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高一上学期期中模拟考试（A 卷 基础巩固）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2021·湖北黄石·高一期中）已知集合 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意和补集、交集的运算依次求出 和 ．
【详解】
解：因为全集 ，2，3，4，5，6， ， ，3，5， ，所以 ，4， ，
又 ，2，4， ，则 ，2，4，5， ，故选：C．
2．（2021·湖北黄石·高一期中）若 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B． ，若 ，则
C．若 ，则 D． ， ，若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.
【详解】
对于A，当 时， ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，故C正确；
对于D，当 时， ，故D错误，
故选：C.
3．（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】
因为函数 的定义域为 ，所以 的定义域为 .又因为 ，即 ，所以函数
的定义域为 .
故选：C.
4．（2021·上海交大附中高一期中）已知x∈R，则“ 成立”是“ 成立”的
（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简 即可，再证
学科网（北京）股份有限公司必要性，若 ，即 ，再根据绝对值的性质可知
．
【详解】
充分性：若 ，则2≤x≤3，
，
必要性：若 ，又 ，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则 ，
∴ ，
所以“ 成立”是“ 成立”的充要条件，
故选：C．
5．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）已知 ，在 上单调递减，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据分段函数是减函数，则由每一段是减函数，且 左侧的函数值不小于右侧函数值求解.
【详解】
由已知， 在 上单调递减，
∴ ， .①
在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司∴ 解得 ，②
且当 时，应有 ，
即 ，∴ ，③
由①②③得， 的取值范围是 ，
故选：C.
6．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）若函数 的值域为 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当 时易知满足题意；当 时，根据 的值域包含 ，结合二次函数性质可得结果.
【详解】
当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：C.
7．（2021·四川自贡·高一期中）下列各项中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
定义域和对应关系均相同，为同一函数.
【详解】
定义域为R， 的定义域为 ，两者定义域不同，故A错误；
与 对应关系不同，B错误；
， 为同一函数，C正确；
定义域为R， 定义域为 ，两者定义域不同，故D错误
故选：C
8．（2021·四川自贡·高一期中）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数 分离常数后可直接求解.
【详解】
，从而可知函数 的值域为 .
故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．（2021·湖北黄石·高一期中）已知集合A，B均为R的子集，若 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】
如图所示
根据图像可得 ,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
10．（2021·湖北黄石·高一期中）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
讨论 、 、 、 四种情况下， 的奇偶性、
单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.
【详解】
当 时， ；
当 时， 定义域为R且为奇函数，在 上 ，在 上递增，在 上递
减，A可能；
当 时， 定义域为 且为奇函数，在 上 且递增，在 上
且递增，B可能；
当 时， 且定义域为 ，此时 为偶函数，
若 时，在 上 (注意 )，在 上 ，则C不可能；
若 时，在 上 ，在 上 ，则D可能；
故选：ABD
11．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
将 同乘 ，再结合赋值法和基本不等式判断即可
【详解】
因为 ，故 ，同乘 得 ，
学科网（北京）股份有限公司对A， ，即 ，故A正确；
对B， ，又 ，同乘 得 ，故B正确；
对C，因为 ， ，故 ，故C正确；
对D， ，故 ， ，故 ，故D错误，
故选：ABC
【点睛】
本题考查由不等式的性质的应用，属于基础题
12．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．方程组 的解构成的集合是 ；
B．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件；
C． 与 是同一函数；
D．已知 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】BD
【解析】
【分析】
解方程组，由方程组解集的表示方法可知A错误；由推出关系可知B正确；根据同一函数的定义知C错误；
将 化为 ，利用不等式的性质可得D正确.
【详解】
对于A，由 得： ，则方程组的解构成的集合为 ，A错误；
对于B， ； 且 ；
“ ”是“ ”的必要不充分条件，B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
与 定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D， ，
又 ， ， ，
即 的取值范围是 ，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·上海交大附中高一期中）集合 ，则m＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据B A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．
【详解⊆】
∵集合 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：±2．
14．（2021·上海交大附中高一期中）已知函数 ，若 ，则实数a的值为
___．
【答案】10
【解析】
【分析】
讨论 的范围，根据解析式即可求出.
【详解】
因为函数 ， ，
学科网（北京）股份有限公司（1）当 时， ，由 ，可得 ，
则 ，解得a＝4，不成立；
（2）当a＞1时， ，
当 时， ，解得a＝10，符合；
当 时， ，无解．
综上，实数a的值为10．
故答案为：10．
15．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）若偶函数 在区间 上为增函数，且 ，
则不等式 的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶函数对称性可得 单调性，并将所求不等式化为 或 ，结合
可得不等式解集.
