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华南师大附中高考适应性练习（4 月）
数 学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1.已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
2.在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A.45 B.6 C.7 D.8
3. 的展开式中 的系数为（ ）
A.70 B.56 C.28 D.8
4.设 ，向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 为 上一点， 垂直 于点 为等边三
角形，过 的中点 作直线 ，交 轴于 点，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.若将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，
纵坐标不变，得到函数 的图象，若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，
则 （ ）
A. B. C. D.7.已知函数 的定义域为 ，且满足 为偶函数，当 时，
，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体 的边长为1，现有一个动平面 ，且 平面 ，当平面 截此正
方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为 ，周长为 ，则（ ）
A. 不为定值， 为定值 B. 为定值， 不为定值
C. 与 均为定值 D. 与 均不为定值
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，已知三棱锥 的外接球的半径为 为球心， 为 的外心， 为线段 的
中点，若 ，则（ ）
A.线段 的长度为2
B.球心 到平面 的距离为2
C.球心 到直线 的距离为
D.直线 与平面 所成角的正弦值为
10.下列命题正确的是（ ）
A. “ 是第二象限角或第三象限角”， “ ”，则 是 的充分不必要条件B.若 为第一象限角，则
C.在 中，若 ，则 为锐角三角形
D.已知 ，且 ，则
11.已知双曲线 为其右焦点，点 到渐近线的距离为1，平行四边形 的顶
点在双曲线 上，点 在平行四边形 的边上，则（ ）
A.
B.
C.若平行四边形 各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为
D.四边形 的面积
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设复数 的共轭复数为 ，若 ，则 __________.
13.“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于 秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿
托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看
成1米，按照此法，至少需要经过__________天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距
离.（参考数据：光速为 米/秒， ）
14.若 ，关于 的不等式 恒成立，则正实数 的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，求 的周长.
16.（15分）
如图所示，圆台 的轴截面 为等腰梯形， 为底面圆周上异于
的点，且 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 .
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（15分）
已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
18.（17分）
已知椭圆 ，右顶点为 ，上､下顶点分别为 是 的中点，且
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 交椭圆 于点 ，点 ，直线 分别交直线 于
点 ，求证：线段 的中点为定点.
19.（17分）
奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有16个国家队被分成4个小组，每个小组4支球队循环比
赛，共打6场，每场比赛中，胜､平､负分别积 分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.
若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若 三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率
相同）.已知某小组内的 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是 ，
每场比赛的结果相互独立.
（1）假设 球队参与的前3场取得1胜2负的成绩，具体比赛结果为 与 比赛， 胜； 与 比赛，
胜； 与 比赛， 胜.此时， 各积3分， 积0分，求 球队最终晋级的概率.
（2）假设该小组的前三场比赛结果如下： 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜.
设小组赛阶段 球队的积分之和为 ，求 的分布列及期望.
华南师大附中高考适应性练习（4 月）
选择题速查
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B D B D A A ACD ACD BCD
试题精讲
1.命题角度：本题考查集合间的基本关系，要求考生了解集合的基本概念
考查热度★★★★
参考答案A
解题分析 ，得 ，则 ，所以 .
2.命题角度：本题考查等差数列，要求考生能根据等差数列的基本性质进行计算.
考查热度★★★★
参考答案C解题分析因为 ，
所以 .
3.命题角度：本题考查二项式定理，要求考生会利用二项式的展开式求解简单的系数问题.
考查热度★★★★★
参考答案B
解题分析 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，故 的展开式中 的系数为 .
4.命题角度：本题考查向量的坐标运算，要求考生能利用向量垂直的关系进行坐标运算，会求两向量的夹
角.
考查热度★★★★★
参考答案D
解题分析因为 ，
又 ，所以 ，得到 ，
所以 ，得到 ，
所以
.
5.命题角度：本题考查抛物线，要求考生使用抛物线的基本性质和平面几何的知识解决相关问题.
考查热度★★★
参考答案B
解题分析设直线 与 轴交于点 ，连接 图略），
因为焦点 ，所以抛物线的方程为 ，准线为 ，
则 ，易知 是边长为4的等边三角形，
则 ，则 .因为 ，所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 .
6.命题角度：本题考查三角函数的图象与性质，要求考生会通过函数图象的平移得到函数解析式，并能熟
练利用三角函数的性质解决问题.
