文档内容
北京市朝阳区 2024~2025 学年度第一学期期中质量检测
高三数学试卷
2024.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可得答案.
【详解】因为集合 ，集合 ，
所以 .
.
故选：A
2. 若函数 在 处取得最小值，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 ，得出结果 .【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴最小值点 ，即 .
故选；C
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于A，函数 为指数函数，不具备奇偶性，故A错误；
对于B，函数 的定义域为 ，
由于 为偶函数，故B错误；
对于C，函数 ，由正切函数的性质可知 为奇函数，
且在 单调递增，故C错误；
对于D，函数 的定义域为 ，由 ，故函数 为奇函数，
因为 ，
所以函数 在 单调递增，故D正确.
故选：D.
4. 如图，在 中， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的线性关系即可得到结果.
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故AB选项错误；∴ ，故C选项正确，D选项错
误.
故选：C
5. 已知单位向量 ， 满足 ，设向量 ，则向量 与向量 夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出 ， ，再利用向量夹角公式即可得到答案
【详解】解： ，
，
所以 ，
故选：C.
6. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日
织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子
每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）
A. 1天 B. 2天 C. 3天 D. 4天
【答案】B
【解析】
【分析】设这女子每天分别织布 尺，则数列 是等比数列，公比 ．利用等比数列的通项公式及
其前 项和公式即可得出．
【详解】设这女子每天分别织布 尺，
则数列 是等比数列，公比 ．则 ，解得 ．
数列 的通项公式为 ，
，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
故超过1尺的天数共有2天.
故选：B．
7. 已知 均为第二象限角，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可.
【详解】由题意， 若 ，因为 均为第二象限角，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，且 均为第二象限角，
所以 ，所以 ，即充分性成立.
若 ，因为 均为第二象限角，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 均为第二象限角，所以 ，
所以 ，故必要性成立,
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
8. 已知函数 若直线 与函数 的图象有且只有一个公共点，则实
数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过导数求出直线 与分段函数各段相切对应的 值，并结合图象即可求解.
【详解】当 时，函数 ，则 ，
令 ，解得 ，
故直线 与 相切，即 .
当 时，函数 ，则 ，
令 ，解得 ，
故直线 与 相切，即 .
如图所示，当 或 时，直线 与分段函数 有且仅有一个公共点.
故实数 的取值范围为 或 .故选：B.
9. 在三棱锥 中，棱 ， ， 两两垂直，点 在底面 内，已知点 到 ， ，
所在直线的距离分别为1，2，2，则线段 的长为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由棱 ， ， 两两垂直建立空间直角坐标系，设点 坐标，分别表示出 到三条轴的距
离，然后得出|OP|的值.
【详解】如图，棱 ， ， 两两垂直，
可以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.
设 ，由题意可得： ，∴ ，∴ ，
故选：A
10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记 为集合 的元素个数， 为
集合 的子集个数，若集合 满足：① ， ；②
，则 的最大值是（ ）
A. 99 B. C. D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据元素个数得到子集个数，即 ，分析出
，即可求解.
【详解】设 ，
则 ，即 ，
所以 ,
若 ,则 ，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
若 ，则 ，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以 ,即 ，
因为 ，
且满足 ，
所以 包含了 的 个元素外，还包含 个属于 而不属于 的元素，
当 时，则 ,
如 ，符合题意.
当 时，则 ,
如 ，符合题意.
所以 的最大值为 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的
关键由已知条件求 ，再分 和 讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较
大.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 __________．
【答案】 ;
【解析】
【详解】 ，故答案为
12. 在 中，已知 ，则 __________； ________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系，结合诱导公式即可求解.【详解】因为 ， ，又 ，故 ；
.
故答案为： ； .
13. 已知数列 的前n项和为 （A，B为常数），写出一个有序数对 ________，
使得数列 是递增数列.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据数列的前n项和 与数列通项 的关系根据相减法即可得 的通项，再根据数列的单调
性可得 的范围，从而可得有序数对 的取值.