【详解】
在 上为增函数， 为偶函数， 在 上单调递减；
，
当 或 时， ；当 或 时， ；
为偶函数， ， ；
学科网（北京）股份有限公司或 ， 不等式的解集为 .
故答案为： .
16．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对
于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， ，定义
函数 ，则下列命题中正确的序号是________．
①函数 的最大值为 ； ②函数 的最小值为 ；
③函数 的图象与直线 有无数个交点 ④
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据高斯函数定义可得 的解析式和图象，由图象判断各个选项即可.
【详解】
由题意得： ，
由解析式可得函数图形如下图所示，
学科网（北京）股份有限公司对于①，函数 ，①错误；对于②：函数 的最小值为 ，②正确；
对于③，函数 的图象与直线 有无数个交点，③正确；
对于④，函数 满足 ，④正确；
故答案为：②③④
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）已知集合 ， ，
.
(1)求集合 ;
(2)设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简集合A，B，求出集合M，再由补集的意义即可得解；
（2）根据给定条件可得集合M是集合N的真子集，再借助集合包含关系列式求解即得.
(1)
依题意， ， ，则 ，
所以 或 ；
(2)
若 是 的必要不充分条件，则集合M是集合N的真子集，
从而 或 ，解得 或 ，于是得 ，
所以实数a的取值范围 .
18．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）（1）设 ， ，且 ，求 的取值
范围；
（2）设 ，若 ，求 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由 可解得结果；
（2）根据 可求得结果.
【详解】
（1）由 得： ，
又 （当且仅当 时取等号）， ，
解得： 或 （舍）， ，即 的取值范围为 ；
（2） （当且仅当
时取等号），即 ，
，即 的最大值为 .
19．（2021·湖北黄石·高一期中）已知二次函数 ，且满足 ，
.
(1)求函数 的解析式；
(2)当 （ ）时，求函数 的最小值 （用 表示）．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，且 ，化简可求出 ，从而可求出
的解析式，
（2）求出抛物线的对称轴，然后分 ， 和 三种情况求解函数的最小值
（1）因为二次函数 ，且满足 ， ，所以 ，且
，由 ，得
，所以 ，得 ，所以 .
（2）因为 是图象的对称轴为直线 ，且开口向上的二次函数，当 时， 在
上单调递增，则 ；当 ，即 时， 在 上
单调递减，则 ；当 ，即 时， ，
综上
20．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）命题 关于 的方程 有两个相异负根；命
题 ， ．
(1)若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为对 ， 为真命题，分离变量可得 ，则可得 ，
进而求得结果；
（2）由（1）可知 为真时 的范围；由一元二次方程根的分布可求得 为真时 的范围；根据两个命题
一真一假可分类讨论得到结果.
(1)
若命题 为假命题，则对 ， 为真命题；
，即 ；
（当且仅当 ，即 时取等号）， ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
(2)
由（1）知：若命题 为真命题，则 ；
若命题 为真命题，则 ，解得： ；
若 真 假，则 ；若 假 真，则 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
21．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进
学科网（北京）股份有限公司某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现： 商店以30元每条的价格
销售，平均每日销售量为10条； 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾
的销售量 （条）是售价 （元） 的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润 （元）关于售价 （元） 的函数关系式（不必写出定义域），
并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、
仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总
管理、仓储等费用）？
【答案】（1） ；定价为22元或23元（2）25元
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出销售量 与售价 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之
间的差价，确定毛利润 （元）关于售价 （元） 的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；
（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．
【详解】
设 ，∴ ，解得 ，b=70，∴ ．
（1） ，
∵ ，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．
（2）设售价x（元）时总利润为z（元），
∴ ，
元，
当 时，即 时，取得等号，
∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.
【点睛】
学科网（北京）股份有限公司本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数
式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书
本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型
进行解答.
22．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，当 且 时 恒成立．
(1)判断 在 上的单调性；
(2)解不等式 ；
(3)若 对于所有 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递增
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由已知条件得 ，分别在 和 的情况下得到 大小关
系，由此可得单调性；
（2）由 单调性和函数定义域可得到不等式，解不等式可得结果；
（3）由 单调性可将问题转化为 对于任意 恒成立；令 ，
分别在 、 和 的情况下，由 可得 范围.
(1)
学科网（北京）股份有限公司， ，则当 时， ，
；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增.
(2)
由（1）知： ，解得： ，
的解集为 .
(3)
由（1）知： ， 对于任意 恒成立；
令 ，
当 时， 不成立， 不合题意；
当 时， 在 上单调递减，
，解得： （舍）或 ；
当 时， 在 上单调递增，
，解得： 或 （舍）；
综上所述： 的取值范围为 .
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