高一数学试卷
一、单选题
a
1．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=b(1+2cosA)，则 的取值范围是
b
（ ）
(1 √3)
A．(1,√3) B．(√2,√3) C．(√2,2) D． ,
2 2
2．已知集合A⊆U,B⊆U，且A∩∁ B=∅，则下列说法一定正确的是（ ）
U
A．A⊇B B．A∩B=∅ C．B∩∁ A=∅ D．C A⊇C B
U U U
3．已知集合A={x∈N|(x+1)(2x-7)≤0},B={x|x≤2}，则A∩B为（ ）
A．{-1,0,1,0} B．{-1,0} C．{0,1,2} D．{-1,0,1,2}
4．“Δ=b2-4ac<0”是“关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数f(x)=|lnx|,x 、x 为不相等的两个实数，则“f (x )=f (x )”是“f' (x )f' (x )=-1”
1 2 1 2 1 2
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x+2)=f (-x)=-f (x)，当0<x≤1时，f (x)=log (x+1).若
2
f (a+1)>f (a)，则实数a的取值范围是（ ）
( 5 3 )
A． - +4k,- +4k ，k∈Z B．(-1+4k,4k)，k∈Z
2 2
( 1 1 ) ( 3 1 )
C． - +4k, +4k ，k∈Z D． - +4k, +4k ，k∈Z
2 2 2 2
7．已知集合A={x∈N|x<4}，B={x|x=n2-1,n∈A}，P=A∩B，则集合P的子集共有
（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
ex-1
8．已知λ>0，若关于x的方程 -λx+λln(λx)=0存在正零点，则实数λ的取值范围为（ ）
x
A．(-∞,1] B．[1,+∞) C．(-∞,3] D．[3,+∞)
二、多选题
π π
9．已知复数 z=cosθ+isinθ(- <θ< ) （其中 i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
2 2
A．复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z 可能为实数
C．|z|=1
1
D． 的虚部为 sinθ
z
10．已知实数m，n满足0<n<m<1，则下列结论正确的是（ ）
n n+1 1 1
A． < B．m+ >n+ C．mn>nm D．log n<log m
m m+1 m n m n
11．如图，设E，F分别是正方体 ABCD-A B C D 的棱DC上两点，且 AB=2 ， EF=1 ，其中
1 1 1 1
正确的命题为（ ）
A．三棱锥 D -B EF 的体积为定值
1 1
B．异面直线 D B 与 EF 所成的角为60°
1 1
C．直线 D B 与平面 B EF 所成的角为30°
1 1 1
D．二面角 D -EF-B 的平面角为45°
1 1
三、填空题
12．函数 f(x)=√x-1+lg(1+2x) 的定义域为 .
13．已知△ABC和点G满足⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，若存在实数m、n使得m⃗AB+n⃗AC=⃗AG成立，则
m+2n= ．a2+b2+1+2ab
14．ΔABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinC= ，则ΔABC面积的最
a+b
大值为 .
四、解答题
15．已知|⃗a|=4，|⃗b|=3，⃗a⋅⃗b=6．
（1）求⃗a与⃗b的夹角；
（2）求|3⃗a-4⃗b|．
16．计算下列各式：
27 - 2 49 0.5 - 2 2
（1）( ) 3-( ) +(0.008) 3×
8 9 25
（2）log 27+log 2×log 3-6log 6 2+lg2+lg5
3 3 2
π
17．函数y=Asin(ωx+φ)(A>，ω>0，|φ|< )的一段图象如图所示.
2
（1）求函数y=f(x)的解析式；
π
（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位，得到y=g(x)的图象，求函数y=f(x)+g(x)在
3π
x∈(0， )的值域.
2
a c
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且cosC= - ．
2 4
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
19．已知实数 a，b，c 满足 a>b>c ；
1 1 1
（1）求证： + + >0 ；
a-b b-c c-a
1
（2）将上述不等式加以推广，把 的分子 1 改为另一个大于 1 的自然数 p ，使得
c-a
1 1 p
+ + >0 对任意的 a，b，c 恒成立，请加以证明；
a-b b-c c-a
m n p
（3）从另一角度推广，自然数 m，n，p 满足什么条件时，不等式 + + >0 对任
a-b b-c c-a
意 a，b，c 恒成立，请加以证明.答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：c=b(1+2cosA)，由正弦定理可得sinC=sinB(1+2cosA)，
则sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB，即sin(A-B)=sinB，
即A-B=B，即A=2B，若A-B+B=π，则A=π，不符合题意舍去；
a sinA 2sinBcosB
则 = = =2cosB，
b sinB sinB
( π) π
因为A+B+C=3B+C=π，C∈ 0, ，所以3B> ，
2 2
π π π
又因为A=2B< ，所以 <B< ，所以√2<2cosB<√3，
2 6 4
a
则 的取值范围是(√2,√3).
b
故答案为：B.
