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专题2.2 期中真题模拟卷02（1-3 章）
一．选择题（共12小题）
1．（2020·铅山县第一中学月考）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，
5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部
分表示的集合为：C （A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–
U
1=8–1=7．故选C．
2．（2020·江西省信丰中学月考（理））命题“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实
数 的取值范围是( )
A．a < 0或a ≥3 B．a 0或a ≥3 C．a < 0或a >3 D．0<a<3
【答案】A【解析】
命题“ 恒成立”是假命题，即命题“ ， ”是真
命题.
当 时， 不成立；
当 时，合乎题意；
当 时，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
故选：A.
3．（2020·河北新华·石家庄二中月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由 ，且 ，则 ，
对于A中，由 ，其中 不一定大于0，所以不一定成立；
对于B中，由 ，
当 时，可得 ，此时 ，所以B不一定成立；对于C中，因为 ，可得 ，所以C一定成立；
对于D中，当 时，可得 ，所以D不一定成立.
故选：C.
4．（2020·四川仁寿一中月考（文））若直线 过圆
的圆心，则 的最小值是（ ）
A．16 B．10 C． D．
【答案】A
【解析】
可化为： ，即圆心 ，
∴由题意，知： ，有 ，
故 ，当且仅当 时等
号成立；
故选：A
5．（2020·陕西新城·西安中学月考（理））设 ，且不等式
恒成立，则实数 的最小值等于( )A．0 B．4
C．－4 D．－2
【答案】C
【解析】
由 得 ，而 ( 时取等号)，
所以 ，因此要使 恒成立，应有 ，即实数 的最小值
等于 .
故选: C.
6．（2020·四川省绵阳江油中学期中）若关于 的不等式 解
集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：当 ，即 时，不等式即为 ，对一切 恒成立 ①
当 时，则须 ，
解得 即 ②
由①②得实数 的取值范围是 ，
故选：B．7．（2020·郁南县蔡朝焜纪念中学月考）已知函数 ，若当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意得 对 恒成立， 令
，
又 时， ， 所以当 时，即 时， 取得最大值 ，
，
故实数 的取值范围是 ，
故选：C.
8．（2020·河北一模（理））已知函数 （ ）的最小值
为0，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
设 ，则 ，
则 ，
由于函数 的最小值为0，作出函数 的大致图像，
结合图像， ，得 ，
所以 .
故选：C
9．（2020·甘谷县第四中学月考（理））已知函数 在R上是单
调的函数，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当 时， ，单调递增，
若要使函数 在R上是单调的函数，则只能使该函数单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B.
10．（2020·辽宁月考）设偶函数 在 上为增函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为函数 在 上为增函数， ，所以当 时， ，当 时， ，
因为函数 是偶函数，
所以当 时， ，当 时， ，
，即 ， 与 的符号相同，
故不等式 的解集为 ，
故选：A.
11．（2020·河南月考（理））若 ， ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
考虑中间值 ，根据指数函数的单调性，得 ，即 ；
根据幂函数的单调性，得 ，即 ；
根据对数函数的单调性，得 ，所以 .故选：D.
12．（2020·四川省泸县第一中学（文））设函数 的定义域为R，满足
，且当 时， .若对任意 ，都有
，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
时， ， ， ，即 右移1个
单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当 时， ，令
，整理得： ，
（舍）， 时， 成立，
即 ， ，故选B．二．填空题（共6小题）
13．（2020·浙江）若A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，A∩B={﹣3}，则
a=___.
【答案】-1
【解析】
A∩B={﹣3}，则 ，
分3种情况讨论：① ，则 ，此时B={﹣3，﹣1，1}，A={0，1，﹣3}，
A∩B={1，﹣3}，不合题意，
② ，则 ，此时A={1，0，﹣3}，B={﹣4，﹣3，2}，此时A∩B={﹣3}，
符合题意，
③ ，此时 无解，不合题意；
综上所述
故答案为：﹣1.
