2015第十五届中环杯三年级决赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_决赛_三年级

第 15届中环杯决赛试题解析（三年级） 一、填空题A（本大题共 8小题，每题 6分，共 48 分）： 1. 计算：2513215137________. 【答案】2015 【解答】 2513215137 5131051321 5131021 513312015 2. 在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了30分，带领上海队以10分的优势战 胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的5倍少10分，那么上海队获得 ______分 【答案】75分 【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为30510140分，而上海队减去北 京队的得分为10分，根据和差问题，我们有：上海队得了14010275分 3. 一个数只包含两种数字：3或者4，而且3或者4都至少出现一个。这个数既是3的倍 数，又是4的倍数。这样的数最小为______. 【答案】3444 【解答】为了使得它是4的倍数，最后两位只能是44。如果只有两个数字4，这个 数无法成为3的倍数，所以很容易得到其最小值为3444 4. 我们有27个111的小立方体，将其拼成一个333的大立方体，其中的一些小立方 体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白色 的小立方体最多有________个【答案】15 【解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有12个，而一共有27个小立 方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有271215个 5. 如图，一个大三角形ABC被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三部 分是四边形。三个四边形的周长之和为25厘米，四个三角形的周长之和为20厘米， 三角形ABC的周长为19厘米。那么ADBECF______厘米 A F E B D C 【答案】13 【解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中 间的线段都被加了两次。比如下图中的GH，它既是四边形GFBH 的一条边、又是 GHI的一条边。而AB,BC,CA都只出现一次，比如AFBF  AB。所以我们要求的 线段之和为252019213厘米 A F G E H I B D C6. 下图是上海的地铁运营图，其中的点代表不同的地铁站台，直线代表了不同的线路。 小明是一个学生，他希望找到一种路线，使得他可以经过所有的站台。他可以从任意 的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重复 经过n个站台，则n的最小值为________. 【答案】3 【解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从 A BC D E D FG H  I  H  G J  K  L，这样他必须重 复经过3个站台，接下来我们证明3是最小值。 显然，D,G这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从A开始或者从A结 束，那么B肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明不是从 L开始或者从L结束，那么K肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了； 如果小明从A开始从L结束，那么H 肯定会被重复经过。所以，n3 【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其 放在第6题 B C D A E F L G K J I H 7. 如果653整除ab2347，则ab______. 【答案】11【解答】由于653|ab2347653|  ab2347653 ，考虑到ab2347653ab3000，所以 653|ab31000。由于 653是素数，并且653无法整除 1000，所以653|ab3，从而推出 a6  ，所以ab11 b5 8. 学校组织一次野餐会，有若干人员参加。学校准备了很多空盘子，每个到场的人员都 会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（每个人只能拿走一个空盘子，不 能多拿）。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下，第二个到会的人员数到的空 盘子数量比第一个到会的人员少一个， ，依次类推，最后一个到会的人员发现 还有4个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为 2015，则总共有______人参加了这次野餐会。 【答案】1006 【解答】设有x个人参加了野餐会，空盘子总共有2015x个 第1个参会人员数到有2015x个空盘子； 第2个参会人员数到有2014x个空盘子；  第n个参会人员数到有2016xn个空盘子；  第x个参会人员数到有2016xx20162x个空盘子； 从而得到方程20162x4x1006 二、填空题B（本大题共 4小题，每题 8分，共 32 分）： 9. A、B、C、D四人有一些数量互不相同的纸牌。 A说：“我比C多16张纸牌。” B说：“D比C多6张纸牌。”C说：“A比D多9张纸牌。” D说：“如果A再给我2张纸牌，我纸牌的数量就是C的3倍。” 已知这四个人中，拥有纸牌数量最少的那个人说错了，其余都说对了。那么D有 ________张纸牌 【答案】10 【解答】首先对每个人所说的话进行翻译： A的意思是：AC16； B的意思是：DC6； C的意思是：AD9； D的意思是：D23C。 由于说错话的只有一个人，而A和C都说A不是最少的，因此，A说的是真话。通 过B和D的话可以推断D的纸牌数也不是最少的。因此，说错话的只可能是B或 C。 AC 16 如果C说的是正确的，则 DC 7，结合D23C推出 AD9 C73C292C，没有整数解，矛盾。