文档内容
友好学校第七十六届期末联考
高三数学
说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.
2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
3. 设函数 在 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 1
4. 2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一
景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐
式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在
探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得 ，
， ，在C处测得阁顶 的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度 为（精确
到 ，参考数据： ， ）（ ）A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且点 为抛物线 上任意一点，则
的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则a，b，
c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ，若球 的体
积为 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. 5 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件B. 命题“ ， ” 的否定是“ ： ， ”
C. 把 的图像向左平移 个单位长度，得到的图像的解析式为
D.
10. 如图是函数 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A. 在 上 是增函数
B. 在 上是减函数
C. 当 时， 取得极小值
D. 当 时， 取得极大值
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点与双曲线C的
一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
的
A. B. 周长为16
C. 的面积为 D.
12. 如图，正方体 的棱长为 ，E是棱 上的动点（不包含端点），则下列说法正确
的是（ ）A. 若E为 的中点，则直线 面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 直线AC与直线 所成角为定值
D. 直线 与平面 所成角正切值的范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量 、 为单位向量，且 则向量 与 的夹角为________.
14. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 __________．
15. 已知函数 为奇函数， ，若当 时， ，则
______．
16. 已知⊙M： ，直线l： ，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的
切线 ，切点为A，则切线段 长的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
.
17 已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在 上的最大值和最小值．18. 在三棱锥 中， ABC是边长为4的正三角形，平面 平面 ， ，
△
、 分别为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求二面角 正弦值的大小.
19. 在 ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，已知 ．
△
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝ ，求 ABC的面积．
△
20. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 的项和 ．
21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆
交于 、 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 面积的最大值．
22. 已知函数 ，其中 ．（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．友好学校第七十六届期末联考
高三数学
说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.
2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.
【详解】集合 ，故 ，
故选：B.
2. 若复数 为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】根据除法运算求出 ，再根据纯虚数的定义可得结果.
【详解】 ,
因为 为纯虚数，所以 ，得 .
故选：D3. 设函数 在 处的切线与直线 平行，则 （ ）
.
A B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求 .
【详解】函数 的定义域为 ，
由已知 ，故 ，
函数 的导函数 ，
所以 ，
因为函数 在 处的切线与直线 平行，
所以 ，所以 ，经验证，此时满足题意.
.
故选：D
4. 2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一
景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐
式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在
探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得 ，
， ，在C处测得阁顶 的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度 为（精确
到 ，参考数据： ， ）（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在 中，由正弦定理可求 ，进而可得结果.
【详解】在 中，则 ，
因为 ，可得 （m），
在 中，则 ，
即 为等腰直角三角形，可得 （m）.
故选：C.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，利用等差数列的求和公式求出 的值，再利用等差数列的求和公式
可求得 的值.【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
又因为 ，则 ，解得 ，
因此， .
故选：C.
6. 已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且点 为抛物线 上任意一点，则
的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为点 是抛物线 的焦点，所以 ，解得 ，所以抛物线 的
方程为： ．
由抛物线的定义知：点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
结合点 与抛物线 的位置关系可知， 的最小值是点 到准线 的距离，故
的最小值为7．
故选：C.7. 已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则a，b，
c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】 的定义域是 ，所以 是奇函数.
当 时， ，
所以 在 上单调递增. ，
由于 ，
所以 ，即 .
故选：B
8. 已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ，若球 的体
积为 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将三棱锥 放入长方体内，得到 为球直径，由基本不等式求出 ，从而
求出三棱锥的体积的最大值.
【详解】因为 ，易知三角形 为等腰直角三角形，
又 平面 ，所以 为三棱锥 的高，则可将三棱锥 放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即 为球直径，
，
解得 ，
又 ，
解得 ，
，所以
所以三棱锥的体积 ，
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球
心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解
题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 命题“ ， ”的否定是“ ： ， ”C. 把 的图像向左平移 个单位长度，得到的图像的解析式为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据
三角函数的变换规则及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质判断D；
【详解】解：对于A：由 ，即 ，解得 或 ，所以由 推得出 ，
由 推不出 ，所以 是 的充分不必要条件，故A正确；
对于B：命题“ ， ”的否定是“ ： ， ”，故B正确；
对于C：把 的图像向左平移 个单位长度，得到 ，故C错误；
对于D：因为 在 上单调递减，又 ，所以 ，所以 ，故D正
确；
故选：ABD
10. 如图是函数 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A. 在 上 是增函数
B. 在 上是减函数
C. 当 时， 取得极小值D. 当 时， 取得极大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数与原函数关系解决.
【详解】从导函数图像可以看出函数 在 上为单调减函数；
在 上为增函数，故A错B对，C对D错.
故选：BC
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点与双曲线C的
一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的周长为16
C. 的面积为 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求
解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.
