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数学试卷
试卷满分：120分 考试时间：120分钟.
一､选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数的性质直接比价大小即可.
【详解】易知 .
故选：C
2. 下列各点中，在函数 的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给函数解析式逐项代入检验即可.
【详解】把所给点代入函数解析式可知，ABC错误；D正确.
故选；D
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点判断即可.
【详解】对于A，A是轴对称图形，但不是中心对称图形；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，B是轴对称图形，也是中心对称图形；
对于C，C 是轴对称图形，但不是中心对称图形；
对于D，D是中心对称图形，但不是轴对称图形；
故选：B.
4. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图
案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给图形归纳出结论即可得解.
【详解】由所给图形可得规律；第 个图形中菱形个数为 ，
所以第⑧个图形中菱形个数为 .
故选：C
5. 如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点，连接 .若 ，
则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用同一个圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半先得出 ，再根据垂径定理及等腰三角
形的性质计算即可.
【详解】因为同一个圆中，同一段弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以 ，
由垂径定理可知 ，则有 ，
显然 为等腰三角形，
则 .
故选：B
6. 如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线上一点，连接 ，
平分 交 于点 .若 ，则 的长度为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明 ，得 ，证明 ，有 ，在
中，由勾股定理求 ，可得 的值.
【详解】正方形 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，则 ，有 ，
平分 ， ，又 ，
得 ，有 ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，解得 ，即 .
故选：D
二､填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用判别式计算即可.
【详解】由题意可知 ，所以 .
故答案为：1
8. 不等式 的解集是______.
【答案】x>2
【解析】
【分析】根据题意，结合一元一次不等式的解法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，解得 ，即不等式的解集为x>2.
为
故答案 ：x>2.
9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球
__________个.
【答案】8
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据绿球个数除以总个数即可.
【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在 ，所以摸到绿球的概率为 ，
设不透明的袋中有 个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以 ，解得： ;
故答案为：8
10. 半径为4，圆心角为 的扇形的面积为__________（结果保留 ）.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形面积公式可得.
【详解】扇形的半径为4，圆心角为 ，则面积为 .
故答案为：
11. 二次函数 的图象过点 ，其中 为常
数，则 的值为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用二次函数的对称性可得 的关系，代入 三点坐标，利用消元法计算即可.
【详解】由题意知 两点纵坐标相同，即关于二次函数的对称轴对称，
所以有 ，即 ，
又 在二次函数图象上，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，整理得 ，
则 ，
所以 .
故答案为：
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为 ，点 的坐标为 ，以 为圆心，
为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心， 为半径画弧，
交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点
，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；……按照这样的规律进行下去，点 的横坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出 ，设 ， ，则 ，由勾股定理得到 ，
求出 ，找到规律，同理可得 的横坐标为 .
【详解】由题意得 ， ，设 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得 ，即 ，解得 ，故 ，
故 ，故 ，即 ，
同理可得 ，……， ，
即 的横坐标为 .
故答案为：
三､简答题（本大题5小题，每小题6分，共30分.）
13. （1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】（1）2，（2） ，1
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；
（2）先进行乘法运算，再去括号化简，最后代入求值.
【详解】（1）原式
（2） ,
将 代入上式可得 .
14. 如图，已知矩形 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）尺规作图：作对角线 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕
迹）
（2）连接 .求证：四边形 是菱形.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据菱形的判定定理判定即可.
【小问1详解】
如图1所示，直线 为所求；
【小问2详解】
如图2，设 与 的交点为 ，
由（1）可知，直线 是线段 的垂直平分线.
，
又 四边形 是矩形， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司四边形 是菱形.
15. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 .
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式 的解集；
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据A点坐标先求k，得反比例函数解析式，再代入求B坐标，由 两点坐标求一次函
数解析式即可；
（2）直接利用图象求解集即可.
【小问1详解】
经过 ，解得 ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
把 代入 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，解得 ；
【小问2详解】
观察图像得：当 或 时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
不等式 的解集为： 或 .
