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高一数学试卷
一、单选题
a
1．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=b(1+2cosA)，则 的取值范围是
b
（ ）
(1 √3)
A．(1,√3) B．(√2,√3) C．(√2,2) D． ,
2 2
2．已知集合A⊆U,B⊆U，且A∩∁ B=∅，则下列说法一定正确的是（ ）
U
A．A⊇B B．A∩B=∅ C．B∩∁ A=∅ D．C A⊇C B
U U U
3．已知集合A={x∈N|(x+1)(2x-7)≤0},B={x|x≤2}，则A∩B为（ ）
A．{-1,0,1,0} B．{-1,0} C．{0,1,2} D．{-1,0,1,2}
4．“Δ=b2-4ac<0”是“关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数f(x)=|lnx|,x 、x 为不相等的两个实数，则“f (x )=f (x )”是“f' (x )f' (x )=-1”
1 2 1 2 1 2
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x+2)=f (-x)=-f (x)，当0f (a)，则实数a的取值范围是（ ）
( 5 3 )
A． - +4k,- +4k ，k∈Z B．(-1+4k,4k)，k∈Z
2 2
( 1 1 ) ( 3 1 )
C． - +4k, +4k ，k∈Z D． - +4k, +4k ，k∈Z
2 2 2 2
7．已知集合A={x∈N|x<4}，B={x|x=n2-1,n∈A}，P=A∩B，则集合P的子集共有
（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
ex-1
8．已知λ>0，若关于x的方程 -λx+λln(λx)=0存在正零点，则实数λ的取值范围为（ ）
x
A．(-∞,1] B．[1,+∞) C．(-∞,3] D．[3,+∞)
二、多选题
π π
9．已知复数 z=cosθ+isinθ(- <θ< ) （其中 i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
2 2
A．复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z 可能为实数
C．|z|=1
1
D． 的虚部为 sinθ
z
10．已知实数m，n满足0n+ C．mn>nm D．log n，ω>0，|φ|< )的一段图象如图所示.
2
（1）求函数y=f(x)的解析式；
π
（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位，得到y=g(x)的图象，求函数y=f(x)+g(x)在
3π
x∈(0， )的值域.
2
a c
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且cosC= - ．
2 4
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
19．已知实数 a，b，c 满足 a>b>c ；
1 1 1
（1）求证： + + >0 ；
a-b b-c c-a
1
（2）将上述不等式加以推广，把 的分子 1 改为另一个大于 1 的自然数 p ，使得
c-a
1 1 p
+ + >0 对任意的 a，b，c 恒成立，请加以证明；
a-b b-c c-a
m n p
（3）从另一角度推广，自然数 m，n，p 满足什么条件时，不等式 + + >0 对任
a-b b-c c-a
意 a，b，c 恒成立，请加以证明.答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：c=b(1+2cosA)，由正弦定理可得sinC=sinB(1+2cosA)，
则sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB，即sin(A-B)=sinB，
即A-B=B，即A=2B，若A-B+B=π，则A=π，不符合题意舍去；
a sinA 2sinBcosB
则 = = =2cosB，
b sinB sinB
( π) π
因为A+B+C=3B+C=π，C∈ 0, ，所以3B> ，
2 2
π π π
又因为A=2B< ，所以 0的解集为∅，即充分
性不成立；
{ a>0
必要性：若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则 ，即必要性成立.
Δ=b2-4ac<0
因此，“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的必要非充分条件.
故选：B.
5．【答案】C
【解析】解：由题意，不妨设01时，f(x)=lnx，f' (x)= ，即f' (x )= ，
x 2 x
21
则f' (x )f' (x )=- =-1，
1 2 x x
1 2
-1 1
当f' (x )f' (x )= ⋅ =-1时，一定有00，函数h(t)单调递增，
又由h(1)=0，所以h(t)存在唯一零点t=1，即1=x-ln(λx)在(0,+∞)有解，
1 x-1
即1+lnλ=x-lnx，令p(x)=x-lnx，则p' (x)=1- = ，
x x
当x∈(0,1)时，p' (x)<0；当x∈(1,+∞)时，p' (x)>0，
所以函数p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以1+lnλ≥p(1)=1，解得λ≥1，
故实数λ的取值范围为[1,+∞).
