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辽宁省沈阳市五校协作体 2024-2025 学年高一（上）期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合𝐴 ={𝑥∈ 𝑁∗|2𝑥 <4}，𝐵 ={𝑥 ∈ 𝑁|−1 <𝑥 < 2}，则𝐴∪𝐵=( )
A. {𝑥|−1< 𝑥< 2} B. {𝑥|𝑥 <2} C. {0,1} D. {1}
2.已知向量𝑎⃗⃗ =(3,2),𝑏⃗ = (𝜆,10−𝜆)，若𝑎 //𝑏⃗ ，则𝑎⃗⃗ +𝑏⃗ =( )
A. (9,6) B. (6,4) C. (−3,−2) D. (6,9)
2𝑥
3.函数𝑓(𝑥) = 的大致图象为( )
22𝑥−1
A. B.
C. D.
4.已知数据𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 ，且满足𝑥 < 𝑥 < ⋯< 𝑥 ，若去掉𝑥 ，𝑥 后组成一组新数据，则新数据与原
1 2 3 10 1 2 10 1 10
数据相比，有可能变大的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差
5.如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是线段𝐴𝐵上靠近𝐴的三等分点，点𝐹是线段𝐵𝐶的中点，则𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ = ( )
A. 8 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ − 5 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ B. 10 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ − 5 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ C. − 8 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ + 5 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ D. − 10 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ + 5 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗
9 9 9 9 9 9 9 9
6.设𝑃 =𝑙𝑜𝑔 𝑛+1 ，若∑14 𝑃 = 𝑙𝑜𝑔 2 9−𝑙𝑜𝑔 2 3 (𝑘 ∈ 𝑁∗,𝑘 ≤ 20)，则𝑘的值为( )( )
𝑏 𝑏 𝑛 𝑛=𝑘 10 1+𝑙𝑜𝑔 5
2
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
7.已知正实数𝑎、𝑏满足𝑎2 +3𝑎𝑏+9𝑏2 = 6，则𝑎 +3𝑏的最大值为( )
第1页，共9页A. 2√ 5 B. 2√ 2 C. √ 5 D. 2
8.已知函数𝑓(𝑥)是定义域为𝑅的函数，𝑓(1+𝑥) =−𝑓(1−𝑥)，对任意𝑥 、𝑥 ∈[1,+∞)(𝑥 < 𝑥 )，均有𝑓(𝑥 )−
1 2 1 2 2
𝑓(𝑥 )>0，已知𝑚、𝑛(𝑚 ≠𝑛)为关于𝑥的方程𝑥2 −2𝑥+𝑡2−3 =0的两个解，则关于𝑡的不等式𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛)+
1
𝑓(𝑡)> 0的解集为( )
A. (−2,1) B. (−∞,1) C. (1,+∞) D. (1,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 2 1
9.若𝑃(𝐴𝐵) = ，𝑃(𝐴)= ，𝑃(𝐵) = ，则下列说法正确的是( )
6 3 2
1
A. 𝑃(𝐴) = B. 事件𝐴与𝐵不互斥
2
C. 事件𝐴与𝐵相互独立 D. 事件𝐴与𝐵不一定相互独立
10.下列结论中正确的是( )
A. 若幂函数𝑓(𝑥)的图象经过点( 1 ,2)，则𝑓(𝑥) =𝑥−2
2
B. 函数𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+2 −2(𝑎 >0且𝑎 ≠1)的图象必过定点(−2,−1)
2𝑥−𝑥2
1
C. 函数𝑓(𝑥) =( ) 的单调增区间是(1,+∞)
2
D. 若幂函数𝑓(𝑥) =√ 𝑥，则对任意𝑥 、𝑥 ∈ [0,+∞)，都有
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
≤ 𝑓(
𝑥1+𝑥2)
1 2 2 2
−𝑥2+6𝑥−5,𝑥 ≥1,
11.已知函数𝑓(𝑥) = { 关于𝑥的方程𝑓(𝑥) = 𝑚有从小到大排列的四个不同的实数根
|𝑙𝑜𝑔 (1−𝑥)|,𝑥 <1,
2
1
𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ，若𝑀 = − 𝑥 −2𝑥 +𝑥 +𝑥 ，则( )
1 2 3 4 2 1 2 3 4
11 93
A. 𝑚 ∈ (0,4) B. 𝑥 ∈(−14,0) C. 𝑀的最小值为 D. 𝑀的最大值为
1 2 8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数𝑦 =𝑓(𝑥−1)为奇函数，则函数𝑦 = 𝑓(𝑥)+1的图象关于 对称．
