浙江卷浙江省2023学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考)(5.15-5.17)数学试卷答案_2024年5月_01按日期_21号_2024届浙江省第二学期浙江精诚联盟适应性联考

2023 学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考 高三数学学科 参考答案及解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．A 解析： 高三数学 参考答案及解析 第1页 共7页 B = R  A B = R ，故选A． 2．B 解析： T r + 1 = C r3 ( x 2 ) 3 − r  − 1 2 x  r 为常数项，则 r = 2 ，所以 T 3 = C 23 1 4 = 3 4 ， 故选B． 3．D 解析：设 z = a + b i ， a , b  R ，则 a = − 2 ， b = 1 ．  z = − 2 + i , z = − 2 − i ，所以 z  z = 5 ， 故选D． 4．C 解析：若残留量不足初始量的50%，则 y 0  e t2 ln 0 .8  0 .5 y 0 ， ( 0 . 8 ) t2  0 . 5 ，两边取常用对数 t 2 l g 0 . 8  l g 0 . 5 ， t  − 3 l 2 g l 2 g − 2 1  6 .2 ，所以至少需要7年．故选C． 5．C 解析：当 n  2 0 2 3 时， S n = S 4 0 4 7 − n  0 = a n + 1 + a n + 2 + ... + a 4 0 4 7 − n = a n + 1 + 2 a 4 0 4 7 -n ( 4 0 4 7 − 2 n ) ，得 a 2 0 2 4 = 0 ；当 n  2 0 2 3 时， S n = S 4 0 4 7 − n  0 = a 4 0 4 8 − n + a 4 0 4 6 − n + ... + a n = a n + a 2 4 0 4 8 -n ( 4 0 4 7 − 2 n ) ，得 a 2 0 2 4 = 0 ，易得“ a 2 0 2 4 = 0 ”是“ S n = S 4 0 4 7 − n ( n  4 0 4 7 , n  N  ) ”的充要条件，故选C． 6．A 解析： c o s 2 π 3 c o s 2 π 6 1 2 c o s π 6 c o s π 2 1 4     +   −  =   +  +  = ， c o s π 6 1 2    +  =  π  π 1 ，cos  2+  =2cos2  +  −1=− ，故选A．  3  6 2 1 1 1 7．A 解析：集合A中的函数为奇函数的有y = x+ ，y = x− ，y = −x，而有单调递减区 x x x 间的函数有 y = x + 1 x 和 y = 1 x − x ，所以概率为 2 3 ，故选A． 8．A 解析：设 F A =t，由 2 S △ C O F 2 = 2 S △ A F F1 2 易得 FC =4t = FC ， 又 2 1 a FC ⊥FA, AC =5t，FA =3t，又 AF + AF =2a=4t，t = ，在△CFO中， 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 c AF + FF − AF cosCFO= ．在△AF F中，cosAF F = 2 1 2 1 ， 2 2a 2 1 2 1 2 F A FF 2 1 2 {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}高三数学 参考答案及解析 第2页 共7页 c o s  A F 2 F 1 + c o s  C F 2 O = 0 10 ．解得e= ，故选A． 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．AD 解析：对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确； 对于B选项，取 a = − 2 , b = 1 ，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误； 对于C选项，新数据的方差为 s  2 = 1 1 0  ( 2 + a − 8 ) 2 + ( 3 − 8 ) 2 + ( 1 3 − 8 ) 2 + ( 8 − 8 ) 2   1 9  ( 2 + a − 8 ) 2 + ( 3 − 8 ) 2 + ( 1 3 − 8 ) 2  = s 2 ，错误； 对于D选项，因为 3  8  1 3 ，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．故选AD ………………………按0，3，6分给分 10．ABD 解析：对于A选项，由平面与平面垂直的性质定理可知，A正确； 对于B选项，在内作a的垂线，则此垂线必垂直于，自然也就垂直内的已知直线.这种垂线可 以作无数条，所以B正确；  对于C选项，b与所成的角为 ，但 6 b 与的位置关系不确定，特殊情况下可以是 b //，所以 C错误；对于D选项，由最小角定理可知，D正确．