故答案为：B.
9．【答案】B,Cπ
【解析】对于AB选项，当 - <θ<0 时， cosθ>0 ， sinθ<0 ，此时复数 z 在复平面内的点在第
2
四象限；
当 θ=0 时， z=-1∈R ；
π
当 0<θ< 时， cosθ>0 ， sinθ>0 ，此时复数 z 在复平面内的点在第一象限.
2
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， |z|=√cos2θ+sin2θ=1 ，C选项正确；
1 1 cosθ-isinθ
对于D选项， = = =cosθ-isinθ ，
z cosθ+isinθ (cosθ+isinθ)⋅(cosθ-isinθ)
1
所以，复数 的虚部为 -sinθ ，D选项错误.
z
故答案为：BC.
10．【答案】A,C
n n+1 n-m n n+1
【解析】由00，1- <0，所以m+ -(n+ )=(m-n)(1- )<0，即m+ mm，
由幂函数y=xm 为单调增函数知mm>nm ，故mn>nm，C符合题意；
根据， 0log m=1=log n>log m，D不符合题意，
m m n n
故答案为：AC
11．【答案】A,C,D
【解析】如图所示，1 1 1 2
对A，三棱锥 D -B EF 的体积为 V = S ·B C = × ×2×2×1= 为定值，A符合题意；
1 1 3 △D 1 EF 1 1 3 2 3
对B， EF//D C ， ∠B D C 或其补角是异面直线 D B 与 EF 所成的角，为 45° ，B不符
1 1 1 1 1 1 1
合题意；
对C，取 A D 的中点 O ，连结 D O，B O ，则 D O⊥ 平面 B EF ，
1 1 1 1 1
D O √2 1
∠D B O 为直线 D B 与平面 B EF 所成的角，所以 sin∠D B O= 1 = = ，
1 1 1 1 1 1 1 D B 2√2 2
1 1
所以直线 D B 与平面 B EF 所成的角为30°，C符合题意；
1 1 1
对D， A D ， D D 均与交线 EF 垂直，所以二面角 D -EF-B 的平面角为 ∠A DD =45∘ ，
1 1 1 1 1 1
，D符合题意．
故答案为：ACD
12．【答案】[1，+∞)
{x-1≥0
【解析】由题意可知， ，解得 x≥1 ，所以 f(x) 的定义域为[1，+∞).
1+2x>0
故答案为：[1，+∞)
13．【答案】1
【解析】因为⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，
所以-⃗AG+⃗AB-⃗AG+⃗AC-⃗AG=0⃗，
即-3⃗AG+⃗AB+⃗AC=0⃗，
1 1
所以 ⃗AB+ ⃗AC=⃗AG，
3 31
则m=n= ，所以m+2n=1。
3
故答案为：1。
1
14．【答案】
8
a2+b2+1+2ab (a+b) 2+1 1
【解析】2sinC= = =a+b+ ⩾2 ，
a+b a+b a+b
1
所以 sinC⩾1 ，当且仅当 a+b= ，即 a+b=1 时取等号，
a+b
π
所以 sinC=1 ，即 C= ， a+b=1 ，
2
所以 1=(a+b) 2=a2+b2+2ab⩾4ab ，当且仅当 a=b 时取等号，
1
所以 ab⩽ ，
4
1 1 1
则 ΔABC 面积 S= ab⩽ ，即面积的最大值 .
2 8 8
1
故答案为： .
8
⃗a⋅⃗b 6 1
15．【答案】（1）解：因为|⃗a|=4，|⃗b|=3，⃗a⋅⃗b=6，所以cos⟨⃗a,⃗b⟩= = = ，且
|⃗a||⃗b| 4×3 2
π
⟨⃗a.⃗b⟩∈[0,π]，所以 ⟨⃗a.⃗b⟩= ，
3
π
则⃗a与⃗b的夹角为 ；
3
（2）解：|3⃗a-4⃗b|=√9⃗a2+16⃗b2-24⃗a⋅⃗b=√144+144-24×6=12.