【详解】数列 的前n项和为 ,
当 时， ，
所以 ，
即 ，
当 时， 符合上式，
综上， ，
若数列 是递增数列，则 ，即 ，
故符合的有序数对 可以为 .故答案为： （答案不唯一）.
14. 某种灭活疫苗的有效保存时间 （单位： ）与储藏的温度 （单位：℃）满足函数关系 （
为常数，其中 ）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时
间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.
【答案】90
【解析】
【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，通过待定系数法即可求得结果.
【详解】由题意， ，
解得 ，
当 时， ，
故该疫苗在 时的有效保存时间是 小时.
故答案为： .
15. 对于无穷数列 ，若存在常数 ，使得对任意的 ，都有不等式
成立，则称数列 具有性质 . 给出下列四个结论：
①存在公差不为 的等差数列 具有性质 ；
②以 为首项， 为公比的等比数列 具有性质 ；
③若由数列 的前 项和构成的数列 具有性质 ，则数列 也具有性质 ；
④若数列 和 均具有性质 ，则数列 也具有性质 .的
其中所有正确结论 序号是________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】对于①，可使用反证法证明①错误；对于②，取 ，并验证{a }具有性质 即可；
n
对于③和④，结合已知条件取适当的常数，并验证相应的数列具有性质即可.
【详解】对于①，假设存在公差为 的等差数列{a }具有性质 ，则存在常数 ，
n
使得对任意 的，都有不等式 成立.
则对任意的 ，都有 ，
但这对大于 的正整数 显然不成立，矛盾，故①错误；
对于②，设{a }是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ， .
n
所以正实数 满足对任意的 ，都有
.故②正确；
对于③，若由数列{a }的前 项和构成的数列 具有性质 ，则存在常数 ，
n
使得对任意的 ，都有不等式 成立.
从而正实数 满足对任意的 ，都有.故③正确；
对于④，若数列{a }和{b }均具有性质 ，存在常数 ，使得对任意的 ，
n n
都有不等式 成立；也存在常数 ，
使得对任意的 ，都有不等式 成立.
从而正实数 满足对任意的 ，都有
.故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解性质 的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求b及 的面积.【答案】（1）2 （2） ，
【解析】
【分析】（1）结合正弦定理边化角化简已知等式，再根据三角形中角度关系与正弦函数取值即可得结论；
（2）结合余弦定理求得 关系，从而可得 大小，再根据面积公式求解即可得答案.
【小问1详解】
因为 ，有正弦定理得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又因为 ，所以 ， 所以 ，
由正弦定理可得 ；
【小问2详解】
因为 ， ，
所以由余弦定理得 ，
又由（1）可知， ，所以 ，
整理得 ，即 ，
所以 ， 所以 ，
所以 面积为 .
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，.
（1）求证： 平面PAD；
（2）求平面 与平面PCD的夹角的余弦值；
（3）记平面 与平面PCD的交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由线面垂直可得 ，由根据线线平行与线线垂直可得 ，根据线面垂直的
判定定理即可得证所求；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面PAB与平面PCD的法向量，再根据面面夹
角余弦公式求解即可得答案；
（3）根据线面平行判定定理得 平面PCD，再根据线面平行的性质定理即可得结论.
【小问1详解】
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
又因为 平面PAD，所以 平面PAD.
【小问2详解】
由（1）可知， ， ， ，
如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，则 ， ， ， ，
则 ， ，
设平面PAB的一个法向量为 ，
由 得 所以 ，令 ，则 ，
又因为 平面PCD，所以 是平面PCD的一个法向量.
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则
.
【小问3详解】
直线 .理由如下：
因为 ， 平面PCD， 平面PCD，所以 平面PCD，
又因为 平面PAB，平面 平面 ，所以 .
18. 已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 存在极小值，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入 ，得 ，求导并利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数
的最值；
（2）先求导数，分类讨论 和 时函数 的单调性，并根据函数有极小值求解 的取值范围.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，
当 时， ，
时， ， 在区间 上单调递减，
时， ， 在区间 上单调递增.