故选ABD． ………………………按0，2，4，6分给分 11．ABD 解析：取 n = 2 ，ABD正确，C显然错误． 对于不等式 ln x x − 1 ，当且仅当 x = 1 时，等号成立， 1 对于A选项，令x=1+ (n 2)，所以 n ln  1 + 1 n   1 + 1 n − 1 = 1 n ， 故 ln  1 + 1 1  + ln  1 + 1 2  + + ln  1 + n 1 − 1   1 + 1 2 + + n 1 − 1 ， 其中 ln  1 + 1 1  + ln  1 + 1 2  + + ln  1 + n 1 − 1  = ln 2 − ln 1 + ln 3 − ln 2 + + ln ( n ) − ln ( n − 1 ) 1 1 1 =ln(n)−ln1=ln(n)，所以ln(n)1+ + + + ，A正确； 2 3 n−1 对于B选项，将x替换为 1 − x ，可得ln(1−x) 1−x−1=−x，当且仅当x=0时等号成立.令 x = 1 n  0 ，  1 1 1 可得ln1− − ，所以lnn−ln(n−1) ，  n n n 1 1 1 故ln2−ln1+ln3−ln2+ +ln2n−ln(2n−1) + + + ， 2 3 2n {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}得 高三数学 参考答案及解析 第3页 共7页 ln ( 2 n )  1 2 + 1 3 + + 1 2 n ，所以 ln ( n )  1 2 + 1 3 − ln 2 + 1 4 + + 1 2 n  1 4 + + 1 2 n ，所以B正确; 1 n 2 n n n e 对于D选项，等价于证明   +  + +   ，将 n n n e−1 ln x x − 1 中的x替换为 i n ，其中 i  N * ， n  N * i i ，则 ln −1，则 n n n ln i n i − n ，故  i n  n e i− n ，当且仅当 i = n 时，等号成立，则  1 n  n +  2 n  n + +  n n  n  e 1− n + e 2 − n + + e n − n = e 1− ( n 1 1 − − e e n ) = e − e e − 1− 1 n  e e − 1 ，D正确．故选ABD． ………………………按0，2，4，6分给分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 1 6 2 解析：由P(60 X 100)= ， 3 X 服从正态分布 N ( 8 0 , 2 )  ，故 P ( X  6 0 ) = 1 2 (1 − 2 3 ) = 1 6 . 13．4051 解析：因为函数 y = f ( x + 2 ) − 1 为定义在 R 上的奇函数，所以函数 f ( x ) 关于 ( 2 , 1 ) 中 心对称， 4051 i=1 f ( i − 2 0 2 4 ) = [ f ( − 2 0 2 3 ) + f ( 2 0 2 7 ) ] + [ f ( − 2 0 2 2 ) + f ( 2 0 2 6 ) ] + … + [ f (1 ) + f ( 3 ) ] + f ( 2 ) = 2 0 2 5  2 + 1 = 4 0 5 1 ． 14．25 解析：设△ABC的外接圆圆心为O，取弦 E F 的中点 H ，则 P E  P F = P H 2 − 1 6 ， 因为 P E  P F 的最大值为 48，所以 P H m a x = 8 .由圆的相关知识可知，当 P 、 H 、 O 三点共线时 P H 最大.在 △ O H E 中， r 2 = ( 8 − r ) 2 + 1 6 ，所以圆的半径为 5，所以△ABC的面积的最大值为 25． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）易知 f(x)定义域为R， f ( x ) = 2 − e x x ，---------------------2分 所以 x  ( −  , 2 ) , f ( x )  0 , x  ( 2 , +  ) , f ( x )  0 . ---------------------4分 故 f(x)单调增区间：(−,2)，单调减区间：(2,+).-----------------6分 （2）因为 f(0)=2，f(0)=0，--------------------8分 所以曲线 y = f ( x ) 在点(0,0)处的切线为y=2x--------------------9分 把切线方程y=2x代入二次曲线方程y=ax2 +（2a+5）x−2，得ax2 +（2a+3）x−2=0有唯一解， 即=0且a0，即4a2 +20a−9=0---------------------12分 {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}1 9 解得a=− 或− --------------------13分 2 2 16.