13.如图，△𝐴𝐵𝐶中，延长𝐶𝐵到𝐷，使𝐵𝐷 =𝐵𝐶，当𝐸点在线段𝐴𝐷上移动时，若𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =𝜆𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝜇𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，则𝑡 =𝜆−𝜇
的最大值是 ．
第2页，共9页14.已知𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)是定义域为𝑅的函数，且𝑓(𝑥)是奇函数，𝑔(𝑥)是偶函数，满足𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑥+2，
若对任意的1 <𝑥 < 𝑥 < 2，都有
𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2)
> −3成立，则实数𝑎的取值范围是 ．
1 2 𝑥1−𝑥2
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解
所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表：
飞行时长(分钟) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1
(1)估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数(同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结
果保留整数)；
(2)记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家
生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，
求至少有一架无人机为优良品的概率．
16.(本小题12分)
如图，在▵𝐴𝐵𝐶中，点𝑃满足𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ = 2𝐵⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ，𝑂是线段𝐴𝑃的中点，过点𝑂的直线与边𝐴𝐵，𝐴𝐶分别交于点𝐸,𝐹．
(1)若𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 2 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，求 𝐴𝐸 的值；
3 𝐸𝐵
(2)若𝐸⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝜆𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ (𝜆> 0)，𝐹⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝜇𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ (𝜇 >0)，求 1 + 1 的最小值．
𝜆 𝜇+1
17.(本小题12分)
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮
不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则
1
比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中
2
1
的概率为 ，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
3
第3页，共9页(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
18.(本小题12分)
已知函数𝑓(𝑥) = 2𝑥 +2−𝑥，𝑔(𝑥) = 2𝑥 −2−𝑥．
(1)若存在𝑥 ∈ (0,+∞)，使得𝑓(𝑥) = 𝑡⋅2𝑥 +1成立，求实数𝑡的取值范围；
(2)若不等式𝑓(2𝑥) +2𝑏𝑔(𝑥) ≥0，对任意的𝑥 ∈[1,2]恒成立，求实数𝑏的取值范围．
19.(本小题12分)
定义一种新的运算“⊕”：∀𝑥，𝑦 ∈𝑅，都有𝑥⊕ 𝑦 =lg(10𝑥+10𝑦).
(Ⅰ)对于任意实数𝑎，𝑏，𝑐，试判断(𝑎⊕𝑏)−𝑐与(𝑎 −𝑐)⊕(𝑏−𝑐)的大小关系；
(Ⅱ)若关于𝑥的不等式(𝑥−1)2 >[(𝑎2𝑥2)⊕(𝑎2𝑥2)]−𝑙𝑔2的解集中的整数恰有3个，求实数𝑎的取值范围；
(Ⅲ)已知函数𝑓(𝑥) =lg{[𝑥+4⊕(𝑥+4)]−√ 2𝑥+3−𝑙𝑔2}，𝑔(𝑥)= (1⊕𝑥)⊕(−𝑥)，若对任意的𝑥 ∈ 𝑅，
1
3
总存在𝑥 ∈[− ,+∞)，使得𝑔(𝑥 )=lg|3𝑚−2|+𝑓(𝑥 )，求实数𝑚的取值范围．
2 2 1 2
第4页，共9页1.【答案】𝐶
2.【答案】𝐴
3.【答案】𝐷
4.【答案】𝐴
5.【答案】𝐴
6.【答案】𝐵
7.【答案】𝐵
8.【答案】𝐷
9.【答案】𝐵𝐶
10.【答案】𝐵𝐶𝐷
11.【答案】𝐴𝐶
12.【答案】(−1,1)
13.【答案】3
3
14.【答案】[− ,+∞)
4
15.【答案】解：(1)
该类型无人机飞行时长的平均数为15×0.1+25× 0.2+35×0.35+45×0.25+55×0.1 ≈36；