考查热度★★★★★
参考答案D
解题分析由函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，
得到函数 的图象.
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 .
7.命题角度：本题考查函数性质的应用，要求考
生能利用抽象函数的奇偶性､周期性解决相关问题.
参考答案★★★★★
参考答案A
解题分析因为 ①，
所以函数 的图象关于点 对称.
因为 为偶函数，所以 ②，
则函数 的图象关于直线 对称.
由①②得 ，则 ，故 的周期为4，所以 .
由 ，令 ，得 ，即
已知 ，由函数 的图象关于直线 对称，
得 .
又函数 的图象关于点 对称，得
所以 ，即 ，所以 ④，
联立③④解得 ， ，
故当 时， .
由 的图象关于点 对称，
可得 .
8.命题角度：本题考查正方体的截面问题，要求考生能根据几何体的性质，结合直观想象能力求解几何体
的动态问题.
参考答案★★★★★
参考答案A
解题分析与平面 平行的平面且截面是六边形时满足条件，如图所示，
正方体边长为1，即
设 ，则
，同理可得六边形其他相邻两边的和均为 ，
六边形的周长 为定值 ，
正三角形 的面积为 .
当 均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，截面面积为
，
截面从 平移到 的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长 为
定值，面积 不为定值.
9.命题角度：本题考查球体，要求考生能根据三棱锥外接球的结构特征求解相关问题.
参考答案★★★★
参考答案ACD
解题分析易知 的外接圆圆心为 ，连接 ，
，
由 为 的中点，知 .由点 为 的外心，知 .
在 中， ，则 ，A项正确；
由球 的半径为3，知 ， ， 项错误， 项正确；
由 平面 平面 ，可得 ，
则在Rt 中， ，D项正确.思路点拨本题的解题关键是根据题设及外接球性质找到线面角位置.
10.命题角度：本题考查三角函数的概念和三角
恒等变换，要求考生熟悉角的定义，熟练使用公式进行三角恒等变换.
参考答案★★★★★
参考答案ACD
解题分析若 是第二象限角或第三象限
角，则 .
若 ，取 ，此时
不是第二象限角或第三象限角，
则 是 的充分不必要条件，故A项正确；
由于 为第一象限角，则 ，
，
故B项错误，
在 中，若
，
故 ，所以 ，
故 为锐角三角形，故C项正确；
由 ，
所以 ，则 ，
由 ，知 ，故D项正确.
11.命题角度：本题考查双曲线，要求考生了解双曲线的性质，能结合双曲线的性质解决相关问题.
参考答案★★★★★
参考答案BCD
解题分析点 到渐近线的距离为1，故 项错误；若 为双曲线的左焦点，又点 在平行四边形 上，则根据对称性知点 也在
平行四边形 上，且 ，所以 ，故B项正确；
由双曲线 的渐近线方程为 ，
若平行四边形 各边所在直线的斜率均存在，当其值为 ，
则平行四边形 各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C项正确；
如上图，设直线 ，
联立双曲线方程得 ，且 ，所以
，
则 ，
由对称性知 ，则点 到直线 的距离 ，
所以 ，令 ，
则 ，
又 在 上单调递减，
故 在 上单调递增，所以 ，故D项正确.
12.命题角度：本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念.
考查热度★★★★★
参考答案
解题分析设 ，则 .
因为 ，所以 .
易得 解得 所以 ，所以 .
13.命题角度：本题考查对数函数的应用，要求考生能从实际背景中抽象出函数模型，并能计算简单的函数
不等式.
考查热度★★★★★
参考答案31
解题分析依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为 米，
经过 天后，剩余的长度 米，
由 ，得 ，
两边同时取对数，得
，而 ，则
，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.
14.命题角度：本题考查导数的综合应用，要求考生能通过构造函数的方法求解不等式恒成立问题.
考查热度★★★★★
参考答案
解题分析 ，即 ，
令 ，则 .设 ，其中 ，
则 ，令 ，得 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，又 ，
所以存在 ，使得 ，
所以若 ，则 或 ，即 0或 ，
，所以在 上，
单调递增，在 上， 单调递减，
所以 ，所以只有 才能满足要求，
即 ，又 ，解得 ，所以正实数 的最大值为 .
【规律方法】函数隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区
间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.
第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的
替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
15.命题角度：本题考查解三角形，要求考生利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及余弦定理运
算求解.