（1）作 高三数学 参考答案及解析 第4页 共7页 A 1 B 1 的中点D，连接DF，DA，连接 A 1 E ， A 1 B ， E B ， 因为点D，F分别为 A 1 B 1 ，BC 的中点， 1 1 所以 D F / / A 1 C 1 ，且 D F = 1 2 A 1 C 1 ， 又由三棱柱的定义，结合点E为AC的中点可知： D F / / A E ，且 D F = A E ， 所以四边形 D F E A 是平行四边形，所以 E F / / A D ，…………………………2分 又 E F  平面 A B B 1 A 1 ， A D 平面 A B B 1 A 1 ，所以 E F / / 平面 A B B 1 A 1 ,…………………………3分 所以当 P 是线段EF 的中点时，点 P 到平面ABB A 的距离等于点 E 到 1 1 平面 A B B 1 A 1 的距离；…………………………4分 因为  A 1 A C = π 3 ， A E = 1 2 A C = 1 2 A A 1 = 1 ，所以 A 1 E ⊥ A C ，…………………………5分 由平面 A C C 1 A 1 ⊥ 平面 A B C ，且平面 A C C 1 A 1 平面 A B C = A C ， 因为 A 1 E  平面 A C C 1 A 1 ，所以 A 1 E ⊥ 平面ABC，…………………………6分 又 B E  平面 A B C ，所以 A 1 E ⊥ B E ，所以AE是三棱锥A −ABE的高， 1 1 1 1 3 1 所以V = S AE =   3 = ， A 1 −ABE 3 △ABE 1 3 2 2 又 A 1 B = A 1 E 2 + B E 2 = 6 z A 1 C 1 D B 1 F E A C y B x 2 1 1  15 ，S = AB AB2 − AB = ，   A 1 BA 2 1 2 1  2 1 15 设点E到平面ABA的距离为d，则V =V = S d ，解得d = ． 1 A 1 −ABE E−A 1 BA 3 A 1 BA 5 {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}即点P到平面 高三数学 参考答案及解析 第5页 共7页 A B B 1 A 1 的距离为 1 5 5 .…………………………8分 （2）以 E B 为 x 轴， E C 为 y 轴， E A 1 为 z 轴建立空间直角坐标系， E ( 0 , 0 , 0 ) ， B ( 3 , 0 , 0 ) ， B 1 ( 3 , 1 , 3 ) ， C 1 ( 0 , 2 , 3 ) ，C(0,1,0)， 3 3 所以F( , , 3)，BC =(− 3,1,0)， 2 2 C C 1 = ( 0 , 1 , 3 ) ， E F = ( 2 3 , 3 2 , 3 ) ， 设 E P E F ( 0 1 )   = ，则 P C ( 2 3 , 1 3 2 , 3 )    = − − − ，…………………………10分 设平面 P C C 1 的一个法向量 n 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ， 则有  n n 1 1  P  C C C 1 = = 0 0 ，所以 n 1 ( 2 1 , 3 , 1 )  = − − ，…………………………11分 设平面 B B 1 C 1 C 的一个法向量 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， 则有  n n 2 2  B  C C C 1 = = 0 0 ，所以n =(1, 3,−1)，…………………………12分 2 所以 c o s n 1 , n 2 n n 1 1 n 2 n 2 ( 2 2 1 ) 1 2 3 3 1 1 5 9 1 1 4 4 5 5     =   = − − + + + +  = ， 1 解得= 或 3 1 3 3  = （舍去）. …………………………14分 所以 E P = 1 3 E F = 1 3 3 4 + 9 4 + 3 = 3 6 6 .即EP的长为 .…………………………15分 3 1+d =q 17．解析：（1）设公比为q,公差为d,则 ……………3分 3q2 =4(1+2d)  2 q= q=2   3 解得 或 (舍去)……………5分 d =1 d =− 1  3 所以a =2n−1,b =n……………7分 n n {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}（2） 高三数学 参考答案及解析 第6页 共7页 T = 1 n  2 2 T 0 n + = 2 1   2 2 1 1 + + 2 3 2  2 2  2 + + .... + .... + n ( n  2 − n − 1 ) 1  2 n + n  2 n ……………8分 所以 T n = − ( 2 0 + 2 1 + 2 2 + .... + 2 n − 1 ) + n  2 n = ( n − 1 )  2 n + 1 ……………10分 故 b n T  nb n + 1 = ( n − n ( 1 n ) 2 + n 1 + ) 1 = ( n n ( − n 1 + ) 2 1 n ) + n ( n 1 + 1 ) (n−1)2n 2n+1 2n 1 1 1 得 = - ， = − …13分（一个裂项正确得2分，两个正确得3分） n(n+1) n+1 n n(n+1) n n+1 所以 P n = 2 n n + + 1 1 − 1 − n 1 + 1  2 n n + + 1 1 − 1 ．