飞行时长在区间[10,30)的频率为0.3，在[10,40)的频率为0.65，
则该类型无人机飞行时长的第60百分位数𝑚∈ (30,40)，
𝑚−30
由0.3+ ×0.35=0.6，解得𝑚≈ 39，
40−30
所以该类型无人机飞行时长的第60百分位数约为39分钟．
(2)
依题意，合格品与优良品的 比例为60:40，即为3:2，
则抽取的5架无人机中，合格品有3架，优良品有2架，
所以从这5架无人机中随机抽取2架，至少有一架无人机为优良品的概率𝑃=
𝐶2 1𝐶3 1+𝐶2 2
=
7
．
𝐶2 10
5
16.【答案】解：(1)因为𝑃⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =2𝐵⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ，
所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ = 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ = 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 (𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ) = 2 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，
3 3 3 3
第5页，共9页因为𝑂是线段𝐴𝑃的中点，所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝑂⃗ = 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ = 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，
2 3 6
又因为𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 2 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，设𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑥𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ，则有𝐴⃗⃗⃗⃗𝑂⃗ = 𝑥 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ + 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，
3 3 4
𝑥 1 9 4
因为𝐸,𝑂,𝐹三点共线，所以 + =1，解得𝑥 = ，即𝐴𝐸 = 𝐴𝐵，
3 4 4 9
𝐴𝐸 4
所以 = ；
𝐸𝐵 5
(2)因为𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ +𝐸⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ +𝜆𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =(1+𝜆)𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ = 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ +𝐹⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ +𝜇𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =(1+𝜇)𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，
由(1)可知，𝐴⃗⃗⃗⃗𝑂⃗ = 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ = 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝑂⃗ = 1+𝜆 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ + 1+𝜇 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，
2 3 6 3 6
1+𝜆 1+𝜇
因为𝐸,𝑂,𝐹三点共线，所以 + =1，即2𝜆+𝜇 =3，
3 6
所以
1
+
1
=
1
(
1
+
1
)⋅(2𝜆+𝜇+1)=
1
(2+
𝜇
+
1
+
2𝜆
+
𝜇
+
1
)⩾
1
(3+2√
𝜇+1 2𝜆
) =
3+2√ 2
，
𝜆 𝜇+1 4 𝜆 𝜇+1 4 𝜆 𝜆 𝜇+1 𝜇+1 𝜇+1 4 𝜆 𝜇+1 4
当且仅当𝜇+1= √ 2𝜆，即𝜆 =4−2√ 2，𝜇 =4√ 2−5时取等号，
所以
1
+
1
的最小值为
3+2√ 2
．
𝜆 𝜇+1 4
17.【答案】解：(1)若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，
则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
1 1 1 1
所以𝑃 =(1− )× × = ；
