文档内容
2024 届高三下学期开学摸底考
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．一组数据按从小到大排列为 ，若该组数据的第60百分位数是众数的 倍，则这组数据的
平均数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高 为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为 ，下列
选项描述正确的是（ ）
A． 的值等于1 B．C． 的值等于2 D．
5．在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若圆 上存在点 ，使得
，则正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故
事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务
必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
7．已知函数 在 上存在最值，且在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上一点， ，
，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设z， ， 是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
10．已知 ，则（ ）A． ，使得
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 的最大值为
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 值域为
B．函数 是增函数
C．不等式 的解集为
D．
12．在四棱锥 中， 平面 ， ， ，四棱锥 的外接球为
球O，则（ ）
A． ⊥ B．
C． D．点O不可能在平面 内
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合 ， ，则 .
14．已知向量 的夹角为 ， ，则 ， ．
15．已知 ，数列 为 ，规律是在 和 中间插入
项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列 ，则数列 的前30项和为 ．
16．若存在正实数 满足 ，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ．
(1)求 的值；(2)边 的垂直平分线交边 于点 ，若 ，求 的面积．
18．（12分）
设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求 ；
(2)证明： .
19．（12分）
如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， 为正三角形， ， 为 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知四棱锥 的体积为 ，求点 到平面 的距离.
20．（12分）
已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者 将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，
其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各
1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如
此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则
被分至乙队．
(1)求 三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为 ， ，设随机变量 ，求 ．
21．（12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线 的浙近线方程为 分别是双曲线 的
左､右顶点.
(1)求 的标准方程；
(2)设 是直线 上的动点，直线 分别与双曲线 交于不同于 的点 ，过点 作直线
的垂线，垂足为 ，求当 最大时点 的纵坐标.
22．（12分）
已知无穷数列 满足 ，其中 表示x，y中最大的
数， 表示x，y中最小的数.
(1)当 ， 时，写出 的所有可能值；
(2)若数列 中的项存在最大值，证明：0为数列 中的项；
(3)若 ，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 ？如果存在，写出一个
满足条件的M；如果不存在，说明理由.
