文档内容
2024 届高三第二学期期初学业质量监测
数学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ）
A．极差 B．众数 C．平均数 D．中位数
2．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．72
3．设a∈R．若函数 f(x)=(a−1)x为指数函数，且 f(2)> f(3)，则a的取值范围是（ ）
A．12b”是“sin A>sin2B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x2 y2
7．已知双曲线C: − =1(a >0,b>0)的左、右焦点分别为F,F ，点P在C的左支上，∠PFF =60°，
a2 b2 1 2 1 2
△PFF 的周长为6a，则C的离心率为（ ）
1 2
A．2 B． 3 C． 2 D． 5−1
a
8．已知正五边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，R+r = ，则θ=（ ）
2tanθ
A．9° B．18° C．27° D．36°
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分。
9．已知函数 f(x)=cos2x+2sinx，则（ ）
π
A． f(x)的最小正周期为2π B． f(x)关于直线x= 对称
2
π
C． f(x)关于点 ,0 中心对称 D． f(x)的最小值为−3
2
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C: y2 =4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点M，N在C
上，且FM +FA=2FN ，则（ ）
2 2
A．ON∥FM B．直线MN的斜率为±
3
17 AF⋅AM
C．|MN |= D． =2 2
2 | AM |
11．已知函数 f(x)及其导函数g(x的定义域均为R， f(2x+1)与g(2x−1)均为偶函数，则（ ）
9
A． f(−1)=0 B． f(x+8)= f(x) C．g(3)=0 D．∑g(k)=0
k=1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
{ ( ) ( ) }
12．设m∈R，i为虚数单位．若集合M = 1,2, m2 +3m−1 + m2 +5m−6 i ,N ={−1,3}，且M N ={3}，
则m=__________．
13．一个三棱锥形木料P−ABC ，其中△ABC是边长为2dm的等边三角形，PA⊥底面ABC，二面角
P−BC−A的大小为45°，则点A到平面PBC的距离为__________dm．若将木料削成以A为顶点的圆锥，
且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为_________dm3．
14．已知a，b，c为某三角形的三边长，其中aa+b−c恒成立，则M的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5小题、共 77分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。
15．（13分）
2
假定某同学每次投篮命中的概率为 ，
3
（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
（2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分布及
数学期望．
16、（15分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司己知函数 f(x)=alnx−x+1，其中a∈R．
（1）若曲线y = f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a；
（2）求函数 f(x)的单调区间．
17．（15分）
如图，己知三棱台ABC−ABC 的高为1，AB= AC =2,∠BAC =90°，O为BC的中点，AB = AC =1，
1 1 1 1 1 1 1
∠AAB=∠AAC，平面ABC ⊥平面ABC．
1 1 1
（1）求证：AO⊥平面ABC；
1
（2）求CC 与平面ABB A 所成角的大小．
1 1 1
18．（17分）
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a >b>0)的右焦点为F(3,0)，直线l:xsinθ+ ycosθ=b(0<θ<π)与C相交于
a2 b2
A，B两点．
（1）求直线l被圆O:x2 + y2 =a2所截的弦长；
π 24
（2）当θ= 时，| AB|= ．
2 5
（i）求C的方程；
（ii）证明：对任意的θ∈(0,π)，△ABF 的周长为定值．
19．（17分）
设集合A={−1,a ,a ,,a }，其中1=a