16. 如图，在 中， .
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，请直接写出 的形状.
【答案】（1）证明见解析
（2） 是等腰直角三角形.
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质与判定证明即可；
（2）利用（1）的结论及平行线的性质计算即可.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
是等腰直角三角形.
， 平分 ，
，
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是等腰直角三角形.
17. 小明的书桌上有一个 型台灯，灯柱 高40cm，他发现当灯带 与水平线 夹角为 时（图
1），灯带的直射宽DE(BD⊥BC,CE⊥BC)为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与
水平线夹角为 时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点 到桌面的距离.（结果保留1位小
数）
【答案】此时台灯最高点 到桌面的距离为57.3cm
【解析】
【分析】先证明四边形BDEM是平行四边形，再过点 作 于点 ，利用直角三角形求得 ，
即可求解.
【详解】由已知， ，在图1中， ，
是
四边形 平行四边形， ，
在 中， ，
在图2中，过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
灯柱 高40cm，点 到桌面的距离为 .
答：此时台灯最高点 到桌面的距离为57.3cm.
四､解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点 在 外，延长 相交于点 ，过点
作 于点 ，交 于点 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为6，点 为线段 的中点， ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用等腰三角形的性质及角的关系证明 即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明 ，根据 ，求出 即可得解.
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
，
，
又 ，
，
，
是 的切线.
【小问2详解】
如（1）图， ，
又 ，
，
的半径为 ，
，即 ，
又 点 为线段 的中点， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
， .
19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学
生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）.
成绩 频数 百分比
不及格 3
及格
良好 45
优秀 32
图1学生体质健康统计表
图2学生体质健康条形统计图
（1）图1中 __________， __________， __________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校
的
体质健康测试交流会.请用列表或画树状图 方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率.
【答案】（1）
（2）条形图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）选取的2名学生均为“良好”的概率为 .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，求得样本容量为 ，进而求得 的值；
（2）根据题意，补全条形统计图，进而得到该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）设3名“良好”分别用 表示，1名“优秀”，用 表示，结合古典概型的概率计算公式，即可求
解.
【小问1详解】
解：由题意得，样本容量为 ，
则 ， .
【小问2详解】
解：由题得，补全条形统计图，如图所示：
则 （人），
所以估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人.
【小问3详解】
解：设3名“良好”分别用 表示，1名“优秀”，用 表示，列表如下：
A B C D
A
C
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学科网（北京）股份有限公司D
由表格知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有6种，
所以选取的2名学生均为“良好”的概率为 .
20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络
销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500 进行销售，其中A
种水果收购单价10元/ ，B种水果收购单价15元/ .
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计
其他费用，求A种水果的最低销售单价.
【答案】（1） 种水果购进1000千克， 种水果购进500千克
（2） 种水果的最低销售单价为12.5元
【解析】
【分析】（1）根据题意建立二元一次方程组解方程即可；
（2）根据题意建立不等式解不等式即可.
【小问1详解】
设A种水果购进 千克， 种水果购进 千克，
根据题意有： ，解得： ，
种水果购进1000千克， 种水果购进500千克.
【小问2详解】
设A种水果的销售单价为 元 ，根据题意有： ，
解得 ，故A种水果的最低销售单价为 元 .
五､解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列
车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程
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学科网（北京）股份有限公司中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
站 站 站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
途经 站，不停车
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从 站到 站行驶了__________分钟，从 站到 站行驶了__________分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为 ，离 站的路程为 次列车的行驶速度为 ，离 站的路
程为 .
① __________；
②从上午8：00开始计时，时长记为 分钟（如：上午9：15，则 ），已知 千米/小时（可
换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中 ，若 ，求 的值.
【答案】（1）90，60
（2）① ；② 或125
【解析】
【分析】（1）由表格直接得解即可；
（2）①计算各车运行时间，根据距离相等得解；②由题意得出列车速度及车站间距离，
可分析出 时， 次列车经过 站，当 时， 次列车在 站停车，据此对
的范围分类讨论求解即可.