…………15分 18．解析：（1） 实轴长为 4  2 a = 4 即 a = 2 ，又 右 焦 点 到 渐 近 线 距 离 为 1 ，∴ b = 1 ，…………3分 故双曲线  的标准方程为  : x 4 2 − y 2 = 1 ．…………5分 (2) (i) 设 P ( x 0 , y 0 ) ， 切 线 l ： y−y =k(x−x ) ， 则 1 0 0 x 20 − 4 y 20 = 4 ，联立 x2  − y2 =1  4 化 简 得 ：  y− y =k(x−x )  0 0  1 4 − k 2  x 2 − 2 k ( y 0 − k x 0 ) x − ( y 0 − k x 0 ) 2 − 1 = 0 …………7分 由  = 0 , 解得： k = 4 x 0 y 0 ，所以直线PT： y − y 0 = 4 x 0 y 0 ( x − x 0 ) ，令 y = 0 ，得： T ( 4 x 0 , 0 ) ，…………8分 4 4 故 TF = + 5，TF =− + 5…………9分 1 x 2 x 0 0 5 5 因 为 PF = (x + 5)2+ y2 = x 2+ 5x +4 =2+ x ， 所 以 1 0 0 4 0 0 2 0 5 PF = PF −4= x −2，…………10分 2 1 2 0 {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}PF TF 所以 PF TF = TF  PF ，即 1 = 1 ，故射线PT是 1 2 1 2 PF TF 2 2 高三数学 参考答案及解析 第7页 共7页  F 1 P F 2 的角平分线………12分 (ii) 过 F 2 作 F 2 E ⊥ l1 ，且 F 2 E P F 1 = E . 又 l1 为  F 1 P F 2 的角平分线，所以 P F 2 = P E FE = PF − PE = PF − PF =4， 1 1 1 2 ∵OQ⊥l ,F E ⊥l 1 2 1  O Q / / F 2 E ，又∵ O 为 F 1 F 2 中点． 则 O Q 是 △ F 1 F 2 E 的 中 位 线 ， 故 Q 是 F 1 E 的 中 点 .  F 1 Q = 2 ，……14分 记 P F 1 F 2   = ， s i n ( 0 , 5 5 )   1 ，则S = FQ  FF sin=2 5sin(0,2)……17分 △QF 1 F 2 2 1 1 2 19．解：（1）甲选手得分 X 的取值可为0,1,2,3，………………1分 P ( X = 0 ) = 1 3  2 3  5 6 = 5 2 7 ， P ( X = 1 ) = 2 3  1 3  2 3 + 1 3  1 3  2 3 + 1 3  2 3  1 6 = 7 2 7 ， P ( X = 2 ) = 2 3  2 3  1 3 + 2 3  1 3  1 3 + 1 3  1 3  1 3 = 7 2 7 ， P ( X = 3 ) = 2 3  2 3  2 3 = 8 2 7 ， ………………………4分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ( X ) 5 2 7 7 7 8 27 27 27 ………………………5分 X 5 7 7 8 5 的数学期望是E(X)=0 +1 +2 +3 = .………………7分 27 27 27 27 3 0,x0  5  ,0 x1 27  4 （2）（i）X的分布函数为F(x)= ,1 x2 ；…………………………10分 9  19 ,2 x3  27   1,x 3 {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}（ii）设随机变量Y的分布函数为 高三数学 参考答案及解析 第8页 共7页 G ( x ) ， 若x0，此时G(x)=0；………………………11分 若 0 x 2 ，由题意设 P ( 0 Y x ) = k x 2 ， 当 x = 2 时，有 P ( 0 Y 2 ) = k  2 2 = 4 k ，又因为 P ( 0 Y 2 ) = 1 ， 1 x2 所以k = ，即P(0 Y x)= ， 4 4 所以 G ( x ) = P ( Y x ) = P ( Y  0 ) + P ( 0 Y x ) = x 4 2 ；………………………15分 若 x 2 ，此时G(x)=P(Y x)=1，………………………16分 综上所述， G ( x ) =  0 , x 2 x 4 1 , x ,  0 2 0 x  2 .…………………………17分 {#{QQABCYiAogCgAJAAABgCQwEyCkCQkBACAIoOxEAIMAAAyQFABAA=}#}