【解析】（1）代入向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量数量积的运算律和夹角公式求解即可.
⃗a⋅⃗b 6 1
（1）cos⟨⃗a,⃗b⟩= = = ，且⟨⃗a.⃗b⟩∈[0,π]，
|⃗a||⃗b| 4×3 2
π π
所以 ⟨⃗a.⃗b⟩= ，所以⃗a与⃗b的夹角为 ；
3 3（2）|3⃗a-4⃗b|=√9⃗a2+16⃗b2-24⃗a⋅⃗b=√144+144-24×6=12.
27 - 2 49 0.5 - 2 2
16．【答案】（1）解：原式=( ) 3-( ) +(0.008) 3×
8 9 25
3 -2 7 1 -2 2
=( ) - +( ) ×
2 3 5 25
4 7 2 4 7 1
= - +25× = - +2= ；
9 3 25 9 3 9
1
（2）解：原式 =log 33+log 2× -2+lg10
3 3 log 2
3
=3+1-2+1=3.
【解析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。
（2）利用换底公式结合对数的运算法则，进而化简求值。
11π π 2π
17．【答案】（1）解：观察图象，得A=2，函数f(x)的周期T= -(- )=π= ，解得ω=2，
12 12 ω
即f(x)=2sin(2x+φ)，
π π π π π π
由f(- )=2sin(- +φ)=0，得- +φ=kπ，即φ=kπ+ ，k∈Z，而|φ|< ，则φ= ，
12 6 6 6 2 6
π
所以函数y=f(x)的解析式是f(x)=2sin(2x+ ).
6
π π π
（2）解：由（1）得g(x)=2sin[2(x- )+ ]=2sin(2x- )=-2cos2x，
3 6 2
π √3 1
则y=f(x)+g(x)=2sin(2x+ )-2cos2x=2( sin2x+ cos2x)-2cos2x
6 2 2
π π π π 5π
=√3sin2x-cos2x=2sin(2x- )，当0b>c ，
1 1 1 1 1 1 1
要证 + + >0 ，即证 + > = ，
a-b b-c c-a a-b b-c a-c (a-b)+(b-c)1 1
只要证 ( + )[(a-b)+(b-c)]>1 ，
a-b b-c
1 1 a-b b-c √a-b b-c a-b b-c
而 ( + )[(a-b)+(b-c)]=2+ + ≥2+2 × =4 ，当且仅当 =
a-b b-c b-c a-b b-c a-b b-c a-b
．即 a-b=b-c 或 a+c=2b 时等号成立，
所以原不等式成立
1 1
（2）解：由（1） p<( + )[(a-b)+(b-c)] 恒成立，由（1）
a-b b-c
1 1
( + )[(a-b)+(b-c)] 最小值为4，所以 p<4 ， 10 恒成立，即 p<( + )[(a-b)+(b-c)] ，
a-b b-c c-a a-b b-c
m n m(b-c) n(a-b)
而 ( + )[(a-b)+(b-c)]=m+n+ + ≥m+n+2√mn ，当且仅当
a-b b-c a-b b-c
m(b-c) n(a-b)
= ，即 √m(b-c)=√n(a-b) 时等号成立，
a-b b-c
所以 p0 对任意 a，b，c
a-b b-c c-a
恒成立
1 1
【解析】（1）不等式变形为证明 ( + )[(a-b)+(b-c)]>1 ，由基本不等式易证；（2）不
a-b b-c
1 1 1 1
等式变形为 p<( + )[(a-b)+(b-c)] ，由（1）可得 ( + )[(a-b)+(b-c)] 最小
a-b b-c a-b b-c
m n
值．即得 p 的范围．（3）类似（1）得 p<( + )[(a-b)+(b-c)] ，由基本不等式求得
a-b b-c
m n
( + )[(a-b)+(b-c)] 的最小值，从而可得结论．
a-b b-c
