文档内容
2023—2024 学年度上期高 2024 届期末考试
数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．本试卷分选择题和非选择题两部分．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后．再选涂其它答案标号．
4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．
5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
6．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知 为奇函数，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
3．复数z满足 （i为虚数单位）．则z的共轭复数的虚部（ ）
A． B．1 C．i D．
4．已知首项为1，公比为q的等比数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数 ，数列 ， 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知a，b是两条直线． ， ， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ，
，
则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
学科网（北京）股份有限公司7．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知等边 内接于圆 ，且P是圆 上一点，则 的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2得素
数，例如5和7．在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（
）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则 在区间 内的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．已知直三棱柱 的侧棱长为2， ， ，过 ， 的中点E，F作
平面 与平面 垂直，则平面 截该三棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 且 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知椭圆 的离心率为 ，则 ______．
学科网（北京）股份有限公司14．已知实数x，y满足 ，则 的最大值为______．
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 、M，N为双曲线一条渐近线上两
点，A为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线C的离心率为______．
16．已知数列 满足 ， ， 为数列 的前n项和，则满足不等式
的n的最大值为______．
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在 中， ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）D为 边上一点，且 ，求 的面积．
18．（本小题满分12分）
2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高
级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查．统计整理数据得到如下
的2×2列联表；
选物理类 选历史类 合计
男生 35 15
女生 25 25
合计 100
（1）依据小概率值0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？
（2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被
抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈．求面对面访谈的女生中选择历史类的人数为2的概
率．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， ， ， ，平面 平面
．
（1）证明： ；
（2）若 ，M是 的中点，求三棱锥 的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）对 ， 恒成立，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左，右焦点分别为 ， ，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的
两点，且 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，求直线 的方程．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B
铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
在直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴
学科网（北京）股份有限公司为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）求C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为 ，l与曲线C的交点为A，B，求 的值．
23．［选修4-5：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
已知函数 的最小值为m
（1）求m的值；
（2）若a，b，c为正实数，且 ，证明： ．
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