2024-2025 学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
π
1.经过点P(1,2)且倾斜角为 的直线方程是( )
2
A. x=1 B. x=2 C. y=1 D. y=2
2.在空间直角坐标系中，已知⃗ ，⃗ ，则 ⃗ ⃗ ( )
a=(−2,2,1) b=(2,0,−1) 2a−b=
A. (−2,4,1) B. (6,4,−3) C. (−6,4,3) D. (2,4,−1)
3.已知等差数列{a }的前n项和为S ，a =3，a +a =12，则S =( )
n n 1 2 3 5
A. 9 B. 15 C. 24 D. 35
4.抛物线x2=4 y的准线方程为( )
A. y=−2 B. y=−1 C. x=−2 D. x=−1
x2
5.已知椭圆C: + y2=1的左、右焦点分别为F ，F ，P为C上一点，满足PF ⊥PF ，则
4 1 2 1 2
|PF ||PF |=
( )
1 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知二面角α−l−β的大小为60∘，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面
内，并且线段AC与BD都垂直于l.若AB=5，AC=3，BD=6，则CD的长为( )
A. 2√13 B. 2√17 C. 2√21 D. 2√22
7.已知 ， 为圆 上的两个动点，且 ，若直线 上存在点 ，且
A B C:(x−m) 2+ y2=4 |AB|=2√3 y=2x−m P
P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是( )
A. [−2,2] B. [−√5,√5] C. [−2√3,2√3] D. [−2√5,2√5]
{a,a≥b,
8.定义max{a,b}= 若数列{a }的前n项和S =λn2+(10+λ)n(λ≠0,n∈N∗)，数列{b }满足
b,a<b. n n n
， ，令 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是( )
b =1 2n (b −b )=b b c =max{a ,b } c ≥c λ
1 n+1 n n n+1 n n n n 3
1 3 1 2 1 2
A. [−3,− ] B. [− ,− ] C. [− ,− ] D. [−3,− ]
2 2 3 3 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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1 1A. 圆x2+ y2+4x+4 y=0的半径为2√2
x2 y2 1
B. 椭圆 + =1的离心率为
4 3 2
x2 y2
C. 双曲线 − =1的实轴长为2
4 3
1
D. 抛物线y2=x的焦点坐标为( ,0)
4
10.等比数列{a }的公比为q，且满足a >1，a a >1，(a −1)(a −1)<0.记T =a a a ⋯a ，则
n 1 100 101 100 101 n 1 2 3 n
下列结论正确的是( )
A. 0<q<1 B. a a −1>0
100 102
C. T ≥T D. 使T <1成立的最小自然数n等于201
n 100 n
11.四棱锥 P−ABCD 的底面为正方形， PD⊥ 底面 ABCD ， PD=1 ， AD=√2 ，
P
⃗
M=λC
⃗
B
，
P
⃗
N=λA
⃗
B
，
其中λ≠0，下列说法正确的是( )
π
A. 存在实数λ，使得异面直线BP与MN的所成角为
3
1
B. 三棱锥B−MCD的体积为
3
√15
C. 直线PB与平面MCD所成角的正弦值的最大值为
5
π
D. 二面角B−MN−D的最大值为
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知平面 的法向量为⃗ ，平面 的法向量为⃗ ，若
α a=(4,2,−2k) β b=(k−3,−1,1)
α//β，则实数k的值为 ．
13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，
经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”
等).如取正整数m=8，根据上述运算法则得出8→4→2→1，共需经过3个步骤变成1(简称为3步“雹
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2 1程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{a }满足：a =m(m为正整数)，
n 1
{ a
a = 2
n,当a
n
为偶数时,
当 m=20 时，使得 a =1 需要 步雹程．
n+1 n
3a +1,当a 为奇数时,
n n
14.已知抛物线 ，点 在 上， 为常数， 按照如下方式依次构造点
C:y2=2px(p>0) P (1,−2) C k k>0. Q
1 n−1
和P (n=2,3,⋯):过点P 作斜率为k的直线与C的另一交点为Q ，过点Q 作斜率为−k的直线与C
n n−1 n−1 n−1
的另一交点为P ，记P 的坐标为(x ,y )，Q 的坐标为(a ,b )，直线P P 的斜率为k ，则k b =
n n n n n n n n n+1 n 2025 2025
．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ．
C M(3,1) C :x2+ y2−2x−8 y+12=0 N(3,3)
1 2
(1)求直线C N的方程;
2
(2)求圆C 的标准方程．
1
16.(本小题12分)
π
