文档内容
山东省实验中学 2023 级十月测试
数学试题
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，
第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知点 关于z轴的对称点为B，则 等于（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 如图，在斜三棱柱 中，M为BC的中点，N为 靠近 的三等分点，设 ，
， ，则用 ， ， 表示 为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的一个方向向量为 ，且经过点 ，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 .若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. “ ”是“直线 与 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 正四面体 的棱长为2，点D是 的中点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为 ，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
8. 设动点 在棱长为 的正方体 的对角线 上， ，当 为锐角时，
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）A. 与 垂直 B. 与 共线
C. 与 所成角为锐角 D. ， ， ，可作为空间向量的一组基底
10. 已知两直线 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意实数m，直线 ， 的方向向量都不可能平行
在
B. 存 实数m，使直线 垂直于x轴
C. 存在实数m，使直线 ， 互相垂直
D. 当 时，直线 的方向向量不存在
11. 在正三棱柱 中， ，点 满足⃑BP=λ⃑BC+μ⃑BB ，其中 ，
1
，则（ ）
A. 当 时， 的周长为定值
B. 当 时，三棱锥 的体积为定值
C. 当 时，有且仅有一个点 ，使得
D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ＝_____.
13. 已知点 ， ，直线 是过点 且与线段AB相交且斜率存在，则 的斜率 的取
值范围是____________14. 在 中，已知 ， 边上的高线所在的直线方程为 ， 边上的高线所在的直
线方程为 .则 边所在的直线方程为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中三点 ，设 .
（1）若 ，且 ，求向量 ；
（2）求以 为一组邻边的平行四边形的面积 .
16. 如图，四棱锥 中， 平面ABCD，四边形ABCD是梯形， ， ，
， ，点E是AP的中点，F是PB上的点， .
（1）求证：点F在平面ECD内；
（2）求点P到平面ECD的距离.
17. 已知直线l过点 ，O为坐标原点．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且 面积为24．
ⅰ）求直线l方程；
ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且 交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使 为等腰
直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 底面 ，
，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段 上．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ，若直线 与平面 所成的角 的正弦值为 ，求 的值．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球 的半径为 ， 为球面上
三点，劣弧 的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过 的圆，同理，圆 ， 的劣弧
的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角 ，
， 分别为 ， ， ，则球面三角形的面积为 .的
（1）若平面 ，平面 ，平面 两两垂直，求球面三角形 面积；
（2）若将图一中四面体 截出得到图二，若平面三角形 为直角三角形， ，设
， ， .
①求证： ；
②延长 与球 交于点 ，连接 ，若直线 与平面 所成 角的分别为 ， ，
， ， 为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求
的最小值.山东省实验中学 2023 级十月测试
数学试题
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，
第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知点 关于z轴的对称点为B，则 等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.
【详解】点 关于z轴的对称点为B ，
所以 .
故选：A.
的
2. 如图，在斜三棱柱 中，M为BC 中点，N为 靠近 的三等分点，设 ，
， ，则用 ， ， 表示 为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：A
3. 直线的一个方向向量为 ，且经过点 ，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得
直线的一个法向量为 ，则设直线为 ，再将 代入求出 ，从而可得直线方程.
【详解】方法一 ∵直线的一个方向向量为 ，∴ ，
∴直线的方程为 ，即 ．
方法二 由题意知直线的一个法向量为 ，
∴直线的方程可设为 ，将点 代入得 ，
故所求直线的方程为 ．
故选：B
4. 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 .若 ，
则 的值为（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，则 ，即可得到方程组，解得 、 的值，即可得解.
【详解】因为直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 且
，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：B
的
5. “ ”是“直线 与 平行” （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件，判断“ ”和“直线 与 平
行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当 时，直线 与 平行；
当直线 与 平行时，
有 且 ，解得 ，
故“ ”是“直线 与 平行”的充要条件，
故选：C6. 正四面体 的棱长为2，点D是 的中点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取 为空间向量的一个基底，利用空间向量运算求解即得.
【详解】棱长为2的正四面体 中，向量 两两的夹角都为 ，
由点D是 的中点，得 ，而 ，
所以
.
