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A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为( )
A．0.4 B．1 C．2 D．2.5
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝在[2,6]上单调递减，∴f(x) ＝f(2)＝＝2.
max
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
解析 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f(x) ＝
min
f(－1)＝6，f(x) ＝f(2)＝10.故选A.
max
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取
值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案 D
解析 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3
时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，
能保证y的最大值为3，最小值为2.
4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 令 f(x)＝－x2＋2x，则 f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，
∴f(x) ＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.
min
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大
值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象
的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为
f(x) ＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x) ＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
min max
二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区
间[－2,6]上单调递增，且f(－4)1)上的最小值是，则b＝________.
答案 4
解析 因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝
＝，所以b＝4.
8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴
影部分)，则其边长x为______(m)．
答案 20
解析 设矩形花园的宽为y m，
则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋
400，当x＝20时，面积最大．
三、解答题
9．求下列函数的最值．
(1)函数y＝x＋(x≥1)的最小值；
(2)函数y＝的最大值．
解 (1)解法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝2＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1.
故函数y＝x＋的最小值为1.解法二：因为函数y＝x和y＝(x≥1)均为增函数，故函数y＝x＋(x≥1)为增函
数，所以当x＝1时y取得最小值，即y ＝1.
min
(2)y＝＝＝2＋＝2＋.
因为2＋≥，
所以2<2＋≤2＋＝.
故函数的最大值为.
10．已知函数 f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且 f(x)在[0,1]上的最小值为 g(a)，求
g(a)的最大值．
解 f(x)＝x＋，
当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上单调递增，
∴g(a)＝f(0)＝；
当00 时，
f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上单调递减；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解 (1)证明：∀x ，x ∈R，且x 0，
2 1
因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x －x )<0.
2 1
又因为x ＝(x －x )＋x ，
2 2 1 1
所以f(x )＝f[(x －x )＋x ]＝f(x －x )＋f(x )，
2 2 1 1 2 1 1
所以f(x )－f(x )＝f(x －x )<0，
2 1 2 1
所以f(x )x >0，则f(x )－f(x )＝×0.2－×0.2
1 2 1 2
＝×0.2(x －x )－×0.2
1 2
＝×0.2
＝×0.2(x －x )，
1 2
因为x >x >0，
1 2
所以×0.2(x －x )>0，
1 2
故生产每件产品所需可变资金函数f(x)＝×0.2为单调递增函数．
(2)设利润为L(x)万元，则L(x)＝R(x)－20－0.2(x2－1)＝160x－3.8x2－1480.2
－20－0.2(x2－1)＝160x－4x2－1500＝－4(x－20)2＋100，所以当生产 20万件产
品时利润最大，最大利润为100万元．