如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，∠BAC= ，AB=AC=2，BB =3，E为AB的中点，点F满足
1 1 1 2 1
⃗ ⃗
CF=λCC ，其中λ∈(0,1)．
1
(1)若EF//平面A BC ，求λ的值;
1 1
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3 11
(2)当λ= 时，求平面A BC 与平面AEF夹角的余弦值．
3 1 1
17.(本小题12分)
已知双曲线 x2 y2 的渐近线方程为 √2 ，点 在双曲线 上．
C: − =1(a>0,b>0) y=± x P(2,1) C
a2 b2 2
(1)求C的方程;
(2)过点M(−1,0)的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，是否存
1 2
在常数λ，使得k +k =λk k 恒成立?若存在，求λ的值;若不存在，请说明理由．
1 2 1 2
18.(本小题12分)
已知 为等差数列， ， ，记
{a } a =6 a =15 b =a (n∈N∗).
n 2 5 n 3n
(1)求数列{a }，{b }的通项公式;
n n
(2)在b 与b 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，
n n+1 n
1
(ⅰ)求数列{ }的前n项和T ;
d n
n
(ⅱ)在数列{d }中是否存在3项d ，d ，d (其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的3
n m k p
项;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
造型 可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于−1，到点
F(1,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为1．
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4 1(1)求a的值;
−1
(2)当点(x ,y )在C上时，求证：y ≥ ;
0 0 0 x +1
0
(3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于A(x ,y )，B(x ,y )，A (x ,y )，B (x ,y )，
1 1 2 2 1 3 3 1 4 4
其中x ≥0(i=1,2,3,4)，求四边形A A BB 面积的最小值．
i 1 1
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5 1参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.A
7.B
8.B
9.ABD
10.AD
11.BCD
12.1
13.7
14.−2
15.解： 把圆 化为标准方程，
(1) C :x2+ y2−2x−8 y+12=0
2
1
(x−1) 2+(y−4) 2=29，得圆心C (1,4)，k =− ，
2 C 2 N 2
1
则直线C N:y−3=− (x−3)，即x+2y−9=0．
2 2
方法一：设圆 的方程为 ，
(2) C (x−a) 2+(y−b) 2=r2 (r>0)
1
则
{(3−a) 2+(1−b) 2=r2,
(3−a) 2+(3−b) 2=r2,
两式相减得8−4b=0，则b=2，又因为a+2b−9=0，
所以 ，故所求圆 的方程为 ．
a=5 C (x−5) 2+(y−2) 2=5
1
方法二：圆心C 线段MN的中垂线方程为y=2，
1
则圆心C 在直线y=2上，
1
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6 1也在直线C N:x+2y−9=0上，
2
解得圆心C (5,2)，
1
圆 的半径 ，
C r=|C M|=√5
1 1
圆 的标准方程 ．
C (x−5) 2+(y−2) 2=5
1
16.(1)因为AB⊥AC，由已知得A A ⊥平面ABC，如图
1
建立空间直角坐标系，所以A (0,0,3)，B(2,0,0)，C (0,2,3)，E(1,0,0)，
1 1
⃗ ⃗
所以A B=(2,0,−3) ，A C =(0,2,0) ，
1 1 1
设平面A BC 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1 1 1
{⃗ ⃗
m⋅A B=0, {2x −3z =0
1 1 1
则 即 ，
⃗ ⃗ 2y =0
m⋅A C =0 1
1 1
⃗
取m=(3,0,2) ，
⃗ ⃗
因为CF=λCC =(0,0,3λ) ，
1
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7 1⃗
所以F(0,2,3λ)，EF=(−1,2,3λ) ，
因为EF//平面A BC ，
1 1
⃗ ⃗
所以 EF⋅m=−3+6λ=0 ，
1
则λ= ．
2
1
(2)因为λ=
3
，所以F(0,2,1)，A ⃗ E=(1,0,0) ，⃗AE=(0,2,1)，
设平面AEF的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
2 2 2
{⃗
n⋅A
⃗
E=0, { x =0
2
则 即 ，
⃗ ⃗ 2y +z =0
n⋅AF=0 2 2
⃗
取向量n=(0,1,−2) ．
设平面A BC 与平面AEF所成角为θ，
1 1
| ⃗ ⃗ |
m⋅n 4 4√65
则cosθ= = = ．
⃗ √13×√5 65
|m||n|
4√65
所以平面AB C 与平面DBE所成角的余弦值为 ．
1 1 65
17.