故选：D
7. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为 ，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为 ，则 ，可得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.
【详解】
以正方形 的顶点 为坐标原点，建立如图坐标系，
根据题意，对角线 的斜率为 ，设其倾斜角为 ，
则正方形 的倾斜角分别为 ，
又 ，
所以两直角边 的斜率分别为 或 .
故选: B.
8. 设动点 在棱长为 的正方体 的对角线 上， ，当 为锐角时，
的取值范围是（ ）.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系， 为锐角等价于 ，即 ，根据
向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系：则 ， ， ， ，
， ，
， ，
所以 ，
，
由 为锐角得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得： ，
当 时，点 位于点 处，此时 显然是锐角，符合题意，
所以 ，故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是 为锐角等价于 ，即 ，
还需利用 ， 求出⃑PA、 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求
解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 垂直 B. 与 共线
C. 与 所成角为锐角 D. ， ， ，可作为空间向量的一组基底
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算出 即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算 并判断 与 是
否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.
【详解】对A： ，故 与 不垂直，故A错误；
对B：由 、 ，有 ，故 与 共线，故B正确；
对C： ，且 与 不共线，
故 与 所成角为锐角，故C正确；
对D：由 与 共线，故 ， ， 不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10. 已知两直线 ， ，则下列说法正确的是（ ）A. 对任意实数m，直线 ， 的方向向量都不可能平行
B. 存在实数m，使直线 垂直于x轴
C. 存在实数m，使直线 ， 互相垂直
D. 当 时，直线 的方向向量不存在
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解.
【详解】若两直线的方向向量平行，则 ，则 无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故
A正确，
由于 的斜率为 ，所以直线 不可能垂直于x轴，B错误，
当 时，此时 ， ，此时两直线垂直，C正确，
当 时，直线 ，则其方向向量可以为 ，故D错误，
故选：AC
11. 在正三棱柱 中， ，点 满足⃑BP=λ⃑BC+μ⃑BB ，其中 ，
1
，则（ ）
A. 当 时， 的周长为定值
B. 当 时，三棱锥 的体积为定值
C. 当 时，有且仅有一个点 ，使得
D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【答案】BD【解析】
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数．
【详解】
易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时，⃑BP=⃑BC+μ⃑BB =⃑BC+μ⃑CC ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故
1 1
A错误；
对于B，当 时，⃑BP=λ⃑BC+⃑BB =⃑BB +λ⃑B C ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ，
1 1 1 1
平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
1
对于C，当 时，⃑BP= ⃑BC+μ⃑BB ，取 ， 中点分别为 ， ，则⃑BP=⃑BQ+μ⃑QH，所以
2 1
点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ，
( √3 ) ( 1 )
，则⃑A P= − ,0,μ−1 ，⃑BP= 0,− ,μ ，⃑A P⋅⃑BP=μ(μ−1)=0，所以 或
1 2 2 1
．故 均满足，故C错误；1
对于D，当 时，⃑BP=λ⃑BC+ ⃑BB ，取 ， 中点为 ．⃑BP=⃑BM+λ⃑MN，所以 点轨
2 1
(√3 ) ( √3 1) ( √3 1 )
迹为线段 ．设 ，因为A ，0,0 ，所以⃑AP= − ,y , ，⃑A B= − , ,−1 ，
2 2 0 2 1 2 2
所以 ，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ＝_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.
【详解】向量 与 垂直，则有 ，解得 ，
于是 ，
所以 .
故答案为：
13. 已知点 ， ，直线 是过点 且与线段AB相交且斜率存在，则 的斜率 的取
值范围是____________【答案】
【解析】
【分析】利用斜率计算公式可得 ， ，根据直线 过点 且与线段 相交，数形结合即可求
出直线 的斜率 的取值范围．
【详解】因 为， ， ，
所以 ， ．
直线 过点 且与线段 相交，如下图所示：
或 ，
直线 的斜率 的取值范围是： ．
故答案为： ．14. 在 中，已知 ， 边上的高线所在的直线方程为 ， 边上的高线所在的直
线方程为 .则 边所在的直线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由 边上和 边上的高线所在的直线方程，可得 边和 边所在直线的斜率，再由 点
坐标，可求 边和 边所在直线的方程，通过联立方程组，求出 两点的坐标，可求 边所在的
直线方程
【详解】 边上的高线所在的直线方程为 ，得 ，
边上的高线所在的直线方程为 ，得
已知 ，则AC边所在的直线方程为 ，即 ，
则AB边所在的直线方程为 ，即 .