1 2 3 3 18
若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，
则第一次甲投中、第二次甲未投中，
乙投中第3、4次，
1 1 1 1 1
所以𝑃 = ×(1− )× × = ；
2 2 2 3 3 36
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件𝐴，
1 1 1
则𝑃(𝐴) =𝑃 +𝑃 = + = ，
1 2 18 36 12
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，
1
乙获胜的概率为 ；
12
(2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，
1 1 1
则甲连续投中2次，则概率𝑃 = × = ；
3 2 2 4
第6页，共9页若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，
乙投中第3、4次，
1 1 1 1 1
则𝑃 = ×(1− )× × = ；
4 2 2 3 3 36
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，
第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
1 1 1 1 1 1
则𝑃 = (1− )×(1− )×(1− )× × = ；
5 2 3 2 3 3 54
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
1 1 1 1 1 1
则𝑃 = (1− )× ×(1− )×(1− )× ×
6 2 3 3 2 3 3
1
= ；
162
1 1 1 1 49
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率𝑃 =𝑃 +𝑃 +𝑃 +𝑃 = + + + = ．
3 4 5 6 4 36 54 162 162
18.【答案】解：(1)
∵𝑓(𝑥) = 2𝑥 +2−𝑥，由𝑓(𝑥) =𝑡⋅2𝑥 +1，
∴𝑡 =2−2𝑥 −2−𝑥 +1在𝑥 ∈ (0,+∞)有解，
令𝑚 =2−𝑥 ∈(0,1)，所以，𝑡 = 𝑚2−𝑚+1
1 3 3
当𝑚 = 时𝑡 = ；当𝑚趋向于0或1时𝑡趋向于1，即𝑡 ∈[ ,1)．
2 min 4 4
(2)
𝑓(2𝑥)+2𝑏𝑔(𝑥) ≥0，即，22𝑥+2−2𝑥+2𝑏(2𝑥−2−𝑥)≥ 0
令2𝑥 −2−𝑥 = 𝑚，则22𝑥+2−2𝑥 =𝑚2 +2，
因为𝑥 ∈[1,2]，𝑦 =2𝑥 −2−𝑥为增函数，所以𝑚 ∈ [ 3 , 15 ]，
2 4
𝑚2+2 3 15
所以化为𝑏 ≥− 对任意的𝑚 ∈[ , ]恒成立，
2𝑚 2 4
𝑚2+2 𝑚 1 3 15
𝜑(𝑚)= − =−( + )在𝑚 ∈[ , ]上单调递减，
2𝑚 2 𝑚 2 4
3 3 3 2 17
当𝑚 = 时，取得最大值为𝜑( )= −( + )= − ，
2 2 4 3 12
17 17
所以𝑏 ≥− ，实数𝑏的取值范围为[− ,+∞)．
12 12
第7页，共9页19.【答案】解：(Ⅰ) ∵ ∀𝑥，𝑦 ∈𝑅，都有𝑥⊕𝑦 =lg(10𝑥+10𝑦)，
∴(𝑎⊕𝑏)−𝑐 =lg(10𝑎+10𝑏)−𝑐，
(𝑎−𝑐)⊕(𝑏−𝑐)
=lg(10𝑎−𝑐+10𝑏−𝑐)
=lg[10−𝑐(10𝑎+10𝑏)]
=lg(10𝑎+10𝑏)−𝑐，
∴(𝑎⊕𝑏)−𝑐 =(𝑎 −𝑐)⊕(𝑏−𝑐)，
(Ⅱ)
∵(𝑎2𝑥2)⊕(𝑎2𝑥2)=lg(10𝑎2𝑥2 +10𝑎2𝑥2
)
=lg(2×10𝑎2𝑥2 )=𝑎2𝑥2+lg2，
∴关于𝑥的不等式(𝑥−1)2 >[(𝑎2𝑥2)⊕(𝑎2𝑥2)]−𝑙𝑔2
可化为：(𝑥−1)2 > 𝑎2𝑥2，
即(1−𝑎2)𝑥2−2𝑥+1 >0，
不等式(𝑥−1)2 > [(𝑎2𝑥2)⊕(𝑎2𝑥2)]−𝑙𝑔2的解集中的整数恰有3个，
为满足题意，必有1−𝑎2 <0，即𝑎 <−1或𝑎 >1①，
令ℎ(𝑥)= (1−𝑎2)𝑥2−2𝑥+1，
由于ℎ(0)= 1> 0，ℎ(1) =−𝑎2，
结合①可得：ℎ(1)<0，
∴ℎ(𝑥)的一个零点在区间(0,1)，另一个零点在区间[−3,−2)，
ℎ(−3)≤ 0
从而{ ②，
ℎ(−2)> 0
3 4 4 3
由①②可得：− <𝑎 ≤− 或 ≤𝑎 < ，
2 3 3 2
3 4 4 3
实数𝑎的取值范围：(− ,− ]∪[ , );
2 3 3 2
(Ⅲ)函数𝑓(𝑥) =lg{[𝑥+4⊕(𝑥+4)]−√ 2𝑥+3−𝑙𝑔2}，
𝑓(𝑥)= lg(𝑥+4−√ 2𝑥−3)，
𝑔(𝑥) = (1⊕𝑥)⊕(−𝑥)，𝑔(𝑥)= lg(10𝑥+10−𝑥 +10)，
3
设𝑡 =𝑥+4−√ 2𝑥+3，𝑥 ∈ [− ,+∞),
2
令√ 2𝑥+3= 𝑟，𝑟∈ [0,+∞)，
则𝑥 = 1 (𝑟2−3)，
2
第8页，共9页1
∴𝑡 = (𝑟2−3)+4−𝑟
2
= 1 𝑟2−𝑟+ 5 = 1 (𝑟−1)2+2 ≥2，
2 2 2
∴𝑓(𝑥)≥ 𝑙𝑔2，
𝜑(𝑥) = lg|3𝑚−2|+𝑓(𝑥)的值域为𝐴= [lg|3𝑚−2|+𝑙𝑔2,+∞)，
∵10𝑥 +10−𝑥 +10 ≥2√ 10𝑥 ×10−𝑥 +10 =12，
∴𝑔(𝑥) ≥𝑙𝑔12，
𝑔(𝑥)的值域为𝐵 =[𝑙𝑔12,+∞)，
根据题意可知：𝐵⊆ 𝐴，
∴lg|3𝑚−2|+𝑙𝑔2 ≤𝑙𝑔12，
4 8 2
解之得：− ≤𝑚 ≤ 且𝑚 ≠ ，
3 3 3
4 2 2 8
实数𝑚的取值范围：[− , )∪( , ].
3 3 3 3
第9页，共9页
