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2024-2025 学年甘肃省兰州市第四片区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形 中，若 ，则( )
A.四边形 一 定是等 腰 梯=形 + B.四边形 一定是菱形
C.四边形 一定是直角梯形 D.四边形 一定是平行四边形
2.在 中 ， 角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则角 等于( )
A. △或 B . 或 C . =1 =D. 3 =30°
3.向60量° 120° ， 30° ，15若0° ，则(60)° 120°
=(−1,2) =(−3, ) ⊥
A. B. C. D.
3 2 3
4.在 =2 中，如果 =6 ，=那−么3 等于( ) =−2
A. △ ( +B .+ )( + − )=3C . D.
150° 120° 60° 30°
5.已知 ，其中 ，求 的值( )
12 5
cos( −3)= 13 ∈(3, 6 )
A. B. C. D.
5+12 3 12+5 3 5−12 3 12−5 3
26 26 26 26
6.已知 ， ， ， ，则 ( )
3
∈ (0,2) cos( − )= 4 ⋅ =5 + =
A. B. C. D.
2
7.3、 、分别是 内角4 ， ， 的对边，6若 的周长为 3 ，且 ，
则边 长 的 值为( △) ∠ ∠ ∠ △ 4( 2+1) + = 2
A. B. C. D.
8.在2 中， ，2 为 上一点，且 4 ，则实2 数2 值为( )
1
△ =2 = +2
A. B. C. D.
1 1 1 3
二、2 多选题：本题共3小题，3 共18分。在每小题4给出的选项中，有多4项符合题目要求。
9.已知向量 ， ，设 与 的夹角为 ，则( )
A.若 ， 则=(1,−1) =(2, ) B.若 ，则
C.若 // ，则 =与−2的夹角为 D.若 =1 与 |垂 直− ， |则= 5
10.对 于=−1 ， 有如 下命题，其60中° 正确的有( ) +2 =3
△
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1 6A.
B. sin( + )=
C.c若os( + )= ， 则 为直角三角形
2 2 2
D.若 + = ，则△ 为锐角三角形
2 2 2
11.已 知+函 数< △ 的最小正周期为 ，则以下命题正确的有( )
A. ( )= 3 − ( >0)
B.函 数=2 的图象关于直线 对称
( ) =−6
C.将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的图象关于 轴对称
( ) 6
D.若方程 在 上有两个不等实数根 ， ，则
3 3
三、填空题 (： )本=题4共( 3 0,小 )题，每小题5分，共1 5 1 分 。 2 cos( 1+ 2)= 2
12.已知点 是角 终边上的一点，则 的值为______．
(3,1) 2
13.计算 ______．
3
72°− 42°− 3 72° 42°=
14.已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 在 上的投影向量为______．
2
四、解答题： 本题 共5小题3， 共77 | 分 |= 。 2 解答 | 应 |= 写出 5 文字说 明 ， 证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知(向量 与13的夹)角为 ，且 ， ．
求 ； 4 | |=2 | |= 2
(1) ⋅ ；
(2)|求 向−量 | 与向量 的夹角．
(136). 本小题 − 分
如图(，在平行15四边)形 中， ， ，点 是 的中点，连接 ， ， 记它们的交
点为点 ，设 ， ． =2 ∠ = 3 =4
用 ， 表示 =； =
(1)求 的 余 弦值．
(2) 〈 , 〉
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2 617. 本小题 分
如图(所示，有15一艘)缉毒船正在 处巡逻，发现在北偏东 方向、距离为 海里 处有毒贩正驾驶小船以每
小时 海里的速度往 北偏东 的方向逃跑，缉75毒° 船立即驾船以6每0小时 海里的速度前往缉捕．
求1缉5(毒船3经−过1)多长时间恰好能将毒贩15抓° 捕； 15 6
(1)试确定缉毒船的行驶方向．
(2)
18. 本小题 分
在 ( 中，17已知) ， ， ．
△求 ； ∠ =120° =2 =1
(1)若si为n∠ 上 一点，且 ，求 的面积．
(129). 本 小题 分 ∠ =90° △
已知(点 17 ，) ， 为坐标原点，函数 ．
求函 数( 3,1的) 解 析( 式 及 , 最 小 )正周 期； ( )= ⋅
(1)求函数 ( )的单调减区间；
(2)若 为 ( ) 的内角， ， ，求 周长的最大值．
(3) △ ( )=4 =3 △
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3 6参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
4
5
13.