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
【解析】解：充分性：若a<0，Δ=b2-4ac<0，一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅，即充分
性不成立；
{ a>0
必要性：若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则 ，即必要性成立.
Δ=b2-4ac<0
因此，“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的必要非充分条件.
故选：B.
5．【答案】C
【解析】解：由题意，不妨设0<x <1<x ，
1 2
当f (x )=f (x )时，lnx =-lnx ，即lnx +lnx =lnx x =0，解得：x x =1，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
当0<x<1时，f(x)=-lnx，f' (x)=- ，即f' (x )=- ，
x 1 x
1
1 1
当x>1时，f(x)=lnx，f' (x)= ，即f' (x )= ，
x 2 x
21
则f' (x )f' (x )=- =-1，
1 2 x x
1 2
-1 1
当f' (x )f' (x )= ⋅ =-1时，一定有0<x <1<x ，且x x =1，则f (x )=f (x )，
1 2 x x 1 2 1 2 1 2
1 2
所以“f (x )=f (x )”是“f' (x )f' (x )=-1”的充分必要条件；
1 2 1 2
故答案为：C.
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】因为A={x∈N|x<4}={0,1,2,3}，又B={x|x=n2-1,n∈A}，
所以B={-1,0,3,8}，所以P=A∩B={0,3}，则集合P的子集共有22=4个．
故选：C
8．【答案】B
ex-1 ex-1
【解析】解：由题意得， -x+ln(λx)= -x+ln(λx)=ex-ln(λx)-1-[x-ln(λx)]=0，
λx eln(λx)
令t=x-ln(λx)，问题转化为et-1-t=0有解，
设h(t)=et-1-t，则h' (t)=et-1-1，
当t∈(-∞,1)时，h' (t)<0，函数h(t)单调递减；
当t∈(1,+∞)时，h' (t)>0，函数h(t)单调递增，
又由h(1)=0，所以h(t)存在唯一零点t=1，即1=x-ln(λx)在(0,+∞)有解，
1 x-1
即1+lnλ=x-lnx，令p(x)=x-lnx，则p' (x)=1- = ，
x x
当x∈(0,1)时，p' (x)<0；当x∈(1,+∞)时，p' (x)>0，
所以函数p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以1+lnλ≥p(1)=1，解得λ≥1，
故实数λ的取值范围为[1,+∞).
故答案为：B.
9．【答案】B,Cπ
【解析】对于AB选项，当 - <θ<0 时， cosθ>0 ， sinθ<0 ，此时复数 z 在复平面内的点在第
2
四象限；
当 θ=0 时， z=-1∈R ；
π
当 0<θ< 时， cosθ>0 ， sinθ>0 ，此时复数 z 在复平面内的点在第一象限.
2
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， |z|=√cos2θ+sin2θ=1 ，C选项正确；
1 1 cosθ-isinθ
对于D选项， = = =cosθ-isinθ ，
z cosθ+isinθ (cosθ+isinθ)⋅(cosθ-isinθ)
1
所以，复数 的虚部为 -sinθ ，D选项错误.
z
故答案为：BC.
10．【答案】A,C
n n+1 n-m n n+1
【解析】由0<n<m<1知，n-m<0 ，故 - = <0， < ，A符合题意；
m m+1 m(m+1) m m+1
1 1 1 1 1 1
由0<n<m<1得m-n>0，1- <0，所以m+ -(n+ )=(m-n)(1- )<0，即m+ <n+ ，B
mn m n mn m n
不符合题意；
因为指数函数y=mx为单调减函数，故mn>mm，
由幂函数y=xm 为单调增函数知mm>nm ，故mn>nm，C符合题意；
根据， 0<n<m<1对数函数y=log x，y=log x 为单调减函数，
m n
故log n>log m=1=log n>log m，D不符合题意，
m m n n
故答案为：AC
11．【答案】A,C,D
【解析】如图所示，1 1 1 2
对A，三棱锥 D -B EF 的体积为 V = S ·B C = × ×2×2×1= 为定值，A符合题意；
1 1 3 △D 1 EF 1 1 3 2 3
对B， EF//D C ， ∠B D C 或其补角是异面直线 D B 与 EF 所成的角，为 45° ，B不符
1 1 1 1 1 1 1
合题意；
对C，取 A D 的中点 O ，连结 D O，B O ，则 D O⊥ 平面 B EF ，
1 1 1 1 1
D O √2 1
∠D B O 为直线 D B 与平面 B EF 所成的角，所以 sin∠D B O= 1 = = ，
1 1 1 1 1 1 1 D B 2√2 2
1 1
所以直线 D B 与平面 B EF 所成的角为30°，C符合题意；
1 1 1
对D， A D ， D D 均与交线 EF 垂直，所以二面角 D -EF-B 的平面角为 ∠A DD =45∘ ，
1 1 1 1 1 1
，D符合题意．
故答案为：ACD
12．【答案】[1，+∞)
{x-1≥0
【解析】由题意可知， ，解得 x≥1 ，所以 f(x) 的定义域为[1，+∞).
