2013第十三届中环杯五年级决赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_决赛_五年级

第十三届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级决赛 1、我们有下列公式： n(n1)(2n1) 12 22  n2   6 2 n(n1) 13 23 n3      2  计算：(13 312 31)(23 322 32)  (993 3992 399)。 2 99(991) 99(991)(2991) 99(991)  3 3 【分析】原式    2  6 2 25502400 2、有一类四位数，除以5余 1，除以7余 4，除以11 余9。这类四位数中最小的一个是多 少？ 【分析】设所求数为 5a 1 ，则有5a14(mod7) a2(mod7)， a 7b2 35b11 设 ，则所求数为 ， 35b119(mod11)b 10(mod11) 则有 ， 设b11c10，则所求数为 385c361 ， 故最小的四位数为38523611131。 3、有A、B、C、D、E五个人，其中每个人永远说谎话或者永远说真话，并且他们彼此都 互相知道对方的行为。A说B是说谎者，B说 C是说谎者，C说D 是说谎者，D说E是说 谎者。那么，这五个人中最多有多少个说谎者？ 【分析】若A说真话，由A所说的话可知 B说谎话，由 B所说的话可知 C说真话，继续推 知D说谎话，E说真话，有 2人说谎。 若A说谎话，则B说真话，C说谎话，D说真话，E说谎话，有3人说谎。 由此，最多有3个说谎者。 4、在 1 到 200 之间，有多少个数，其所有不同的素因数之和为 16？（比如：12 的所有不 同素因数为2、3，其和为2+3=5） 【分析】由于2357 17 16，所以所求数至多有3个不同素因数。且由于 16为偶 数，若拆成3个素数之和，其中必有 2。 1、162311，有66、132、198 共3个 2、16313，有39、117共2个 3、16511，有55共1个 综上，共有6个。 5、某次数学比赛，计分方法有两种，分别是：第一种，答对一题给 5分，答错不给分，不 答给2分；第二种，先给 39分，然后答对一题给3分，答错扣1分，不答不给分。某个考 生完成所有题目后，用两种方法计分，都得71分。则这个考生未答的题目有多少题？ 【分析】设该生答对、未答、答错的题目依次为a,b,c题，则有：  715a 5a2b 71 b     2  393ac71   c3a32 由于a,b,c都是正整数，所以有： 5a 71  11a 14  3a32又a 必须是奇数，所以a 11或13 也即该生未答得题目有8题或3题。 6、在下图的数字谜中，每个字母代表一个数字。不同的字母代表了不同的数字，相同的字 母代表了相同的数字。则T是多少？ F O R T Y T E N + T E N S I X T Y 【分析】由于万位数上F、S不同，所以易知千位有向前进位。 由于个位上Y未变，所以N 为0或5 若N为 5，则十位上有T+2E+1仍为 T，显然不可能 所以N为0，于是，个位上没有进位 观察十位，同样T未变，所以E为0或5，由于N已经为0，所以E为5 观察百位，由于千位数字发生了变化，所以百位必须进位，可能进1或2 若百位进1，由于千位也有进位，所以 O必须为9，那么I就为0，重复了 所以百位进2，且O不能为8，否则I为0，所以O 为9，I为1 由于R+2T+1超过20，且9已经被用走 所以T最小为6 若T为6，那么 R为 7或8，若R为7，则X为0，重复；若R为 8，则X 为1， 重复，故 T不为6 若T为7，那么 R为6或8（5、7已用），若R为6，则X为 1，重复，若R为 8， 则X为3，发现0、1、3、5、7、8、9已经用去，还剩 2、4、6，显然 S仅比F大 1，无法满足，故T不为 7 若T 为8，那么R为3、4、6、7，若 R为3，则X 为0，重复；若R为4，则X 为1，重复；若 R为 6，则 X为3，还剩2、4、7，S、F 无法满足；故 R为 7，X 为4，还剩2、3、6，显然F 为2，S为3，Y为6。 综上，T为8。 7、平行四边形 ABCD 中，点 P、Q、R、S 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，而点T 为线段SR的中点。已知平行四边形ABCD 的面积为120平方厘米，则PQT 面积为多少 平方厘米？ D R C T S Q A P B 1 【分析】显然，由于 SR与PQ平行，所以S S  S 30。 PQT PQS 4 ABCD 8、已知一个骰子的六个面上分别写了六个不同的正整数，这六个正整数的和为60。现在对 这个骰子进行这样的操作：每次操作选取正方体的一个顶点，将包含这个顶点的三个面上 的数字都加1。经过多次操作后，这个正方体的所有面上的数字都相同了。满足条件的不同 的骰子有多少种？（六个面的数字选定后就算一种，不考虑这六个数字如何放在骰子上）【分析】依次设上、下、左、右、前、后上原来的数为a,b,c,d,e, f 。 假设这组数符合要求，不妨设操作了xy 次后，六个数变得相同，其中x次操作 中包含上面， y次操作中包含下面（显然不可能有操作既不包含上面、也不包含 下面），操作结束后，上面与下面数字之和变为abxy；前、后、左、右四 个数字之和变为cd ef 2(xy)； cdef 2(xy)2(abxy)cd ef 2(ab) 由题意， 。 解得ab20。 同理，cd 20，ef 20。 由于，20=1+19=2+18=3+17=4+16=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11（10+10 数字相同， 舍去） 于是，从9组数中选3组即可，共C3 84种选法。 