文档内容
北京市朝阳区 2024~2025 学年度第一学期期中质量检测
高三数学试卷
2024.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 若函数 在 处取得最小值，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
的
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增 是（ ）
.
A B.
C. D.
4. 如图，在 中， ， ，则（ ）A. B.
C. D.
5. 已知单位向量 ， 满足 ，设向量 ，则向量 与向量 夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日
织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子
每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）
.
A 1天 B. 2天 C. 3天 D. 4天
7. 已知 均为第二象限角，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 若直线 与函数 的图象有且只有一个公共点，则实
数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在三棱锥 中，棱 ， ， 两两垂直，点 在底面 内，已知点 到 ， ，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段 的长为（ ）
A. B. C. 3 D.
10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记 为集合 的元素个数， 为
集合 的子集个数，若集合 满足：① ， ；②
，则 的最大值是（ ）
A. 99 B. C. D. 96
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 __________．
12. 在 中，已知 ，则 __________； ________.
13. 已知数列 的前n项和为 （A，B为常数），写出一个有序数对 ________，
使得数列 是递增数列.
14. 某种灭活疫苗的有效保存时间 （单位： ）与储藏的温度 （单位：℃）满足函数关系 （
为常数，其中 ）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时
间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.
15. 对于无穷数列 ，若存在常数 ，使得对任意的 ，都有不等式
成立，则称数列 具有性质 . 给出下列四个结论：①存在公差不为 的等差数列 具有性质 ；
②以 为首项， 为公比的等比数列 具有性质 ；
③若由数列 的前 项和构成的数列 具有性质 ，则数列 也具有性质 ；
④若数列 和 均具有性质 ，则数列 也具有性质 .
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求b及 的面积.
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
.
（1）求证： 平面PAD；
（2）求平面 与平面PCD的夹角的余弦值；
的
（3）记平面 与平面PCD 交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.
18. 已知函数 .（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 存在极小值，求 的取值范围.
19. 设函数 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）已知 在区间 上单调递增，且 是函数 的图象的对称轴，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求ω，φ的值.
条件①：当 时， 取到最小值；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
.
20 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数；
（3）若 ，其中 ，求证： .
21. 若有穷正整数数列A： ， ， ，…， 满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的 ，都存在正整数 ，使得
.
（1）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；
（2）已知数列A： ， ， ，…， 是T数列.
（i）证明：对任意的 ， 与 不能同时成立；
（ii）若n为奇数，求 的最大值.
