 1 − 1 1 − 1 )2 ，且 1 − 1 ，
(a2+a 2) 2=(a2−a 2 +4=16 a2+a 2>0
所以 1 − 1 ．
a2+a 2=4
a+a−1 14 7
= =
所以 ．
1 1 4 2
−
a2+a 2
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6 116.解： ，
(1)sinα+cosα=√2⇒(sinα+cosα) 2=2=2(sin2α+cos2α)
，
∴(sinα−cosα) 2=0
∴sinα=cosα，即tanα=1．
1 10 10 1
(2)tan2α+ = ⇒tan4α− tan2α+1=0⇒tan2α=3或 ，
tan2α 3 3 3
π 1 π
而α∈(0, )，tan2α= ⇒α= ，
4 3 6
π π 1+√3
∴m=sin +cos = ．
6 6 2
5
17.解：(1)由于x< ，所以4x−5<0，
4
1 1
所以4x−2+ =4x−5+ +3
4x−5 4x−5
−1
=−[−(4x−5)+ ]+3
4x−5
√ −1
≤−2 −(4x−5)⋅ +3=1，
4x−5
−1
当且仅当−(4x−5)= ，4x−5=−1，x=1时等号成立，
4x−5
1
所以4x−2+ 的最大值为1．
4x−5
(2)依题意，正数x，y满足x2+xy−2=0，
−x2+2 2
所以y= =−x+ ，
x x
2 2 √ 2
所以3x+ y=3x−x+ =2x+ ≥2 2x⋅ =4，
x x x
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7 12
当且仅当2x= ，x=1时等号成立，
x
所以3x+ y的最小值为4．
2π
18.解：(1)由题意可得 =π，解得ω=2；
ω
π
(2)由(1)知f(x)=3sin(2x− )，
6
π π π π π
由2kπ− ≤2x− ≤2kπ+ 可得kπ− ≤x≤kπ+ ，k∈Z．
2 6 2 6 3
π π π π
∴k=0时，单调增区间为：[− , ]，单调减区间为：[− ,− ]，
6 4 4 6
π π π 5π
(3)∵x∈[0, ]，∴2x− ∈[− , ]，
2 6 6 6
π 1
∴sin(2x− )∈[− ,1]，
6 2
π 3
∴3sin(2x− )∈[− ,3]，
6 2
π 3
∴函数f(x)在区间[0, ]上的值域为[− ,3]．
2 2
19.解：(1)设任意x ，x ∈(0,+∞)，且x g(x )，所以g(x )−g(x )>0．
1 2 1 2
因为 ， ，且 ，所以 x ，则 x ，
x x ∈(0,+∞) x log 1 g(x) (0,+∞) T
1 2 2 x
2
由 x ，得 ，
(2) f(x )−f(x )>log 1 f(x )−log x >f(x )−log x
1 2 2 x 1 2 1 2 2 2
2
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8 1因为f(x)为(0,+∞)上的T函数，所以ℎ(x)=f(x)−log x在(0,+∞)上为减函数．
2
因为f(2)=5，所以ℎ(2)=4．
因为f(2x)>log (32x)，所以f(2x)−log (2x)>log 16=4，
2 2 2
即ℎ(2x)> ℎ(2)，
所以0<2x<2，解得0log (32x)的解集为(0,1)．
2
1
(3)因为k(x)=(log x+a3 )log x为[ ,2]上的T函数，
2 2 2
1
所以p(x)=(log x+a3 )log x−log x在[ ,2]上为减函数．
2 2 2 2
设 ，则 在 上为减函数，
t=log x∈[−1,1] q(t)=t2+(a3−1)t [−1,1]
2
a3−1
则− ≥1，
2
即 ，因为 为 上的增函数，且 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
a3≤−1 y=x3 R (−1) 3=−1 a≤−1 a (−∞,−1]
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9 1