9 9、定义a n 1332  3n（n 为正整数），比如：a 4 1332 3334 。那么 a ,a , ,a 1 2  2013 中，有多少个数是7的倍数。 3n11 【分析】 a n 1332   3 n 2 ，即只要3n11是7的倍数， a n 就是7的倍数 发现3n1除以7的余数以为2、6、4、5、1、3周期循环 2013 6335 3   a ,a , ,a 故其中有335个数除以 7余1，即 1 2  2013 中有335 个7的倍数。 10、如图所示，有一个边长为 5 厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的 中间各挖去一个边长为 1 厘米的小立方体（即图中画有阴影的那些小立方体），那么余下 部分的表面积是多少平方厘米？ 【分析】原表面积为150，从角上挖去，表面积不变，从棱上挖去，表面积增大 2，从面上 挖去，表面积增大4，故剩余部分表面积为15021246 198。 1、有一对四位数数对（2025、3136），拥有如下特点：每个数都是完全平方数，并且第二 个四位数的每个数码都比第一个四位数的对应数码都大1。请找出所有满足这个特点的五位 数数对。（如果找出的一对五位数为a和b ，请写成(a,b)的形式） 【分析】设找到数对(a2,b2)，则有： b2 a2 11111 (ba)(ba) 41271111111 即 10000a2 b2 99999100 a b 316 考虑到 ba 41 a 115 仅有一组解为   ba 271  b156 (1152,1562)(13225,24336) 于是所求数对仅有一对为 。2、用R、G、B三种颜色对下图25的表格进行染色，要求有公共边的两个格子必须染成 不同的颜色。问：一共有多少种不同的染色方法？ 【分析】考虑2行a列，设 2行a列有b 种不同的染色方法，再在其右边加上1列 对于b 种染法的每一种，考虑其右边一列有多少种不同的染法 1 3 2 4 a列a+1列 显然，1、2号格子颜色不同，3号格子与1号颜色不同，若3号与2号同色，则 4 号有 2 种染法，若 3 号与 2 号异色，则 4 号有 1 种染法，于是，第a1列有 12113种染法，于是 2行a1列共有3b种不同染法 2行1列有32 6种染法 于是，2行 5列有63333486种染法。 3、A、B两地相距36 千米，甲、乙两位超人同时从A地向B地行走，一旦到 B地以后立 即走向A地，到达A地以后又立即走向B地……，两人不停地在A、B间走动。若甲的速 p 度为2k千米/时，乙的速度为k千米/时。设经过 个小时，甲、乙之间的距离第2012 次达 q qp 到最大；经过 个小时，甲、乙之间的距离第 2013 次达到最大。若 为正整数，求： 正整数k的最大值 【分析】如下图，柳卡图 发现当甲在A地、乙在 B地时，两人距离最大 36 第一次两人距离最大所用时间为 小时 k 72 以后每隔 小时，两人再次距离最大 k 72 36 72 36 p  2011 q  2012 因此， ， ， k k k k 72 q p  因此， ， k 于是k最大为72 4、如图 1，ABCD、CEFG是两个正方形，边长分别为5 厘米和4 厘米。将 GC 边擦去， 留下一个轮廓，然后联结AE、BF相交于点H，联结BG与AE 相交于点I（如图2），则 图2中阴影部分的面积是多少平方厘米？A D A D G F G F I H B C E B C E 图1 图2 AH AB 5   【分析】观察沙漏模型AEFB，有 ， HE EF 4 BC 5 AH   由于 ，所以HC∥AB，即H 在CD上。 CE 4 HE HC EC 4 20 20 16    HC  GH 4  由于HC∥AB，所以 ，于是 。 AB EB 9 9 9 9 1 16 305 S  (5 )5 观察梯形AGHB， AGHB 2 9 18 。 16 又GH :AB :516:45， 9 由蝴蝶模型，可知S :S 162 :(1645)2 162 :612 ， GHI AGHB 162 162 305 640 S  S    于是， ， GHI 612 AGHB 612 18 549 A D G F I H B C E 5、七巧板是我们熟悉的益智玩具。现在请你利用提供给你的卡之，按照图 1所示制作一副 七巧板，并取其编号1到4的四块，做成四巧板。 （1）用四巧板的四块拼板拼出图2所示的台阶图形。用粗线条将拼法直接画在图2上。 1 2 4 3 图1 图2 【分析】 3 4 1 2 （2）图 3 所示是一个立方体的四级台阶，每级台阶的长、宽、高都分别相等。已知高 ADh 3厘米，宽DEb 1厘米，长 ACa 8厘米。已知聪明的老鼠沿着台阶表面从A点往B点爬行（假设在垂直表面它可垂直爬行），且走的是最短路径。另有一个智能 捕鼠器，它可以放在DE、FG、HI中的任意一条上的任意一点。如果它放在DE 上，那么 它走动的路线一定垂直于 DE。同理，如果它放在 FG 或 HI上，那么它走动的路线一定垂 直于FG或 HI。已知老鼠与智能捕鼠器同时启动，老鼠的速度v17厘米/秒。求证：为了 正好捕捉到老鼠，智能捕鼠器的速度与它放置的位置没有关系，并求出其速度。 C A D E B F G H I J 【分析】如下图，将台阶拉成平面图形，则最短路线为AB 的连线 显然，AC=BJ=8，AJ=15，所以，由勾股定理，AB=17 下证智能捕鼠器放在AJ上任一点，恰好捕捉到老鼠的速度都相同 在AJ上任取一点 P，过P做 AJ垂线交AB于Q 显然，捕鼠器恰好在Q点捕捉到老鼠 PQ AQ AQ8   PQ  显然PQ∥BJ，于是有 ， BJ AB 17 AQ AQ17  而老鼠跑到Q点所用时间为 17 AQ AQ8 17 PQ   8 于是，捕鼠器的速度应为 17 17 AQ 显然，捕鼠器的速度与其位置无关，应为 8厘米/秒。 A C D E P Q F G H I J B