3
3
14.
5
− 5
15.解： 因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
(1) 4 | |= 2 | |= 2
则 ；
2
⋅ =| || |cos〈 , 〉=2× 2× 2 =2
；
2 2 2
(2)|设 向−量 |= (与 向−量 ) 的=夹角 +， −2 ⋅ = 4+2−4= 2
(可3)得 − ，
( − )⋅ 2 − ⋅ | | 2 − ⋅ 4−2 2
且 = ，| 则− |⋅| | = ，| 所− 以|⋅| 向 | = 量| − |⋅|与 |向 = 量 2× 的 2 夹 = 角 2 为 ．
16 .解 ∈[0, 根 ] 据题意 = ，在4 平行四边形 − 中，点 是 的4中点，
易得 (1) ，则有 ，
1 1
= =2 =2
故有 ，
1
=3
又由 ，则 ；
1 1
= + =3 =3( + )
，
2 2 2 2
(2)∵ | | =( + ) = + +2 ⋅ =4+16+8=28 ∴ | |=2 7
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4 6又
2
⋅ = + ⋅ =20
⋅ ( + )⋅ 5 7
∴ 17 c . o 解 s〈 ： , 由 〉 题 = 意 co 可 s〈 得 , 〉= | |⋅| | = 2 7×4 = 14 ，
设时间为(1)小时缉毒船恰∠好 能 将=毒15贩°+抓1捕8，0°此−时75°=120° 海里， 海里，
海里， =15 6 =15( 3−1)
由 余=弦6定0 理可得 ，
2 2 2
= + −2 ⋅ ∠
即 ，
2 2 2 1
整理
(15
可得
6 ) =60 +[15( 3−1) ] −2×
，
60×15( 3−1) ×(−2)
2
解得 (负3值+已1)舍 −，2( 3−1) −8=0
即经过 =2小( 时缉毒船)恰好能将毒贩抓捕；
由 2可得 ， ，
(由2)正弦(1定)理可 得 =30 6 =3，0( 3−1)
即 sin∠， =sin∠
30( 3−1) 30 6
sin∠ = 3
2
可得 ，
6− 2
即 sin∠ =， 4
所以∠ =15° ，
即缉毒∠ 船 的 =行7驶5方°−向1为5°北=偏60东° 方向．
18.解： 在 中，角 ，60，° 的对边分别为 ， ， ，
已知 (1) △ ， ， ，
由余弦∠ 定 理=可1得20° =2 =1 ，解得 ，
2 2 2
由正弦定理 = ，+即 −2 120°，=7 = 7
7 1
= 120°=sin∠
解得 ；
21
sin∠ = 14
在 中， ，
21
(2) △ sin∠ = 14
所以 ，
2 5 7
因为cos∠ =，1−sin ∠ = 14
∠ =90°
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5 6所以 ，即 ，
3 2 3
tan∠ = = 5 = 5
所以 ．
1 1 2 3 1 3
19.解 ： △ =已知2×点 × ×， 30°=2× ，5 ×为1坐×标2原=点10，函数 ．
则 (1) ( 3,1) ( , ) ( )= ⋅
( )= ⋅ =( 3,1)⋅( 3− ,1，− )=3− 3 +1−
=
则
−
最
小
正
−
周期
3 +
；
4=−2 ( +3)+4
由 =2 可得：
(2) ( )=4−2 ( +3)
令 ，
−2+2 ≤ +3 ≤2+2 ( ∈ )
解得： ，
5
− 6 +2 ≤ ≤ 6+2 ( ∈ )
所以函数 的单调减区间为 ， ；
5
已知 为( ) 的内角， [2 −，6 ,2 +6] ∈
(则3) △ ( )，=4
( )=−2 ( +3)+4=4
得 ，
2
又 = 3 ，
由正 弦=定3理可得 ， ，
所以 =2 3 =2 3 ，
+ + = + + =3+2 3 +2 3 =3+2 3( +3)≤ 3+2 3
当且仅当 等号成立，
故 周 = 长的6 最大值 ．
△ 3+2 3
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6 6
