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第1单元 集合与常用逻辑用语（基础篇）
基础知识讲解
一．子集与真子集
1.真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A B，但存在元素x B，且元素x不属于集合A，我们称集合A
是集合B的真子集． ⊆ ∈
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注： 空集是所有集合的子集；
①
所有集合都是其本身的子集；
②
空集是任何非空集合的真子集
③
2、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来
说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，
它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子
集．
【技巧点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A B，并且B A时，有A＝B，但是
⊆ ⊆A B，并且B A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
⊂ ⊂
二．集合的包含关系判断及应用
【技巧点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
三．空集的定义、性质及运算
1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难
理解点．
例如：{x|x2+1＝0，x R}＝ ．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得
方程成立，所以方程∈的解集∅是空集．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
【技巧点拨】
解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B B A，实际上包含3种情况：
⇔ ⊆
B＝ ；
① ∅
B A且B≠ ；
② ⊂ ∅
B＝A；往往遗漏B是 的情形
③ ∅
三．并集及其运算
【基础知识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：
A∪B＝{x|x A或x B}．
∈ ∈
图形语言： ．
运算形状：
A∪B＝B∪A． A∪ ＝A． A∪A＝A． A∪B A，A∪B B． A∪B＝
①B A B． A∪B②＝ ，∅两个集合③都是空集．④A∪（⊇ A）＝U．⊇ ⑤（A∪B）＝
U U
（⇔CU⊆A）∩⑥（CUB）．∅ ⑦ ∁ ⑧∁
【技巧方法】
解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；
注意并集中元素的互异性．不能重复．
四．交集及其运算
【基础知识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：
A∩B＝{x|x A，且x B}．
∈ ∈
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：A∩B＝B∩A． A∩ ＝ ． A∩A＝A． A∩B A，A∩B B． A∩B＝
①A A B． A∩B②＝ ，∅两个∅集合③没有相同元素④． A⊆∩（ A）⊆＝ ．⑤ （A∩B）＝
U U
（⇔ A⊆）∪⑥（ B）．∅ ⑦ ∁ ∅ ⑧∁
U U
∁ ∁
【技巧方法】
解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；
求交集的方法是： 有限集找相同； 无限集用数轴、韦恩图．
① ②
五．补集及其运算
【基础知识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合
为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
U的补集，简称为集合A的补集，记作 A，即 A＝{x|x U，且x A}．其图形表示如图所
U U
∁ ∁ ∈ ∉
示的Venn图． ．
【技巧方法】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
六．全集及其运算
【基础知识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全
集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．
七．交、并、补集的混合运算
【基础知识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩
（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝ ．
Φ
八．Venn图表达集合的关系及运算
【基础知识】
用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合
中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理
解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：
card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣
card（A∩C）+card（A∩B∩C），
或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．
【技巧方法】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用
Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必
须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
九．充分条件、必要条件、充要条件
【基础知识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必
要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“⇒￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，
则p一定不成立．这就是⇒说，q对于p是必不可少的，⇒所以说q是p的必要条件．例如：
p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于x q，则x p一定成立．
∈ ∈ ∉ ∉
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称
条件q是p成立的充要条件，⇒记作“p q”．⇒p与q互为充要条件．
⇔
【技巧方法】
判断充要条件的方法是：
若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
① ⇒ ⇒
若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
② ⇒ ⇒
若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
③ ⇒ ⇒
若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
④ ⇒ ⇒
判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断
⑤命题p与命题q的关系．
十．全称量词和全称命题
【基础知识】
命题 全称命题 xM，p（x） 特称命题 xM，p（x）
所有的xM，使p（x）成立 存在xM，使p（x）成立
① ①表述
方法
对一切xM，使p（x）成立 至少有一个xM，使p（x）成立
② ②
对每一个xM，使p（x）成立 对有些xM，使p（x）成立
③ ③
任给一个xM，使p（x）成立 对某个xM，使p（x）成立
④ ④
若xM，则p（x）成立 有一个xM，使p（x）成立
⑤ ⑤
【技巧方法】
要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一
个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能
利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
十一．存在量词和特称命题
【基础知识】
命题 全称命题x M，p（x） 特称命题x M，p（x ）
0 0
∈ ∈
表述方 所有的x M，使p（x）成立 存在 x M，使p（x ）成立
0 0
法
① ∈ ① ∃ ∈
对一切x M，使p（x）成立 至少有一个x M，使p（x ）成立
0 0
② ∈ ② ∈
对每一个x M，使p（x）成立 某些x M，使p（x）成立
③ ∈ ③ ∈
对任给一个x M，使p（x）成立 存在某一个x M，使p（x ）成立
0 0
④ ∈ ④ ∈
若x M，则p（x）成立 有一个x M，使p（x ）成立
0 0
⑤ ∈ ⑤ ∈
【技巧方法】
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：
∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“ ”．
∃
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、
“有些”、“有的”等词，用符号“ ”表示．
∃
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则
集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,所以 ，故选A.
