文档内容
科目：数学
(试题卷)
注意事项：
1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题
卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．本试卷共 4 页，如缺页，考生须及时报告监考老
师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名
准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！2024 年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
A. B. C. D.
3.已知奇函数 是定义域为R的连续函数，且在区间 上单调递增，则下列
说法正确的是
A.函数 在R上单调递增 B.函数 在 上单调递增
C.函数 在 上单调递增 D.函数 在 上单调递增
4.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 ，
且 分别为棱 靠近 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形
饰品，则该球形饰品的体积的最大值为
A. B.
C. D.
.已知 ， ，则
5
A. B. C. D.
6.已知平面向量 均为单位向量，且夹角为 ，若向量 与 共面，且满足
，则
A. B. C. D.
7.已知 ，则
=
A．9 B．10 C．18 D．19
8.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为
80%. 从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,
则该件产品合格的概率为
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是
A.数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7
B.样本数据 与样本数据 满足 ，则两组样本数据的方差相同
C.若随机事件 ， 满足： ，则 ， 相互独立
D.若 ，且函数 为偶函数，则
10.过点 的直线 交抛物线 于A，B两点，线段AB的中点为
，抛物线的焦点为 ，下列说法正确的是
A.以AB为直径的圆过坐标原点 B.
C.若直线 的斜率存在，则斜率为 D.若 ，则 12
11. 若 函 数 的 零 点 为 ， 函 数
的零点为 ，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知曲线 在 处的切线 与圆 相交于A、B两
点，则 ____________．
13.若复数 满足： ，则 ________.
14.已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与
双曲线的左、右两支分别相交于 两点，直线 与双曲线的另一交点为 ，若
为等腰三角形，且 的面积是 的面积的2倍，则双曲线C的离心率
为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且
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(1)求角 ；
(2)若 , , 成等差数列，且 的面积为 ，求 的周长．
16．(本小题满分15分)
某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，
得到下表：
时间 （天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
天数，求X的分布列和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下
的数据求出每天普及的人数y关于天数 的线性回归方程.
（参考数据：
附：对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为： ）
.
17．(本小题满分15分)
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， ，
， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)已知三棱锥 的体积为 ，点 为线段 的中点，设平面 与平
面 的交线为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
数学试题第 3 页 (共4页)
学科网（北京）股份有限公司18．(本小题满分17分)
已知O为坐标原点，椭圆C： 的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P
位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 ，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点
依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定
值；否则，请求出其取值范围.
19．(本小题满分17分)
已知函数 .
(1)判断函数 在区间 上极值点的个数并证明；
(2)函数 在区间 上的极值点从小到大分别为 ，设
为数列 的前 项和.
①证明： ；
②试问是否存在 使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明
理由.
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