文档内容
蚌埠市 ２０２４届高三年级第三次教学质量检查考试
数 学
本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟
注意事项：
１答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
１已知集合Ａ＝｛１，３，５，７，９｝，Ｂ＝｛３，６，９，１２｝，则Ａ∩Ｂ＝
Ａ｛３，９｝ Ｂ｛１，３，５，６，７，９，１２｝
Ｃ｛１，５，７｝ Ｄ｛６，１２｝
２已知平面向量ａ＝（１，ｍ），ｂ＝（－２，４），且ａ∥ｂ，则ｍ＝
１ １
Ａ２ Ｂ Ｃ－ Ｄ－２
２ ２
ｘ２ ｙ２
３已知曲线Ｃ∶ ＋ ＝１（ｍ≠０），则“ｍ∈（０，４）”是“曲线Ｃ的焦点在ｘ轴上”的
４ ｍ
Ａ充分不必要条件 Ｂ必要不充分条件
Ｃ充要条件 Ｄ既不充分也不必要条件
槡２
４在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ａ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝１，ｓｉｎＣ＝ ，则
２
Ａｂ＝１ Ｂｂ＝槡２ Ｃｃ＝槡２ Ｄｃ＝槡３
{Ｓ}
５记数列｛ａ｝的前ｎ项和为Ｓ，若 ｎ 是等差数列，Ｓ＝－８，Ｓ＝０，则ａ＋ａ＝
ｎ ｎ ｎ ２ ６ ３ ４
Ａ－８ Ｂ－４ Ｃ０ Ｄ４
６（１－ｘ＋ｘ２）２·（１＋ｘ）３的展开式中，ｘ４的系数为
Ａ１ Ｂ２ Ｃ４ Ｄ５
４
７在一组样本数据中，１，２，３，４出现的频率分别为 ｐ，ｐ，ｐ，ｐ，且∑ｐ＝１，则下面四种情形
１ ２ ３ ４ ｉ
ｉ＝１
中，对应样本的标准差最小的一组是
Ａｐ＝０１，ｐ＝０２，ｐ＝０３，ｐ＝０４ Ｂｐ＝０４，ｐ＝０３，ｐ＝０２，ｐ＝０１
１ ２ ３ ４ １ ２ ３ ４
Ｃｐ＝ｐ＝０１，ｐ＝ｐ＝０４ Ｄｐ＝ｐ＝０４，ｐ＝ｐ＝０１
１ ４ ２ ３ １ ４ ２ ３
８已知抛物线Ｃ∶ｙ２＝４ｘ，过其焦点Ｆ的直线交 Ｃ于 Ａ，Ｂ两点，Ｍ为 ＡＢ中点，过 Ｍ作准线的
垂线，垂足为Ｎ，若｜ＡＦ｜＝４，则｜ＮＦ｜＝
４ ４槡３ ８ ８槡３
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
３ ３ ３ ３
蚌埠市高三年级数学试卷第１页（共４页）
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书书书二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
( π) (π π)
９已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ－ （ω＞０）在区间 ， 上单调递增，则ω的值可以是
６ ６ ２
２ ４ ３
Ａ Ｂ１ Ｃ Ｄ
３ ３ ２
１０科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的如果物体的初始温度为 θ℃，
１
空气温度θ℃保持不变，则ｔ分钟后物体的温度 θ（单位：℃）满足：θ＝θ＋（θ－θ）ｅ－００５ｔ
０ ０ １ ０
若空气温度为１０℃，该物体温度从θ℃（９０≤θ≤１００）下降到３０℃，大约所需的时间为 ｔ，
１ １ １
若该物体温度从 ７０℃，５０℃下降到 ３０℃，大约所需的时间分别为 ｔ，ｔ，则（参考数据：
２ ３
ｌｎ２≈０７，ｌｎ３≈１１）
Ａｔ＝２０ Ｂ２８≤ｔ≤３０ Ｃｔ≥２ｔ Ｄｔ－ｔ≤６
２ １ １ ３ １ ２
１１已知正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 棱长为４，点 Ｎ是底面正方形 ＡＢＣＤ内及边界上的动点，点
１ １ １ １
Ｍ是棱ＤＤ 上的动点（包括点Ｄ，Ｄ），已知ＭＮ＝４，Ｐ为ＭＮ中点，则下列结论正确的是
１ １
Ａ无论Ｍ，Ｎ在何位置，ＡＰ，ＣＣ为异面直线
１
槡３
Ｂ若Ｍ是棱ＤＤ 中点，则点Ｐ的轨迹长度为 π
１ ２
ＣＭ，Ｎ存在唯一的位置，使ＡＰ∥平面ＡＢＣ
１ １
１
ＤＡＰ与平面ＡＢＣＤ 所成角的正弦最大值为
１ １ ２
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
槡１－ｘ
１２函数ｆ（ｘ）＝ 的定义域为