由 ，得 ．
由 ，得 ．
则BC边所在的直线方程为 ，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中三点 ，设 .（1）若 ，且 ，求向量 ；
（2）求以 为一组邻边的平行四边形的面积 .
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；
（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可.
【小问1详解】
由 可得 ，
若 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 或 .
【小问2详解】
由 可得 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 .
16. 如图，四棱锥 中， 平面ABCD，四边形ABCD是梯形， ， ，
， ，点E是AP的中点，F是PB上的点， .（1）求证：点F在平面ECD内；
（2）求点P到平面ECD的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的共面定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
又因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
所以如图所示，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，
则
所以 ，设
则 ，解得 ，所以
所以点F在平面ECD内.
【小问2详解】
设平面 的一个法向量为 ，
由（1）知
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
又因为 ，
所以点P到平面ECD的距离 .
17. 已知直线l过点 ，O为坐标原点．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且 面积为24．
ⅰ）求直线l方程；ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且 交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使 为等腰
直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） 或
（2）ⅰ） ，ⅱ） ， ，
【解析】
【分析】（1）分类讨论截距是否为零，计算即可；
（2）利用截距式结合面积公式计算可得第一小问，利用等腰直角三角形的特征分类讨论计算即可.
【小问1详解】
若直线过原点，易知其方程为： ；
若直线不过原点，不妨设其方程为： ，
代入点 得 ，即 ；
【小问2详解】
i）由截距式设直线 的方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ；
ⅱ）若存在 为等腰直角三角形，不妨设 ， ，则 ，
因为 为等腰三角形，
当M为直角顶点时，设 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 或 （舍），所以 ，即点 ；
当Q为直角顶点时，点 ， ，符合题意；
当P为直角顶点时，设 ，由 可得： ，
所以 ， ；
综上所以 ， ， ，符合题意．
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 底面 ，
，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段 上．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ，若直线 与平面 所成的角 的正弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明 ， ，推出 ，然后证明 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量法求解即可.【小问1详解】
在平行四边形 中，因为 ， ，
所以 ，故 ，
由E、F分别为 的中点，得 ，所以 ，
因为 底面 ， 底面ABCD，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
因为 底面 ， ，所以 两两垂直，
分别以 所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0,0,0)，
所以 ，由已知 ，
即 ，所以
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，所以 ，
化简得 ，故 或 （舍）.
所以 .
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球 的半径为 ， 为球面上
三点，劣弧 的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过 的圆，同理，圆 ， 的劣弧
的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角 ，
， 分别为 ， ， ，则球面三角形的面积为 .
（1）若平面 ，平面 ，平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
（2）若将图一中四面体 截出得到图二，若平面三角形 为直角三角形， ，设
， ， .
①求证： ；
②延长 与球 交于点 ，连接 ，若直线 与平面 所成的角分别为 ， ，， ， 为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求
的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；② .
【解析】
【分析】（1）根据平面 ，平面 ，平面 两两垂直，得 ，即可求解；
（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；
②建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
解：因为平面 ，平面 ，平面 两两垂直，
所以 ，
所以球面三角形ABC的面积 ；
【小问2详解】
解：①证明：由余弦定理可得：
，且 ,
所以 ，
即 ，
消去 ，则有：即 ；
②由题意可知 是球的直径，则有 ,
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ,
又因为 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为直线 与平面 所成的角分别为 ， ，
所以 ，
不妨令 ，
则 ， ，
又因为 , , ,
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系：
设 ，
则可得 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
所以 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
所以 ，
要使 取最小值，则 取最大值，
因为令 ，
则 ，
所以
当且仅当 时等号成立，
则 的最大值为 ，
所以 取最小值为 .
【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.