{ b = √2 ,
解： 由已知得 a 2 解得 ， ，
(1) a=√2 b=1
4 1
− =1,
a2 b2
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8 1x2
所以双曲线C的方程为 −y2=1．
2
(2)设A(x ,y )，B(x ,y )，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my−1，
1 1 2 2
{
m2−2≠0,
{x2
联立
2
−y2=1,
消x得(m2−2)y2−2my−1=0,
Δ=4m2+4(m2−2)>0,
−1
x=my−1, y y = >0,
1 2 m2−2
解得1<m2<2，假设存在实数λ，使得k +k =λk k 恒成立，当k =0(i=1,2)，有一个交点为(−2,1)，此
1 2 1 2 i
时 不满足，故 ，因此 k +k 1 1 ，
m=−1 k k ≠0 λ= 1 2= +
1 2 k k k k
1 2 1 2
2m
{y + y =
1 2 m2−2，
−1
y y =
1 2 m2−2
−2m 2m(m+3)
− +6
1 1 x −2 x −2 (x −2)(y −1)+(x −2)(y −1) (m y −3)(y −1)+(m y −3)(y −1) 2m y y −(m+3)(y + y )+6 m2−2 m2−2 4m2−8m−12
+ = 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 = = =4
k k y −1 y −1 (y −1)(y −1) y y −(y + y )+1 y y −(y + y )+1 −1 2m m2−2m−3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 − +1
m2−2 m2−2
故存在实数λ=4满足条件．
18.解：(1)设等差数列{a }的公差为d，
n
根据题意得，{ a 2 =a 1 +d=6 ，解得 a =3 ， d=3 ，
a =a +4d=15 1
5 1
所以a =3n，
n
所以 b =a =3×3n=3n+1;
n 3n
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9 1(2)(i)方法一：b =b +(n+2−1)d ，
n+1 n n
2⋅3n+1 1 1 n+1
所以d = ， = ⋅ ，
n n+1 d 2 3n+1
n
n+1
设c = ，
n 3n+1
记c 前n项和Q ，
n n
1 1 1 1
Q =2⋅ +3⋅ +4⋅ +⋯+(n+1)⋅ ①
n 32 33 34 3n+1
1 1 1 1 1
Q =2⋅ +3⋅ +4⋅ +⋯+(n+1)⋅ ②
3 n 33 34 35 3n+2
2 2 1 1 1 1 1
①−②得： Q = + + + +⋯ −(n+1)⋅
3 n 32 33 34 35 3n+1 3n+2
1 [ (1) n−1]
1−
2 32 3 1 2 1 1 1 1 ，
= + −(n+1)⋅ = + [ − ]−(n+1)⋅
32 1 3n+2 32 2 32 3n+1 3n+2
1−
3
1 3 1 1 n+1 5 2n+5 1
Q = + [ − ]− = −( )⋅( ) n+1 ，
n 3 4 9 3n+1 2⋅3n+1 12 4 3
5 2n+5 1
T = −( ).( ) n+1;
n 24 8 3
[ 3 9 3 9 ]
方法二：
n+ (n+1)+
1 n+1 n+1 1 2 4 2 4
= = = −
d 2⋅3n+1 6⋅3n 6 3n 3n+1
n
[ 3 9 3 9 ]
所以
+ (n+1)+
，
1 1 1 1 2 4 2 4 1 5 2n+5 5 2n+5
T = + +⋯+ = − = ( − )= −
n d d d 6 3 3n+1 6 4 4⋅3n 24 24⋅3n
1 2 n
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10 1假设数列 中存在 项 ， ， 其中 ， ， 成等差数列 成等比数列，则 ，
(ii) d 3 d d d ( m k p ) d2=d ⋅d
n m k p k m p
所以
(
2⋅3k+1