2．设集合 ， ， ，则 的取值范围
为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】B
【解析】
，所以 ，选A.点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对
值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部
分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并
集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x＝a和x＝b的距离
1 2
之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y＝|x－a|＋|x－b|和y＝c的图象，结合图象求解.
1 2
3．若集合 ， ，则 ， 的关系是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 , ,
所以集合 表示由 除以3的数组成的集合.
集合 表示整数 除以3的数组成的结合.
所以
故选：A
4．设S是全集，集合M、P是它的子集，则图中阴影部分可表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据图形，可知阴影不包含 ，且是 的子集，
根据集合的运算，可得阴影是 .
故选：A.
5．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2 1=0}，其中x∈R，若A∩B=B，则实数a的取值
范围是（ ）
A．a≤ 1 B．a≥1 C．a< 1或a=±1 D．a>1或a=±1
【答案】C
【解析】
由题意 ，
∵ ，∴ ，
若 ，则 ，解得 ，
若 中只有一个元素，则 ，解得 ，此时 ，满足
题意；
若 ，则 ，解得 ．综上， 的取值范围是 或 ．
故选：D．
6．如果对于任意实数 表示不超过 的最大整数，那么“ ”是“
成立”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若“ ”，设 其中
即“ ”成立能推出“ ”成立
反之，例如 满足 但 ，即 成立，推不
出
故“ ”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件
故选A
7．已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“0≤a≤1且0≤b≤1”，则“0≤ab≤1”．
当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1，但不满足0≤a≤1且0≤b≤1，
∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选A.
8．已知命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当命题为真时，由 且 可得 ，故命题为假时， ，故选C．
9．已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为命题“ ，使 ”是假命题，所以 恒
成立，所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ．故选B．
【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最
值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使
得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，
当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
10．已知下列命题：
①“ ”的否定是“ ”；
②已知 为两个命题，若“ ”为假命题，则“ ”为真命题；
③“ ”是“ ”的充分不必要条件；
④“若 ，则 且 ”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号为（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】B
【解析】
“ ”的否定是“ ”，正确；
已知为两个命题，若“ ”为假命题，则“ ”为真命题，正确；
“ ”是“ ”的必要不充分条件,错误；
“若 ，则 且 ”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B．
11．下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”
C．若 为假命题，则 ， 均为假命题
D．命题 ，使得 ，则 ，均有
【答案】C
【解析】
对于A中，因为 ，解得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条
件，所以A是正确的；
对于B中，根据逆否命题的定义，可得命题 “若 ，则 ”的逆否命题
为：“若 ，则 ”，所以B是正确的；
对于C中，根据复合命题的真假判定得：若 为假命题，则 ， 至少有一个是假命
题，所以C是不正确的；
对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题 ，使得 ，
则 ，均有 ，所以D是正确的.
故选：C.12．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
将 的解集记为 ， 的解集记为 .
由题意 是 的必要不充分条件可知 是 的真子集.
，解得 或 ,
,则 ,
（1）当 时， 或 ,
则 （等号不能同时成立），解得 .
（2）当 时， 或 ,
则 （等号不能同时成立），解得 .由（1）（2）可得 或 .
故选： .
二．填空题（共6小题）
13．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
【答案】③④
【解析】
对于①，因为“ ”时 成立， 时， 不一定成立，所以“
”是“ ”的的充分不必要条件，故①错，对于②， 时，
; ， 时， ，所以“ ”是“ ”的的既不充分
也不必要条件，故②错，对于③，因为“ ”时一定有“ ”成立，所以“
”是“ ”的必要条件，③正确；对于④“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要
条件，④正确，故答案为③④．
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的
取值范围是____.【答案】
【解析】
根据题意得：当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
综上， .
故答案为： .
15．已知全集 ， ， ，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：∵全集 ， ， ，
，即 ，解得： ，当 时，
， ， ，不合题意，舍去，则 ．故答案为 .
【易错点睛】本题主要考查了集合的补集运算.本题的易错之处就是忽略了所得字母的取值
要使得题设条件成立，也就是等价性.集合中有很多陷阱值得同学们总结，比如， ，
同学们在分析时，容易丢掉一种特殊情况，即 是空集；还有在求得字母取值时，要注意
两方面：一要满足互异性，二要满足题设条件是成立的.16．已知集合 ，
，若存在非零整数 ，满足 ，则
______.
【答案】
【解析】
因为存在非零整数，满足 ，
所以 有实数解，且 .
整理得： 有实数解，且 ， .
所以 ，解得 ，
因为 为非零整数，所以
当 时， ，解得 或 ，符合题意.
当 时， ，解得 ，舍去.
当 时， ，解得 ，舍去.
综上 .
故答案为：
17．已知 函数 在 上单调递减， ，若 是 的必要不充分条件， 则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
当 为真时， ，记集合 ， ，.
若 是 的必要不充分条件， 则 ，
①当 ，即 时， ；
②当 时， 等价于 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为: .
18．设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条
件，则实数m的取值范围是_____．
【答案】[0，1]
【解析】
由 得 ，得 .
由 ，得 ，
得 ，若p是q的充分不必要条件，
则 ，得 ，得 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
三．解析题（共6小题）
19．已知集合A＝{x|1