所以当 时， 取得最小值 .
【小问2详解】
函数 的导函数为 .（1）当 时， ， 在区间 上单调递减，
所以 无极值.
（2）当 时，令 ，得 .
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
x
- 0 +
↘ 极小值 ↗
.
由上表知，当 时， 取得极小值
综上， 的取值范围为 .
19. 设函数 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）已知 在区间 上单调递增，且 是函数 的图象的对称轴，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求ω，φ的值.
条件①：当 时， 取到最小值；
条件②： ；条件③： 在区间 上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）代入参数值得到函数关系，求函数值；
（2）先由三角恒等变换化简三角函数，选择条件①由函数图像的性质得到两条对称轴即可求出周期，从
而解出 的值，代入函数值求得 的值；选择条件③由函数图像的性质得到两条对称轴即可求出周期，从
而解出 的值，代入函数值求得 的值；选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②.
【小问1详解】
由 ， ，得 .
则 ；
【小问2详解】
，
，
.
选择条件①：
因为 在区间 上单调递增，
且 是函数 的图象的对称轴，又当 时， 取到最小值，所以 ，
故 .
因为 ，所以 .
所以 ， .
又因为 ，
所以 ，得 .
又因为 ，所以 .
选择条件③：
因为 在区间 上单调递增，
且 是函数 的图象的对称轴，
又 在区间 上单调递减，所以 ，
故 .
因为 ，所以 .
所以 ， .
又因为 ，所以 ，得 .
又因为 ，所以 .
选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②.
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数；
（3）若 ，其中 ，求证： .
【答案】（1）
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化简转化可得
所求；
（2）分当 和 两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零点个数，从而
得结论；
（3）设 ，求导确定函数 的单调性与取值情况，从而可得结论.
【小问1详解】
由 ，得 且 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 .
【小问2详解】
①当 时， ， ，所以 .
所以 在区间 上无零点；②当 时， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，
所以 在区间 上仅有一个零点，
综上， 在区间 上的零点个数为1.
【小问3详解】
设 ，即 ，
所以 ，
设 ， ，
因为 时， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
故 ，所以 在区间 上单调递增.
故 ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
21. 若有穷正整数数列A： ， ， ，…， 满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①
；②对任意的 ，都存在正整数 ，使得.
（1）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；
（2）已知数列A： ， ， ，…， 是T数列.
（i）证明：对任意的 ， 与 不能同时成立；
（ii）若n为奇数，求 的最大值.
【答案】（1）数列A不是T数列，理由见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据T数列的定义分别验证条件①②即可判断数 是否为T数列；
（2）（i）利用反证法假设存在 ，使得 ，分别根据条件①②验证假
设，即可得结论；（ii）由条件①②可得 ，根据数列不等式以及数列求和即可得结论.
【小问1详解】
数列A不是T数列，理由如下：
对于数列A，因为 ， ，且对任意的正整数 ，有
，
所以数列A不满足性质②，所以数列A不是T数列；
数列B是T数列，理由如下：
对于数列B，因为 ， ， ， ，
所以数列B满足性质①，
又因为 ， ， ， ，
， ， ，所以数列B满足性质②.
所以数列B是T数列.
【小问2详解】
（i）假设存在 ，使得 ，
由性质①，可得 ，
由性质②，存在正整数 ，使得 ，
又因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
而 ，矛盾，
所以 与 不能同时成立；
（ii）由性质①，当 时，可得 ，
又因为 ， 为正整数，所以 ，
由性质②，对任意的 ，有 ，
因为对任意 ， ，
所以 ，
所以
，
当 ， ，
（ ）时，上述不等式取到等号，且此时数列A满足①和②，是T数列，
综上， 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键是对“T数列”的定义与理解，证明部分关键是灵活运用反证法，求和部
分结合不等式的性质进行放缩处理.