1+2x>0
故答案为：[1，+∞)
13．【答案】1
【解析】因为⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，
所以-⃗AG+⃗AB-⃗AG+⃗AC-⃗AG=0⃗，
即-3⃗AG+⃗AB+⃗AC=0⃗，
1 1
所以 ⃗AB+ ⃗AC=⃗AG，
3 31
则m=n= ，所以m+2n=1。
3
故答案为：1。
1
14．【答案】
8
a2+b2+1+2ab (a+b) 2+1 1
【解析】2sinC= = =a+b+ ⩾2 ，
a+b a+b a+b
1
所以 sinC⩾1 ，当且仅当 a+b= ，即 a+b=1 时取等号，
a+b
π
所以 sinC=1 ，即 C= ， a+b=1 ，
2
所以 1=(a+b) 2=a2+b2+2ab⩾4ab ，当且仅当 a=b 时取等号，
1
所以 ab⩽ ，
4
1 1 1
则 ΔABC 面积 S= ab⩽ ，即面积的最大值 .
2 8 8
1
故答案为： .
8
⃗a⋅⃗b 6 1
15．【答案】（1）解：因为|⃗a|=4，|⃗b|=3，⃗a⋅⃗b=6，所以cos⟨⃗a,⃗b⟩= = = ，且
|⃗a||⃗b| 4×3 2
π
⟨⃗a.⃗b⟩∈[0,π]，所以 ⟨⃗a.⃗b⟩= ，
3
π
则⃗a与⃗b的夹角为 ；
3
（2）解：|3⃗a-4⃗b|=√9⃗a2+16⃗b2-24⃗a⋅⃗b=√144+144-24×6=12.
【解析】（1）代入向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量数量积的运算律和夹角公式求解即可.
⃗a⋅⃗b 6 1
（1）cos⟨⃗a,⃗b⟩= = = ，且⟨⃗a.⃗b⟩∈[0,π]，
|⃗a||⃗b| 4×3 2
π π
所以 ⟨⃗a.⃗b⟩= ，所以⃗a与⃗b的夹角为 ；
3 3（2）|3⃗a-4⃗b|=√9⃗a2+16⃗b2-24⃗a⋅⃗b=√144+144-24×6=12.
27 - 2 49 0.5 - 2 2
16．【答案】（1）解：原式=( ) 3-( ) +(0.008) 3×
8 9 25
3 -2 7 1 -2 2
=( ) - +( ) ×
2 3 5 25
4 7 2 4 7 1
= - +25× = - +2= ；
9 3 25 9 3 9
1
（2）解：原式 =log 33+log 2× -2+lg10
3 3 log 2
3
=3+1-2+1=3.
【解析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。
（2）利用换底公式结合对数的运算法则，进而化简求值。
11π π 2π
17．【答案】（1）解：观察图象，得A=2，函数f(x)的周期T= -(- )=π= ，解得ω=2，
12 12 ω
即f(x)=2sin(2x+φ)，
π π π π π π
由f(- )=2sin(- +φ)=0，得- +φ=kπ，即φ=kπ+ ，k∈Z，而|φ|< ，则φ= ，
12 6 6 6 2 6
π
所以函数y=f(x)的解析式是f(x)=2sin(2x+ ).
6
π π π
（2）解：由（1）得g(x)=2sin[2(x- )+ ]=2sin(2x- )=-2cos2x，
3 6 2
π √3 1
则y=f(x)+g(x)=2sin(2x+ )-2cos2x=2( sin2x+ cos2x)-2cos2x
6 2 2
π π π π 5π
=√3sin2x-cos2x=2sin(2x- )，当0<x< 时，- <2x- < ，
6 2 6 6 6
1 π π
有- <sin(2x- )≤1，于是-1<2sin(2x- )≤2，
2 6 6
所以所求值域为(-1，2].
