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第六章 计数原理（能力提升）B 卷
姓名： 班级：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。
1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）。
A、8种
15
B、 种
53
C、 种
35
D、 种
2．某班 2022 年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目
插入原节目单中，那么不同的插法的种数有（ ）。
A、2种
B、11种
36
C、 种
D、42种
3． 2022 年某高校艺术类考试中，共有6名选手参加，其中3名女生，3名男生，现这六名考试依次出场
进行才艺展出，如果3名男生中任何两人都不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场
顺序的排法种数为（ ）。
108
A、 种
120
B、 种
132
C、 种
D、144种
11n +C1 ⋅11n−1 +C2 ⋅11n−2 +...+Cn−1 ⋅11−1
13
4．设n为奇数，那么 n n n 除以 的余数是（ ）。
A、−3
B、2
10
C、
D、11
5．若6个人排成一排，A、B、C三人互不相邻，D、E两人也不相邻的排法有（ ）。
108
A、 种
120
B、 种
132
C、 种D、144种
6．A、B、C、D、E五人站在一排，若A必须站在B的左边，C必须站在B的右边，（A、B、C
可以不相邻），且B不能站在中间，则不同的排法有（ ）。
A、12种
B、24种
36
C、 种
48
B、 种
7．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分
配方式有（ ）。
A、6种
B、8种
C、9种
D、12种
8．将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放
一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ）。
20
A、
40
B、
68
C、
96
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11
(a−b)
9．关于 的说法，正确的是（ ）。
2048
A、展开式中的二项式系数之和为
B、展开式中只有第6项的二项式系数最大
C、展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D、展开式中第6项的系数最小
10．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ）。
A、全部投入4个不同的盒子里，共有45
种放法
C3
B、放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 4种放法
C、将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有
C
5
4 ⋅C1
4种放法
D、全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有
C
5
2 ⋅A
4
4
种不同的放法
11．若
(1−2x) 2022 =a
0
+a
1
x+a
2
x2 +¿⋅¿+a
2021
x2021 +a
2022
x2022
（x∈R），则下列计算错误的是（ ）。
a =1
A、 032022 −1
a +a +a +¿⋅¿+a =
1 3 5 2021 2
B、
32022 +1
a +a +a +¿⋅¿+a =
0 2 4 2022 2
C、
a a a
a + 2 + 3 +¿⋅¿+ 2022 =−1
D、
1 21 22 22021
12．已知 n∈N +，n≥2， p+q=1 ，设 f(k)=C 2 k n ⋅pk ⋅q2n−k ，其中k∈N、k≤2n，则（ ）。
2n
∑ f(k)=1
A、k=0
2n
∑[k⋅f(k)]=2npq
B、k=0
np=4 f(k)≤f(8)
C、若 ，则
n n
1
∑ f(2k)< <∑ f(2k−1)
2
D、k=0 k=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个盒子里装有7个大小、形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1、2、3、4，黄球3
个，编号分别为1、2、3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有 种。
14．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两
个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________。
100
15．在庆祝中国共产党成立 周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学
游活动，该校高一年级7个班级分别去3个革命老区研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至
少安排2个班级，则不同的安排方法共有 种。（用数字作答）(1+x)⋅(1−2x) 7 =a +a⋅x+a⋅x2 +¿⋅¿+a⋅x8 a +a +¿⋅¿+a
16．若 0 1 2 8 ，则 1 2 7的值是 ；在上述展开式
右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的取法。（本小题第一
个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共7小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为47
，③各项系
数之和为
414
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，
说明理由。
3
(√x+ ) n
设二项式 x3 ，若其展开式中， ，是否存在整数k，使得 T k是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分。
18．（本小题满分10分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻。2
(3x− ) n
19．（本小题满分10分）已知 √x （ n∈N +）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1：3。
（1）求n的值；
（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项。
20．（本小题满分10分）按照要求完成下列问题：
（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几
种？
（3）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
（注：最后结果需用数字作答）
21．（本小题满分10分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，
结果用数字作答）
（1）3名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
（2）4名男生相邻有多少种不同的站法？
（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（4）甲、乙、丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不
相等）
（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色的朗通，有多少种选派方法？22．（本小题满分10分）规定
Am
x
=x⋅(x−1)⋅¿⋅¿(x−m+1)
，其中x∈R，
m∈N
+，且
A0
x
=1
，这是排列数
Am
n （m、n是正整数，且m≤n）的一种推广。
A3
（1）求 −15的数值；
Am =n⋅Am−1 Am +m⋅Am−1 =Am
（2）排列数的两个性质：① n n−1，② n n n+1（其中m、n是正整数）是否都能推广
Am
到 x （x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
23．（本小题满分10分）已知整数n≥4，集合 M={1，2，3，⋅¿⋅，n} 的所有3个元素的子集记为
A
A
1、
A
2、…、
C3
n
。A
（1）当n=5时，求集合 A 1、 A 2、…、 C
5
3 中所有元素之和。
P =m +m +¿⋅¿+m
（2）设
m
i为
A
i中的最小元素，设
n 1 2 C3
n
，试求
P
n。