) 2=
2⋅3m+1．2⋅3p+1，即
(
2⋅3k+1
) 2=
22 ⋅3m+p+2 ，
k+1 m+1 p+1 k+1 (m+1)(p+1)
又因为m，k，p成等差数列，所以2k=m+p，
所以 ，化简得 ，
(k+1) 2=(m+1)(p+1) k2+2k=mp+m+p
所以k2=mp，又2k=m+p，所以k=m=p与已知矛盾，
所以数列{d }中不存在三项d ，d ，d 成等比数列．
n m k p
19.解：(1)因为O在曲线上，所以O到x=a的距离为−a，而|OF|=1，所以有−a×1=1，即a=−1．
(2)方法一：因为a=−1，所以曲线C的方程为|x+1|√(x−1) 2+ y2=1，
1 1
可化为(x−1) 2+ y2=( ) 2 ，即y2=( ) 2−(x−1) 2 ，
x+1 x+1
1 1 −1 1
因此y2=( ) 2−(x −1) 2≤( ) 2 ⇒ ≤ y ≤ ，
0 x +1 0 x +1 x +1 0 x +1
0 0 0 0
−1 1
所以y ≥ ，当且仅当x =1且y =− 时取等号．
0 x +1 0 0 2
0
方法二：同上曲线C的方程为|x+1|√(x−1) 2+ y2=1，
1
因此 =√(x −1) 2+ y2≥√y2≥−y ，
x +1 0 0 0 0
0
−1 1
所以y ≥ ，当且仅当x =1且y =− 时取等号．
0 x +1 0 0 2
0
方法三：如图设点P在x轴，直线x=−1上的射影分别为Q，R，
则根据定义|PF||PR|=1，
1 1
因此|PQ|≤|PF|= ，即 |y |≤ ，
|PR| 0 x +1
0
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11 1−1 1
所以y ≥ ，当且仅当x =1且y =− 时取等号．
0 x +1 0 0 2
0
(3)由|x+1|√(x−1) 2+ y2=1，得(x+1) 2 [(x−1) 2+ y2 ]=1．
1 √2
当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时S = |AB||A B |= ．
AA 1 BB 1 2 1 1 2
当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为θ，由对称性不妨设k>0，
π −1
θ∈(0, )，则直线AB的方程为y=k(x−1)，其中k=tanθ，直线A B 的方程为y= (x−1)，
2 1 1 k
{(x+1) 2 [(x−1) 2+ y2 ]=1,
联立
y=k(x−1),
化简得到(1+k2 )x4−2(1+k2 )x2+k2=0，
{
x2+x2=2,
1 2
所以 k2
x 2x2=
1 2 1+k2
k tanθ
则x x = = =sinθ，
1 2 √1+k2 √1+tan2θ
故|x −x |=√x2+x2−2x x =√2−2sinθ，
1 2 1 2 1 2
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12 1√ sin2θ √2−2sinθ √ 2
|AB|=√1+k2|x −x |= 1+ √2−2sinθ= = ，
1 2 cos2θ cos2θ 1+sinθ
2 √ 2
|A B |= =
同理 1 1 √ π 1+cosθ，所以
1+sin(θ+ )
2
1 1
S = |AB||A B |= ，
AA 1 BB 1 2 1 1 √1+sinθ+cosθ+sinθcosθ
令y=1+sinθ+cosθ+sinθcosθ，
π
令t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+ )，
4
π
因为θ∈(0, )，
2
t2−1
所以t∈(1,√2]，t2=1+2sinθcosθ，即sinθcosθ= ，
2
t2 1 π 3+2√2
所以y= +t+ 在(1,√2]上单调递增，当t=√2，即θ= 时，y = ，
2 2 4 max 2
√ 2 √2
此时S = =√2(3−2√2)=2−√2< ，
AABB 3+2√2 2
综上所述四边形A A BB 面积的最小值为2−√2．
1 1
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13 1