2π
【解析】（1）根据函数图象求出振幅A，周期T，然后利用公式T= ，解出ω，再在图像上找一点
ω
坐标带入函数解析式即可求解；
（2）根据函数平移的规则左加右减，得出g(x)，即可求出 的解析式，然后结合三角函数图象即可求
出答案.a2+4-c2 a c
18．【答案】（1）解：由余弦定理可得cosC= = - ，
4a 2 4
整理得4=a2+c2-ac，
a2+c2-4 1
又由cosB= = ，
2ac 2
π
因为B∈(0,π)，所以B= .
3
b 2 4
= = 4 4
（2）解：由（1）可知：sinB √3 √3，所以a= sin A，c= sinC，
√3 √3
2
16 16 2 16 √3 1
故ac= sin A⋅sinC= sin Asin( π-A)= sin A⋅( cosA+ sin A)，
3 3 3 3 2 2
8 8 √3 1 1 8 π 4
= (√3sin AcosA+sin2A)= ( sin2A- cos2A+ )= sin(2A- )+
3 3 2 2 2 3 6 3
π
{ 0<A<
2 π π
因为△ABC是锐角三角形，则 ，解得 <A< ，
2π π 6 2
0<C= -A<
3 2
π π 5π
可得2A- ∈( , )，
6 6 6
π 1 8
所以sin(2A- )∈( ,1]，故ac∈( ,4]，
6 2 3
1 π √3 2√3
又由△ABC的面积S= acsin = ac，所以S∈( ,√3]．
2 3 4 3
【解析】（1）利用余弦定理和三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
4 4
（2）由（1）中角B的值和正弦定理，从而得出a= sin A，c= sinC，再结合两角差的正弦公
√3 √3
式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式，则将ac转化为正弦型函数，再由锐角
三角形中角A、C的取值范围，从而得出角A的取值范围，利用不等式的基本性质和正弦型函数的图象
求值域的方法，则得出ac的取值范围，再根据三角形的面积公式得出三角形△ABC面积的取值范围．
19．【答案】（1）证明：因为 a>b>c ，
1 1 1 1 1 1 1
要证 + + >0 ，即证 + > = ，
a-b b-c c-a a-b b-c a-c (a-b)+(b-c)1 1
只要证 ( + )[(a-b)+(b-c)]>1 ，
a-b b-c
1 1 a-b b-c √a-b b-c a-b b-c
而 ( + )[(a-b)+(b-c)]=2+ + ≥2+2 × =4 ，当且仅当 =
a-b b-c b-c a-b b-c a-b b-c a-b
．即 a-b=b-c 或 a+c=2b 时等号成立，
所以原不等式成立
1 1
（2）解：由（1） p<( + )[(a-b)+(b-c)] 恒成立，由（1）
a-b b-c
1 1
( + )[(a-b)+(b-c)] 最小值为4，所以 p<4 ， 1<p<4 ，所以 p= 2或3
a-b b-c
m n p m n
（3）解：类似（1）不等式 + + >0 恒成立，即 p<( + )[(a-b)+(b-c)] ，
a-b b-c c-a a-b b-c
m n m(b-c) n(a-b)
而 ( + )[(a-b)+(b-c)]=m+n+ + ≥m+n+2√mn ，当且仅当
a-b b-c a-b b-c
m(b-c) n(a-b)
= ，即 √m(b-c)=√n(a-b) 时等号成立，
a-b b-c
所以 p<m+n+2√mn ，即 √p<√m+√n ．
m n p
所以当自然数 m，n，p 满足 √p<√m+√n 时，不等式 + + >0 对任意 a，b，c
a-b b-c c-a
恒成立
1 1
【解析】（1）不等式变形为证明 ( + )[(a-b)+(b-c)]>1 ，由基本不等式易证；（2）不
a-b b-c
1 1 1 1
等式变形为 p<( + )[(a-b)+(b-c)] ，由（1）可得 ( + )[(a-b)+(b-c)] 最小
a-b b-c a-b b-c
m n
值．即得 p 的范围．（3）类似（1）得 p<( + )[(a-b)+(b-c)] ，由基本不等式求得
a-b b-c
m n
( + )[(a-b)+(b-c)] 的最小值，从而可得结论．
a-b b-c