14．（2020·孝义市第二中学校期末）已知 ， ，则
的取值范围是_________．【答案】
【解析】
因为 ， ， ＝ ，
所以 ．
故答案为：
15．（2020·四川仁寿一中）已知 ， ，且 ，求 的最小值
_________．
【答案】8
【解析】
由题得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：8.
16．（2020·江西省奉新县第一中学月考（文））若关于 的不等式 的解
集不是空集，则 的取值范围是________.
【答案】 或
【解析】解：若 ，则原不等式等价为 ，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即
.
若 ，要使不等式 的解集不是空集，
则①若 ，有 ，解得 .
②若 ，则满足条件.
综上所述，满足条件的 的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
17．（2019·湖南雨花·期末（文））一元二次不等式 的解集是 ，
则 的值是________
【答案】
【解析】
根据题意，一元二次不等式 的解集是 ，
则方程 的两根为 和 ，则有 ，
解可得 ， ，则 .故答案为：
18．（2020·上海）已知 ，则不等式 的解集为
______．
【答案】
【解析】
当 时， ，解得 ；当
时， ，恒成立，解得： ，合并
解集为 ，故填： .
三．解析题（共6小题）
19．（2020·全国）集合
（1）若A是空集，求 的取值范围
（2）若A中只有一个元素，求 的值并把这个元素写出来
（3）若A中至多一个元素，求 的范围
【答案】（1） ；（2） ， 或 ， ；（3） 或
.【解析】
解：（1）因为A是空集，所以方程只能是二次方程，且 ，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，
（2）当 时， ，得 满足题意；
当 时，因为A中只有一个元素，所以 ，即 ，解得 ，
此时方程为 ，解得 ，
综上，当 时， ，当 时， ，
（3）A中至多一个元素，包含A是空集和A中只有一个元素，
所以由（1），（2）可知 的范围 或
20．（2020·古丈县第一中学期末）已知函数 （ ，
）．
（1）当 时，求使 的 的取值范围；（2）若 在区间 上单调递减，求 的最大值．
【答案】（1） 或 ；（2）9.
【解析】
（1）由题意知 ，
由 得 ，解之得 或 ，
所以使 的 的取值范围是 或 ；
（2）∵ ，∴ 图象的开口向上，
要使 在区间 上单调递减，
须有 ，即 ．
由 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，当 时， ，
综上所述， 的最大值为9．
21．（2020·自贡市田家炳中学）设函数 ，若不等式
的解集为 ．（1）求 的值；
（2）若函数 在 上的最小值为1，求实数 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
解：（1）不等式 的解集为
即方程 的两根为
由韦达定理得： ，
解得： .
（2） ，对称轴方程为 ，
在 上单调递增，
时， ，
解得 .
∵
.22．（2019·安徽贵池·池州一中期中）已知幂函数 在 单
增函数，函数 .
（1）求m的值；
（2）对任意 总存在 使 ，求实数k的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）由题： 解得 ；
（2）由（1） ，记 ， ，
由题意 ，
容易求得 .
由 得 ，解得 ，
即k的取值范围是
23．（2020·宁夏）已知函数 是奇函数，且 .
（1）求实数 和 的值；（2）判断函数 在 上的单调性，并加以证明．
【答案】（1） ， ；（2） 上为增函数，证明见解析
【解析】
（1）∵ 是奇函数，
∴ ．
即 ，
比较得 ， .
又 ，
∴ ，
解得 ，
即实数 和 的值分别是2和0.
（2）函数 在 上为增函数．
证明如下：由（1）知 ，
设 ，则 ，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
即函数 在 上为增函数．
24．（2020·陕西渭滨期末（文））一次函数 是R上的增函数， ，
.
（1）求 ；
（2）对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
解：（1）∵一次函数 是 上的增函数，
∴设 ，
，∴ ，解得 ， ∴ .
（2）对任意 ，恒有 等价于 在 上的最大值与最
小值之差 ，由（1）知 ，
的对称轴为 且开口向上，
在 上单调递增，
， ，
,解得 ，
综上可知， .
