文档内容
2024 年高考第二次模拟考试
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.设集合A= { x y=ln(x−3)} ,B={ x x≤−1 } ，则A ( B ) =（ ）
R
A． { x −1< x≤3 } B． { x x>−1 } C．{ x x≤−1,或x>3} D． { x x>3 }
z
2.已知复数z=a+bi（a∈R，b∈R且ab），且z2为纯虚数，则 =（ ）
z
A．1 B．−1 C．i D．−i
3.已知向量a =(−2,4 ) ，b =( 1,t )，若a 与b 共线，则向量a +b 在向量 j =( 0,1 ) 上的投影向量为（ ）
A． j B． −j C． 2j D． −2j
1
4. “ab>1”是“b> >0”（ ）
a
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、
乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ）
A．60 B．114 C．278 D．336
6.已知 D：x2 + y2 −2ax−2a−1=0，点P
(−3,0 )
，若 D上总存在M ，N 两点使得PMN 为等
边三角形，则a的取值范围是（ ）
5 5
A． − ,−1 ∪(−1,+∞) B． −∞,− ∪[ 1,+∞)
3 3C．
(−∞,−2 ]∪[ 1,+∞)
D．
[−2,−1 )(−1,+∞)
7.已知∆ABC中，∠BAC =60°，AB =2，Q是边BC上的动点．若PA⊥平面ABC，PA= 2 ，且PQ
6
与面ABC所成角的正弦值的最大值为 ，则三棱锥P−ABC 的外接球的表面积为（ ）
3
A． 4π B． 6π C． 8π D． 9π
8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互
相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四
x2 y2
边均与椭圆M : + =1相切，则下列说法错误的是（ ）
6 4
3
A．椭圆M 的离心率为 B．椭圆M 的蒙日圆方程为x2+y2 =10
3
C．若G为正方形，则G的边长为2 5 D．长方形G的面积的最大值为18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线C: y2 =6x的焦点为F，过点F的直线交C于M,N两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
5
A． MN 的最小值是6 B．若点P ,2，则 MF + MP 的最小值是4
2
1 1
C． + =3 D．若 MF ⋅ NF =18，则直线MN的斜率为±1
MF NF
x2 y2
10.已知双曲线E: − =1 ( a >0 )的左、右焦点别为F ，F ，过点F 的直线l与双曲线E的右支相
a2 2 1 2 2
交于P,Q两点，则（ ）
A． 若E的两条渐近线相互垂直，则a = 2
B． 若E的离心率为 3，则E的实轴长为1
C． 若∠FPF =90°，则 PF ⋅ PF =4
1 2 1 2
D． 当a变化时，FPQ周长的最小值为8 2
111.在棱长为2的正方体ABCD−ABCD 中，E,F分别是棱BC,CD的中点，则（ ）
1 1 1 1
A．BD与EF是异面直线
1 1
B．存在点P，使得AP=2PF，且BC //平面APB
1 1
2 2
C．AF与平面BEB所成角的余弦值为
1 1
3
4
D．点B 到平面AEF的距离为
1 1 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
n
2
12.若二项式 x+
的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为
x
13.若函数 f
(
x
)=ax+sinx
的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a是__________.
1 1
14. 若过点 ( 0,1 ) 的直线l自左往右交抛物线y = x2及圆x2 +( y−1 )2 = 于A,B,C,D四点，则
4 4
AB +3CD 的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列 { a } 的前n项和为S ，且对于任意的n∈N*都有3S =2a +1．
n n n n
{ }
（1）求数列 a 的通项公式；
n
{ } M +m { }
（2）记数列 a 的前n项中的最大值为M ，最小值为m ，令b = n n ，求数列 b 的前20项
n n n n 2 n
和T ．
20
16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的
灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，
该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更
换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条
灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在
安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；
（2）若满足P(X ≥n)≤0.6的n的最小值为n ，求n ；
0 0
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较n=n −1与n=n 哪
0 0
种方案更优.
17．（15分）如图,在三棱柱ABC−ABC 中,直线C B⊥平面ABC,平面AACC ⊥平面BBCC.
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证:AC ⊥ BB ;
13 10
(2)若AC = BC = BC =2,在棱AB 上是否存在一点P,使二面角P−BC−C 的余弦值为 ?若存
1 1 1 1
10
BP
在,求 1 的值;若不存在,请说明理由.
AB
1 1
18．（17分）已知函数 f(x)=lnx−x+a．
(1)若直线y=(e−1)x与函数 f(x)的图象相切，求实数a的值；
x
(2)若函数g(x)=xf(x)有两个极值点x和x，且x 1+ln( 1)．（e为自然对数的底数）．
1 2 1 2 2 1 x
2
19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书
中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P的距离之比
|MQ|
=λ(λ>0,λ≠1 ) ,λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已
|MP|
x2 y2
知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2 + y2 =4,定点分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的
a2 b2
1
右焦点F 与右顶点A,且椭圆C的离心率为e= .
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为k(k >0)的直线l与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方),点S,T是椭圆C上异于B,D的两点，SF平分∠BSD,TF 平分∠BTD.
|BF |
（1）求 的取值范围；
|DF |
81π
（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 SFT外接圆的面积为 ,求直线l的方程.
8
△
