文档内容
淮滨县多校联考 2023-2024 学年下期期末考试
高一数学试卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷
时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
4．若样本数据 的方差为 ，则 的方差为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是 的中线， ，以 为基底表示 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n， 则
（ ）
A．α∥β且 ∥α B．α⊥β且 ⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于
7．如图，已知边长为4的正方形ABCD的中心与半径为 的圆O的圆心重合，点P是圆
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学科网（北京）股份有限公司O上的一点，则 的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．如图，在直三棱柱 中， ， ，点 是线段
上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知平面向量 ， ，则（ ）
A．当 时， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 与 的夹角为钝角，则
10．在直三棱柱 中， ，且 ， 为线段 上的
动点，则下列结论中正确的是（ ）
第 2 页 共 10 页A．
B．异面直线 与 所成角的取值范围为
C． 的最小值为
D．当 是 的中点时，过 三点的平面截三棱柱 外接球所得的
截面面积为
11．设 为随机事件，且 ，下列说法正确的是（ ）
A．事件 相互独立与 互斥不可能同时成立
B．若三个事件 两两独立，则
C．若事件 独立，则
D．若 ，则
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ，已知 ，
，则四边形 的周长为 .
13．如图，已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，一质点自 点出
发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达 点的最短路线的长为 .
14．某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按
男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生
人数多20人，则这1000人中女生有 人.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
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学科网（北京）股份有限公司15．(13分)设复数 （其中 ）， .
(1)若 是实数，求 的值；
(2)若 是纯虚数，求 .
16．(15分)某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面
试成绩并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第
五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，
第一组和第五组的频率相同.
(1)求 的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和 分位数（精确到0.1）；
(3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选
出的两人来自同一组的概率.
17．(15分)已知向量 ，函数 ．
(1)求函数 在 上的单调递减区间；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)将 图象上所有的点向左平移 个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的
纵坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，当 时，方程 有一解，求
实数 的取值范围．
18．(17分)如图，在平面四边形ABCD中，已知 ， ， 为等边三角形，
记 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)证明： ；
第 4 页 共 10 页(3)若 ，求 的面积的取值范围.
19．(17分)如图1，在矩形 中， 是线段 上（包括端点）的
一动点，如图2，将 沿着 折起，使点 到达点 的位置，满足点 平面
.
(1)如图2，当 时，点 是线段 上点的， 平面 ，求 的值；
(2)如图2，若点 在平面 内的射影 落在线段 上.
①是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求 的长；若不存在，请说明理
由；
②当三棱锥 的体积最大值时，求点 到平面 的距离
淮滨县多校联考 2023-2024 学年下期期末考试
高一数学参考答案
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。）
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C B D C C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9 10 11
ACD ABD ACD
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12． 10
13．
14．300
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）由已知 ，
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学科网（北京）股份有限公司是实数，
，即 ，
.（6分）
（2） ，
由于 是纯虚数， ，解得 ，
则 .
.（7分）
16．（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以 ，解得 ，
所以前两组的频率之和为 ，即 ，解得 ；（3分）
（2）由（1）知，
平均数为 ；
前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于 组内，
且 ，即 分位数为69.4；（5分）
（3）第四､五两组志愿者分别有20人， 人，
故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为
第五组志愿者人数为1，设为 ，
这5人选出2人，所有情况有
，共10种，
其中选出的2人来自同一组的有 ，共6种，
所以选出的2人来自同一组的概率为 .（7分）
17．（1）因为
，
所以 即
第 6 页 共 10 页又因为 ，所以函数 在 上的单调递减区间为 （3分）
（2）若 则 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
故 .（6分）
（3）将 图象上所有的点的纵坐标变为原来的 ，再向下平移1个单
位，最后再向右平移 个单位得到函数 的图象，
即：
则 ，
当 时，
由方程 有一解，可得 的取值范围为 ．（7分）
18．（1）在平面四边形 中，已知 ， ， 为等边三角形，记
，
在 中，由余弦定理， ，
所以 ，则 ，所以 ，
又因为 为等边三角形，
所以 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 的面积为 ；（4分）
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
即 且 ，
由于 ，
故 ，
由于三角形中， ，因此 ，得证，（6分）
（3）在平面四边形 中，已知 ， ， 为等边三角形， ，
设 ，
在 中，由余弦定理，
，
，
在 中，由正弦定理， ，即 ，所以
，
结合
，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
即 的面积的取值范围为 ．（7分）
19．（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为 ∥ ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
第 8 页 共 10 页因为 ∥平面 ， ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ∥ ，
因为 是 的中点，所以 ；（6分）
（2）①存在点 ，当点 与点 重合，即 时， 平面 ，
理由如下：当点 与点 重合时，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
即当点 与点 重合， 时， 平面 ；（4分）
②在矩形 中作 于 ，延长 交 于点 ，折起后得 ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ∽ ，得 ，即 ，得 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以点 与点 重合，
因为要使得点 的射影落在线段 上，所以 ，
则 ，解得 ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 ，即 时， ，
当 时， ， ，则 是 的中点，
所以点 到平面 的距离为 .（7分）
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