考查热度★★★★★
解题分析（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .（2）易知 ，因为 .所以 ，
由余弦定理，得 .
又因为 ，所以代入得 ，
所以 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 的周长为 .
16.命题角度：本题考查空间向量在立体几何中的应用，要求考生会利用线面平行的判定定理证明线面平行，
会利用空间向量的方法求解平面与平面的夹角问题.
考查热度★★★★★
解题分析（1）取 的中点 ，连接 ，如图所示，
因为 为 的中点，所以 .
在等腰梯形 中， ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 ..
（2）以直线 ， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形 中， ，
此梯形的高为 .
因为 ，
则 ， ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，则 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
17.命题角度：本题考查导数的综合应用，要求考生能求函数的极值，会利用导数求解函数的零点问题.
考查热度★★★★★
解题分析（1）当 时， R），所以 ，
令 ，则 ，
-1- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以 ，
当 时， ，当 时，
，所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 ， 上仅有两个零点，
易知 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以
，所以 在 ， 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，所以在 上， ，在 上，
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .因为 在 上有两个零点，所以
，所以 .
因为 ，
令 ，则 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以当 时， 在 和 内各有一个零点，
即当 时， 在 上仅有两个零点.
综上，实数 的取值范围是 .（另解：利用 与 两函数图象的交点个数进行判断）
【规律总结】求解函数单调区间的步骤：
（1）确定 的定义域.（2）计算导数 .
（3）求出 的根.（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内
的符号，进而确定 的单调区间. ，则 在对应区间上单调递增，对应区间为增区
间； ，则 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对
参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
18.命题角度：本题考查椭圆的定点问题，要求考生熟悉椭圆的基本概念与性质，能通过联立方程的方法求
解椭圆的定点问题.
考查热度★★★★★
解题分析（1）由题可得 ， 的中点为
故椭圆 的方程为 .
（2）依题意可知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，由 消去 并化简，
得 ，
设 ，
则 ，
由 ，得 .
依题意可知直线 的斜率存在，
直线 的方程为 ，
令 ，得
，
同理可求得 ，，
线段 的中点为定点 .
【压轴导航】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的
标准方程；（2）设出直线 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点 的坐标，
进而证得线段 的中点为定点.
19.命题角度：本题考查概率，要求考生能从实际背景中抽象出数据，通过分类讨论的方法和概率相关知识
求解问题，会求解随机变量的分布列及期望.
考查热度★★★★★
解题分析（1）在剩下的三场比赛中：
若 与 比赛平局，则 积分各加1分，
都高于 的积分， 淘汰；
若 与 比赛平局，则 与 比赛的结果无论如何，
都有两队的积分高于 淘汰；若 与 比赛平局，
则同理可得 一定会淘汰.综上，若要 出线，则剩下的三场比赛不可能出现平局.
若 与 比赛， 胜， 与 比赛， 胜， 与 比赛， 胜，则 出线， 争夺第二名， 出
线的概率为 .若 与 比赛， 胜， 与 比赛， 胜， 与 比赛， 胜，则 出
线， 争夺第二名， 出线的概率为 .
其他情况， 均淘汰.
故 球队最终出线的概率为 .（2）前三场比赛中 球队的积分之和为6.
剩下的三场比赛为 与 比赛， 与 比赛， 与 比赛，其中 与 比赛的结果与 球队的积分
之和无关.
若 与 比赛中， 球队得到的积分之和为 与 比赛中， 球队得到的积分之和为3，则
，其概率为 .
若 与 比赛中， 球队得到的积分之和为 与 比赛中， 球队得到的积分之和为1，则
，其概率为 .
若 与 比赛中， 球队得到的积分之和为 与 比赛中， 球队得到的积分之和为0，则
，其概率为 .
若 与 比赛中， 球队得到的积分之和为 与 比赛中， 球队得到的积分之和为3，则
，其概率为 .
若 与 比赛中， 球队得到的积分之和为 与 比赛中， 球队得到的积分之和为1，则
，其概率为 .
若 与 比赛中， 球队得到的积分之和为 与 比赛中， 球队得到的积分之和为0，则
，其概率为 .
的分布列为
8 9 10 11 12.
【解题思路】本题关键是根据比赛规则讨论各队得分情况，分类求解；注意各种情况考虑全面，做到不多
不漏.