【小问1详解】
次列车从 站到 站行驶了90分钟，从 站到 站行驶了60分钟，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：90，60；
【小问2详解】
①根据题意得：D1001次列车从 站到 站共需 分钟，
次列车从 站到 站共需 分钟，
，故答案为： ；
② （千米/分钟）， （千米/分钟）.
与 站之间的路程为360.
当 时， 次列车经过 站.
由题意可如，当 时， 次列车在 站停车.
次列车经过 站时， 次列车正在 站停车.
i. 当 时， ，
（分钟）；
ii. 当 时， ，
（分钟），不合题意，舍去；
iii. 当 时， ，
（分钟），不合题意，舍去；
iv. 当 时， ，
（分钟）.
综上所述，当 或125时， .
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学科网（北京）股份有限公司22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
抛物线的对称轴是直线 .
（1）求拋物线的表达式；
（2）点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移
后的对应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直
接写出所有符合条件的点 的坐标.
【答案】（1）
（2）最大值为 ；此时
（3） ，
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由抛物线过点A及对称轴可建立方程组解方程即可求解析式；
（2）过 作 轴交 于 ，利用锐角三角函数将问题转化为求 的最大值，设点P坐标，
由坐标建立二次函数求最值即可；
（3）先得出平移后抛物线的解析式，利用特殊角确定直线 ，求得M坐标，分类讨论N的位置结合锐
角三角函数得出线段比计算即可.
【小问1详解】
∵ 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
抛物线的对称轴是直线 ，解得 ；
【小问2详解】
如图，延长 交 轴于 ，过 作 轴交 于 ，
当 时，解得： ，
当 时， ，
，
轴， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，设 为 ，
解得： 直线 为： ，
设 ，
∵ 的对称轴为直线 ，
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ；此时 ；
【小问3详解】
抛物线沿射线 方向平移 个单位，
即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
新的抛物线为： ，
如图，当 在 轴的左侧时，过 作 轴于 ，
同理可得：直线 为 ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，设 ，
，解得： 或 （舍去），
；
如图，当 在 轴的右侧时，过 作 轴的垂线，过
作 过 的垂线于 ，同理可得： ，
设 ，则 ，同理可得： ，
或 （舍去）， ，
综上可知 或 .
六､解答题（本大题共12分）
23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片
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学科网（北京）股份有限公司绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 和 中，
.
（1）【初步感知】
如图1，连接 ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值.
（2）【深入探究】
如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长 交
于点 ，求 的长.
（3）【拓展延伸】
在纸片 绕点A旋转过程中，试探究 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角
形 的面积；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）能，4或16或12或
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）证明 ,求出 ,可得 ,故 ,
又 ,可得 ,从而 ;
（2）连接CE,延长BM交CE于点 ,连接 交 于 ，延长 交 于 ，由 ,
得 ,求出 ,证明 ，即可得 ，
, 从 而 四 边 形 矩 形 , 有 , , 得
,可得 是 的中位线, ,设 ,证明 ，
得 ,故 , ，由 得 ，
可得CF的长.
（3）分四种情况分别画出图形解答即可.
【小问1详解】
，
,即 ，
,
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
连接 ，延长 交 于点 ,连接 交 于 ,延长 交 于 ，如图：
根据（1）得 ，
是中线，
，即
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 矩形，
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学科网（北京）股份有限公司，
，设 ，则 ，
,
解得
，
，
，解得 .
【小问3详解】
如图，当 与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
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学科网（北京）股份有限公司故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形， ，
，故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
解得 ；故 .
综上所述，直角三角形 的面积为4或16或12或 .
【点睛】思路点精：纸片 绕点A旋转过程中，若 三点能构成直角三角形，则有以下情况：
当 与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
当 时，此时 是直角三角形，
当 时，此时 是直角三角形，
在了解每种情况之后，一般都需要通过辅助线寻找三角形相似，进而求解边长和面积.
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