ｌｇｘ
１３已知曲线Ｃ∶ｘ２＋（ｙ－ｍ）２＝２和Ｃ∶ｙ＝ｘ＋２，Ｃ∶ｙ＝｜ｘ｜＋２，若 Ｃ与 Ｃ 恰有一个公共点，
１ ２ １
则实数ｍ＝ ；若Ｃ与Ｃ恰有两个公共点，则实数ｍ的取值范围是
２
１４已知△ＡＢＣ的角Ａ，Ｂ，Ｃ满足ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ≤［ｔａｎＡ］＋［ｔａｎＢ］＋［ｔａｎＣ］，其中符号［ｘ］表示
不大于ｘ的最大整数，若Ａ≤Ｂ≤Ｃ，则ｔａｎＣ－ｔａｎＢ＝
四、解答题：本题共５个小题，共７７分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
１５（１３分）
ｘ２ ｙ２
已知双曲线Ｅ∶ － ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左顶点是Ａ（－１，０），一条渐近线的方程为ｙ＝ｘ
ａ２ ｂ２
（１）求双曲线Ｅ的离心率；
１ １
（２）设直线ｙ＝ ｘ－ 与双曲线Ｅ交于点Ｐ，Ｑ，求线段ＰＱ的长
２ ２
蚌埠市高三年级数学试卷第２页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}１６（１５分）
寒假期间小明每天坚持在“跑步３０００米”和“跳绳２０００个”中选择一项进行锻炼，在不下
雪的时候，他跑步的概率为６０％，跳绳的概率为４０％，在下雪天，他跑步的概率为２０％，跳
绳的概率为８０％若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为５０％，若前一天下雪，则第二
天仍下雪的概率为４０％已知寒假第一天不下雪，跑步３０００米大约消耗能量３３０卡路里，
跳绳２０００个大约消耗能量２２０卡路里记寒假第ｎ天不下雪的概率为ｐ
ｎ
{ ６}
（１）求ｐ，ｐ，ｐ的值，并证明 ｐ－ 是等比数列；
１ ２ ３ ｎ １１
（２）求小明寒假第ｎ天通过运动锻炼消耗能量的期望
１７（１５分）
如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是平行四边形，侧面 ＰＡＤ是以 ＰＤ为底的等腰三
角形，ＡＢ＝ＰＢ＝２ＰＡ＝４，ＡＣ＝２槡７，Ｅ在ＰＤ上，ＡＥ⊥ＢＤ
（１）证明：平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ；
（２）求二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的余弦值
第１７题图
１８（１７分）
ａｓｉｎｘ
已知函数ｆ（ｘ）＝ ，ａ∈Ｒ
ｘ
( π)
（１）当ａ＝１，ｘ∈ ０， 时，证明：ｔａｎｘ＞ｘ＞ｘｆ（ｘ）；
２
( π ) ( π) ｘ
（２）若ｘ∈ － ，０∪ ０， ， ＜ｆ（ｘ），求实数ａ的取值范围
２ ２ ｔａｎｘ
蚌埠市高三年级数学试卷第３页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}１９（１７分）
∞ ａ ａ ａ
对于无穷数列ａ，ａ，ａ，…，ａ，…，我们称ｆ（ｘ）＝∑ ｎｘｎ＝ａ＋ａｘ＋ ２ｘ２＋…＋ ｎｘｎ＋…
０ １ ２ ｎ ｎ＝０ｎ！ ０ １ ２！ ｎ！
（规定０！＝１）为无穷数列｛ａ｝的指数型母函数无穷数列１，１，…，１，…的指数型母函数
ｎ
∞ １ ｘ２ ｘｎ
记为ｅ（ｘ）＝∑ ｘｎ＝１＋ｘ＋ ＋…＋ ＋…，它具有性质ｅ（ｘ）ｅ（ｙ）＝ｅ（ｘ＋ｙ）
ｎ＝０ｎ！ ２！ ｎ！
１
（１）证明：ｅ（－ｘ）＝ ；
ｅ（ｘ）
∞ （－１）ｋ ｘ２ ｘ４ ｘ２ｋ
（２）记ｃ（ｘ）＝∑ ｘ２ｋ＝１－ ＋ ＋…＋（－１）ｋ ＋…
ｋ＝０（２ｋ）！ ２！ ４！ （２ｋ）！
ｅ（ｉｘ）＋ｅ（－ｉｘ）
证明：ｃ（ｘ）＝ （其中ｉ为虚数单位）；
２
ｘ ｘ ∞ Ｂ Ｂ
（３）以函数 为指数型母函数生成数列｛Ｂ｝， ＝∑ ｎｘｎ＝Ｂ ＋Ｂｘ＋ ２ｘ２＋
ｅ（ｘ）－１ ｎ ｅ（ｘ）－１ ｎ＝０ｎ！ ０ １ ２！
Ｂ
…＋ ｎｘｎ＋…其中Ｂ 称为伯努利数
ｎ！ ｎ
１
证明：Ｂ＝－ 且Ｂ ＝０（ｋ＝１，２，３，…）
１ ２ ２ｋ＋１
蚌埠市高三年级数学试卷第４页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
