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赣州市 2024 年高三年级适应性考试
数学试卷
2024年5月
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．在等差数列 中． ， 是方程 的两根，则 的前6项和为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
2．已知甲、乙两组数据分别为：22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24．若乙组数据的平均
数比甲组数据的平均数大2，则（ ）
A．甲、乙两组数据的极差不同 B．乙组数据的中位数为24
C．甲、乙两组数据的方差相同 D．甲组数据的第一四分位数为21.5
3．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1， ，则A＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线 ．圆 ，则（ ）
A．l过定点 B．l与C一定相交
C．若l平分C的周长，则m＝1 D．l被C截得的最短弦的长度为4
5．由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5
的0－1序列．在长度为8的0－1序列中．所有1互不相邻的序列个数为（ ）
A．20 B．54 C．55 D．280
6．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，M为C左支上一点．设
， ，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．已知球O内切于正四棱锥P－ABCD，PA＝AB＝2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的
点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司8．已知函数 ， ．若 ，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知i为虚数单位， ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则 的最大值为6
D．若 是关于x的方程 的一个根，则q＝8
10．已知函数 ，则（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则
B．当 的最小正周期为 ， 时，
C．当 时， 的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为
D．若 在区间 上有且仅有两个零点，则
11．函数 及其导函数 的定义域均为R， 和 都是奇函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 是周期函数 D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
学科网（北京）股份有限公司12．若集合 ， ，则 ______．
13．已知某正三棱柱外接球的体积为 ，则该正三棱柱体积的最大值为______．
14．已知 ，则 的最小值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
《中国诗词大会》是中央广播电视总台联合中华人民共和国教育部、国家语言文字工作委员会共同推出的
语言文化类节目，节目以诗词描绘中国精神，用诗意书写时代篇章，尽展中华民族历史之美、山河之美、
文化之美．随着《中国诗词大会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委组织了
校内诗词大会，赛前准备了两组题，第一组题中含有2道唐诗和3道宋词，第二组题中含有6道唐诗和4
道宋词．
（1）先等可能地抽取一组题，再从这组题中抽出2道题，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词，求这
两道题出自第一组题的概率；
（2）某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3道题，记X为抽到的是宋词的题数，求X的分布列及数学期
望．
16．（15分）．
如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，底面ABC为等边三角形．
（1）证明： 为等腰三角形；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的正弦值．
17．（15分）
已知数列 满足 ， ， ， 成等差数列．
（1）求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司（2）记 的前n项和为 ，证明： ．
18．（17分）
如图，曲线 是以原点O为中心， ， 为焦点的椭圆的一部分，曲线 是以O为顶点， 为焦点的
抛物线的一部分， 是 和 的交点，我们把 和 合成的曲线W称为“月蚀圆”．
（1）求 所在椭圆和 所在抛物线的标准方程；
（2）过 作与y轴不垂直的直线l，l与W依次交于B，C，D，E四点，P，Q为 所在抛物线的准线上
两点，M，N分别为CD，BE的中点．设 ， ， ， 分别表示 ， ， ，
的面积，求 ．
19．（17分）
给出以下三个材料：
①若函数 的导数为 ， 的导数叫做 的二阶导数，记作 ．类似地，二阶导数
的导数叫做 的三阶导数，记作 ，三阶导数 的导数叫做 的四阶导数…，
一般地，n－1阶导数的导数叫做 的n阶导数，即 ， ；
②若 ，定义 ；
③若函数 在包含 的某个开区间 上具有n阶的导数，那么对于 有
，我们将
学科网（北京）股份有限公司称为函数 在点 处的n阶泰勒展开式．例如， 在点 处的n阶泰勒展开式为
．根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）若 ， 在点 处的3阶泰勒展开式分别为 ， ，求出 ，
；
（2）比较（1）中 与 的大小；
（3）证明： ．
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数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A B B D A C ACD ACD BC
三、填空题
12． 13．27 14．
14．解：
当且仅当 ，即 ，即 时等号成立．
四、解答题
15．解：（1）记“抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词”为事件A，
“抽到第一组题”为事件 ，“抽到第二组题”为事件
则 ， ，
由贝叶斯公式知，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词且这两道题出自第一组题的概率为
（2）由题意得，抽取的3道题中有1道来自第一题组，2道来自第二题组，
X的可能值为0，1，2，3
学科网（北京）股份有限公司所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以
16．解：（1）设BC， 的中点分别为O，M，连接OM，AO， ，
由于侧面 为正方形，所以 ，
∵ ，∴
由于底面ABC为等边三角形，所以
又 ， ，
所以
由于 ， ，故四边形 为平行四边形，
又 ，故
由于O是BC中点，所以 ，则 为等腰三角形
（2）不妨设AB＝2，则 ，CO＝BO＝1，
又 ，且 ，则
学科网（北京）股份有限公司则 ，从而 ，而 ， ，
则 ，OA，OB两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 取 ，则
由于平面 的一个法向量为 ，
故
设所求角为 ， ， ，
故平面 与平面 的夹角的正弦值为
17．证明：（1）由于 ， ， 成等差数列，所以
即 ，可得
学科网（北京）股份有限公司所以数列 表示是以 为首相，3为公比的等比数列
所以 ，即
（2）因为
所以
由于 ，且
所以
（当n＝1时等号成立）
故
18．解：（1）由题知，设椭圆的标准方程为 ，
抛物线的标准方程为
由于曲线经过 ，所以 ，解得p＝4
所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，
解得 ， ，所以
（2）由题意可知直线l的斜率必存在且不为0，
设 ， ， ， ，
联立 可得
可得
联立 可得 ，可得
记 ， ， ， 的高分别为 ， ， ， ，
由于 ， ，
所以
19．解：（1）∵ ， ，
∴ ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴
同理可得：
（2）由（1）知： ， ，
令 ，则 ，
∴ ，∴ 在R上单调递增
又 ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，即
故
（3）令 ，则
由（2）知， ，所以 在R上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ，
∴ 在点 处的4阶泰勒展开式为： ，
∴ ，当且仅当x＝0时取等号
①当 时， ，当且仅当x＝0时取等号，
学科网（北京）股份有限公司所以
②当 时，设 ， ，
， ，
若 ，由于 ，所以，
，
，从而
若 ， ，
所以， 时， 单调递减，从而 ，即 ．
综上： ．
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