文档内容
驻马店市 2023-2024 学年度高三年级期末统一考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设复数 ，则
A. B. C. D.
2.设集合 ， ，则
A. B.
C. D.
3.已知函数 的定义域为 ，则 的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.5
4.如图，这是某厂生产的一批不倒肦型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，且圆锥的体积恰好等
于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为
A. B. C. D.
5.设圆 ： 和圆 ： 交于 ， 两点，则四边形 的面积为
学科网（北京）股份有限公司A. B.4 C.6 D.
6.已知 ，则
A. B. C. D.
7.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每
本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为
A.78 B.92 C.100 D.122
8.已知 为坐标原点，抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，若
，则
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩
（单位：分）近似服从正态分布 ， ， ，则下列说法正确的是
A.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在 内的概率为0.2
B.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在 内的概率为0.4
C.若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25
D. 越大， 的值越小
10.将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得的图象关于 轴对称，得到函数 的
图象，则下列结论正确的是
A. 的图象关于点 对称 B. 在 上的值域为
C. 为偶函数 D. 在 上单调递增
学科网（北京）股份有限公司11. 已 知 函 数 存 在 个 不 同 的 正 数 ， ， 使 得
，则下列说法正确的是
A. 的最大值为5 B. 的最大值为4
C. 的最大值为 D. 的最大值为
12.在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 为 上一点，
球 为三棱锥 的外接球，则下列说法正确的是
A.球 的表面积为
B.点 到平面 的距离为
C.若 ，则
D.过点 作球 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知正项等比数列 的前3项和为26，且数列 的前3项和为 ，则 ______.
14.若函数 有最小值，则 的取值范围是______.
15.已知 是边长为3的等边三角形， 为 上一点， 为 的中心， 为 内一点
（包括边界），且 ，则 的最大值为______.
16.探究函数 的图象和性质时发现它的图象实际上是双曲线，将函数 的图象绕原点顺时针
旋转得到焦点在 轴上的双曲线 ， 是双曲线 上一点，则 ______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
学科网（北京）股份有限公司在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， .
（1）求 的面积；
（2）求 边上的高的最大值.
18.（12分）
已知数列 的前 项和为 ， 且满足 .
（1）令 ，求数列 的通项公式；
（2）求 .
19.（12分）
如图，在斜三棱柱 中，平面 平面 ， ，四边形 是边长为2的菱
形， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明： .
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（12分）
一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷 次，落
于水平的桌面，记 次底面的数字之和为 .
（1）当 时，记 为 被3整除的余数，求 的分布列与期望；
（2）求 能被3整除的概率 .
21.（12分）
动点 到定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，点 的轨迹为 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求 的方程，并说明 是什么曲线；
（2）过点 作不与坐标轴垂直的直线 交 于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若
，求 的方程.
22.（12分）
已知函数 有两个零点.
（1）求 的取值范围；
（2）设 ， 是 的两个零点， ，证明： .
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数学参考答案
1.B ，则 .
2.A 依题得 ，则 .
3.C 由题可知 ，且 ，即 ，所以 ，当且仅当 ， 时，等
号成立，则 的最小值为4.
4.C 几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线长为 ，则球的半径也为 .因为圆锥
的体积恰好等于半球的体积，所以 ，得 .故 .设圆锥的轴截
面的顶角为 ，则 .
5.B 由题意可知 ， ，直线 的方程为 ，易知四边形 为菱形，所
以 到 直 线 的 距 离 ， 所 以 ， 故
.
6.A
学科网（北京）股份有限公司.
7.C 若 将 体 育 书 分 给 甲 ， 当 剩 余 4 本 书 恰 好 分 给 乙 、 丙 时 ， 此 时 的 分 配 方 法 有
种，当剩余 4 本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有
种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是 .
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是 .
8.D 不妨设点 在第一象限，直线 的倾斜角为 ，所以 ，则 ，同理可
得 . 因 为 ， 所 以 ， 即 ， ， 所 以
.
在 中， .
9.ABC ，
，故A，B正确.无论 为何值， ，若从高三男生中
随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为 ，故C正确，D错误.
10.BCD 由题得， ，
令 ，则 ， ，故A错误；
当 时， ， ，故B正确；
为偶函数，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 在 上单调递增，故D正确.
11.BD 的 几 何 意 义 为 过 点 ， 的 直 线 的 斜 率 . 易 知 直 线 与
的图象最多只有4个交点，故 的最大值为4.当直线 与曲线 相切
时， 取得最大值，设切点为 ，则该直线的斜率为 ，又 ，所以 ，
解得 ，得 ，所以 .
12.BCD 由 ， ，可将三棱锥 补形成如图所示的长方体，
则 ， ，所以球 的半径为 ，所以球 的
表面积为 ，故A错误.易知 平面 ，过点 作 的垂线，交 于 ，故 为点 到
平面 的距离.在 中， ， ，解得 ，故B正确.以 为原点，
， ， 所 在 直 线 分 别 为 ， ， 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
， ， ， ，
. 设 ， 所 以
. 因 为 ， 所 以
，解得 ，所以 ，故C正确.当且仅当 与截面
垂直时，截面面积最小，最小的半径为2，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司13.6 由题可知 ， ，则 ，解
得 .
14. 函数 在 上的值域为 ， 在 上的值域为
，则 ，即 ，所以 的取值范围是 .
15.3 因为 ， ， 三点共线，所以 ，解得 ，即 为 上靠近点 的三等分点.利用向
量 的 投 影 定 义 ， 可 知 当 位 于 点 时 ， 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为
.
16.2 设双曲线 的方程为 ，函数 的两条渐近线方程为 和 ，
其 夹 角 为 ， 故 ， 解 得 ， 则 ， 且
，所以 和 的角平分线的方程为 .联立 解
得 ， 所 以 ，
学科网（北京）股份有限公司， 所 以 双 曲 线 的 方 程 为 ， 故
.
17.解：（1）由 及正弦定理，
得 ，
则 ，即 ，
所以 的面积 .
（2）由余弦定理可知 .
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
设 为 边上的高，所以 ，即 ，
所以 边上的高的最大值为 .
18.（1）由题可知 ，
所以 ，
即 ，所以数列 是等差数列，
则
（2）
19.（1）证明：如图，连接 .
因为四边形 是边长为2的菱形， ，
所以 为等边三角形，则 .
学科网（北京）股份有限公司又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
（2）解：如图，过 作 的平行线为 轴，结合（1）知 轴， ， 两两垂直.故可建立如图所示的
空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 得
取 ，得 ，则 .
因为 为 的中点，所以 .
又 .所以 .
学科网（北京）股份有限公司则 .
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20.解：（1）由题可知， 的取值可能为0，1，2.
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2
.
（2）由题可知 ，当 时， 次底面的数字之和能被3整除的概率为 ，
所以 ，
则 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
即 .
学科网（北京）股份有限公司21.解：（1）由题意得 ，
化简得 ，即 .
故曲线 是焦点在 轴上的椭圆。
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
则 ，
所以 ， .
（也可以根据题目条件得出 ， ）
联立方程组 整理得 ，
则 ，所以 ，
所以线段 的中点为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 .
令 ，可得 ，即 .
因为 ，
由 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
所以 的方程为 .
22.（1）解：由 且 ，可得 .
设 ， ，则 ，
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
又当 趋向于0时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋向于0，
所以要使 的图象与直线 有两个交点，则 ，
故 的取值范围是 .
（2）证明： ，由（1）得 ，
则 ， .
设 ，则 ，
即 ，
.
设 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
又 ， ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，
所以 的最小值为 ， ，
所以 ，故 .
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