【详解】由已知，双曲线右焦点 ，即 ，故A项正确．且抛物线方程为 ．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程 ，
整理可得． ，解得 或 （舍去负值），
所以 ，代入 可得， ．
设 ，又 ，所以 ， ， ，则 的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知 ，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得， ，故D项错
误．
故选：AB
12. 如图，正方体 的棱长为 ，E是棱 上的动点（不包含端点），则下列说法正确
的是（ ）
A. 若E为 的中点，则直线 面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 直线AC与直线 所成角为定值
D. 直线 与平面 所成角正切值的范围为
【答案】BCD
【解析】【分析】若 为 中点，连接 ，判断 为平行四边形，结合 面 判断A；由
，数形结合及棱锥体积公式判断B；根据正方体性质及线面垂直的判定、性质判断C；
根据线面角定义求其正切值的范围判断D.
【详解】A：若 为 中点，连接 ，又E为 的中点，正方体中易知 ，
所以 为平行四边形，则 ，而 面 ，显然 面 不成立，错；
B： ，显然 的面积为定值，且 到面 的距离为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，对；
C：由题意 且 面 ， 面 ，则 ，
， 面 ，则 面 ，而 面 ，
所以 ，直线AC与直线 所成角为定值，对；D：由上 到面 的距离为a，而E是棱 上的动点（不包含端点），
所以 ，则直线 与面 所成角正切值 范围为 ，对.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量 、 为单位向量，且 则向量 与 的夹角为________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据模长公式即可代入求解.
【详解】由 可得 ，
可得 ，
由于 ，所以 ，
故答案为： .
14. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.【详解】设公比为 ，则 ，
由 ， ，
解之得 或 （舍去），
故 .
故答案为：
15. 已知函数 为奇函数， ，若当 时， ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.
【详解】所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，
又函数 为奇函数，当 时， ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ．
故答案为：
16. 已知⊙M： ，直线l： ，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的
切线 ，切点为A，则切线段 长的最小值为________．
【答案】1【解析】
【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．
【详解】⊙M： 的圆心坐标为 ，半径为2，如图，
，且 ，
故要使 最小，则 最小，此时PM⊥l，
因为圆心M到直线l： 的距离为 ，
∴ 的最小值为
故答案为：1．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在 上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值1,最小值 .
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换公式和辅助角公式化简表达式即可求解；
(2)求函数在给定区间内的最大值和最小值即可求解.
【小问1详解】由题意得 ，
所以函数的最小正周期为 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以当 即 时函数有最大值为1，
当 即 时函数有最小值为 .
18. 在三棱锥 中， ABC是边长为4的正三角形，平面 平面 ， ，
△
、 分别为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求二面角 正弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中点O，得 ， ，可知 平面 ，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面 的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
取AC得中点O，连接SO，OB，， ， ， ，
又SO，BO交于点O， 平面 ， 平面 ，
于是可知 平面 ，
又 平面 ， ；
【小问2详解】
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系 ,
那么 ，
∴ ，
设 为平面CMN的一个法向量，
那么 ，取 ，那么 ，
∴ ，
的
又 为平面 一个法向量，
， ，
即二面角 的正弦值为 .19. 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
△
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝ ，求 ABC的面积．
△
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得 ，即得结
果， (2)根据 ，利用向量的模以及向量数量积、余弦定理化简求得 ，最后根据
三角形面积公式得结果.
【详解】解:（1）由正弦定理 知 ，所以 ,
即
所以 ，化简得
，
因为 中， ，所以 ，即 ，
又 ， 所以（2）因为 ，
所以
，
由 ，解得
所以 的面积
【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已
知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
20. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 的项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，两式相减化简可得数列 是以1为首项，
3为公比的等比数列，从而可求出其通项公式，
（2）由（1）得 ，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项的和与偶数项的
和，相加即可.
【小问1详解】由 ，得 ，两式相减得 ．
令 数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
【小问2详解】
由题意可得 ，
,
①，
则 ②，
① ②得： ,
∴ ,
21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆
交于 、 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，解得 、 ，即可求出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达
定理，则 ，代入可得 ，再令 ，根据对勾函数的性
质计算可得.
【小问1详解】
解：依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
【小问2详解】
解：由（1）可得 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ， ，所以
，
令 ，则 ，
所以 ，又 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时取等号，即当 时 面积的最大值为 .
22. 已知函数 ，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分 和 两种情况，利用导数判断原函数单调性；
（2）结合（1）可得 ，令 ，利用导数解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递减；当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 的单调减区间为 ，无单调增区间；
当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ．
【小问2详解】
当 时，由（1）可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值为 ．
因为不等式 对 恒成立，所以 ．
设 ，
则 的定义域为 ，且 恒成立，
可知： 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，
即 ，可得 ，即 ．
综上所述： 的取值范围是 ．