所以B说的是正确的，C说的是错误 DC 6 C 4 的。利用B的结论，我们有  。所以答案为10。 D23C D10 10. 七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求： （1）至少涂其中的两个正方形； （2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方 形）。 那么，有________种不同的涂色方法。【答案】10 【解答】直接分类讨论： （1）如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得 到下图。如果我们再涂一个正方形，显然有 4种涂法；如果我们再涂两个正方形， 要简单分析一下：显然b不能被涂色（否则b一旦被涂色了，那么a,c,d 都不能被涂 色了），而且c,d 不能同时被涂色，所以只有 2种涂法（a,c或者a,d）。综上所 述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有426种涂法 d a b c （2）如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂e,b，否 则只能涂一个正方形了，得到下右图。容易知道，a, f以及c,d都不能同时被涂 色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有224种涂法。 f e d f d a b c a c 综上所述，一共有6410种涂法 11. 在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的方 格中填入适当的数字，使得算式成立。那么中环杯 所代表的三位数是________.6 中 环 杯 中 环 杯 【答案】124 abc6是三位数 【解答】由于  ，所以d,e都是7~9中的数字。根据 abcd,abce都是四位数 “abc6是三位数”我们很容易推出a1。由于“中环杯中环杯中环杯1001”，所以 7|abc   1001|abcd6e。考虑到abc只是一个三位数，所以不可能同时满足11|abc ，所以  13|abc  7,11,13中至少有一个数整除d6e。接下来分类讨论： （1）若7|d6e，结合d,e都是7~9中的数字，我们很容易推出只有868满足条件。由 于此时11,13都不能整除868，所以11,13整除abc1bc，所以1bc1113143，此时 143868124124，满足我们的要求。 （2）若11|d6e，结合d,e都是7~9中的数字，所以de611de17，我们很 容易推出只有869或968满足要求。考虑到7,13都不能整除这两个数，所以7,13整除 abc1bc，所以1bc7132182，而1826不是三位数，矛盾。 （3）若13|d6e，结合d,e都是7~9中的数字，我们很容易推出只有767满足条件。 考虑到7,11都不能整除这两个数，所以7,11整除abc1bc，所以1bc7112154。 此时154767118118，但是题目说了“中环杯”的三个数字互不相同，所以也不符合 要求。 综上所述，最后的答案只有一个，就是“中环杯124”。a b c d 6 e 中 环 杯 中 环 杯 12. 正四面体PQRS 的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有10个数。这10个数为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的 两个顶点上的数之和。棱PQ上的数为9，则棱RS上的数为________. S ? R P 9 Q 【答案】5 【解答】设六条棱上的数之和为S 、四个顶点上的数之和为S ，容易发现S 3S 棱 顶 棱 顶 （每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了 三次）。考虑到S S 1234567891156，从而推出S 14，可能 棱 顶 顶 的情况有：1238、1247、1256、1346，接下来开始排除： （1）由于PQ9，所以1256排除了（没有两个数之和为9） （2）对于1238来说，由于123，所以一条棱上的数应该为3，但是某个顶 点上的数也是3，矛盾。同样可以将1346排除 最后，剩下的只有一组选择：1247，从而得到下图，所以答案为51 ? 4 2 9 7 三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10分，共 20 分）： 13. 5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正 方形的边长为24厘米。求：单个长方形的面积。 【答案】32 3x24 x8 【解答】假设长方形的长为x、宽为y，则  ，所以长方形的面积 2x2y24 y4 为32cm2 14. D老师将写有1、2、、13这 13个数字的牌按从小到大的顺序顺时针放在一个圆周 上，开始的时候所有牌都是牌面朝上，每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下（一旦变 成牌面朝下，这张牌就不能翻动了）。D老师翻牌的规则为：若一张牌面朝上的牌上 数字为A，并且与这张牌相隔2张的牌也是牌面朝上的，那么D老师就可以翻动写有 数字A的这张牌。比如：只要写有数字 9或者 2的牌是牌面朝上，那么D老师就可以 翻动写有数字12的牌（当然，前提是写有数字 12的牌还是牌面朝上的）。最后，只 要D老师将12张牌翻成牌面朝下，那么就算D老师成功了。为了获得成功，D老师 有多少种不同的翻牌顺序？ 【答案】26624【解答】首先，我们将所有含数字的牌调整一下顺序，得到下图，从而将题目转化 为：若相邻的牌中有牌面朝上的，那么D老师就可以翻动当前的牌 1 11 4 8 7 5 10 2 13 12 3 9 6 接下来我们会发现，若两次选牌的过程中发生跳跃，那么最后必然会导致至少 2张 牌无法翻面。如下图所示，若第一次翻 4号牌，第二次翻 12号牌。这样将剩下的 牌分成了两段，每段中最后都至少会留下一张牌无法翻面，从而无法满足题目的要 求。 1 11 4 8 7 5 10 2 13 12 3 9 6 至此，我们知道，第一张牌有 13个选择，一旦第一张牌选定后，接下来被翻面的 牌都是这张牌相邻的牌。每次选择都有两种：顺时针相邻还是逆时针相邻。只要进 行11次选择，最后肯定留下一张牌，所以一共有13211 26624种不同的翻牌顺序