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重庆高三数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.1
3.若函数 的最小正周期为 ，则 （ ）
A. B.3 C. D.
4.已知向量 ， ， ，则 （ ）
A.6 B.4 C. D.
5.已知变量 和 的统计数据如下表.
80 90 100 110 120
y 120 140 165 180
若 ， 线性相关，经验回归方程为 ，则 （ ）
A.155 B.158 C.160 D.162
6.若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.已知 ， ， 是球 的球面上的三个点，且 ，球心 到平面 的距离为
1，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数 来刻画梁的承重能
力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为 ，则抗弯截面系数 ；若梁的截面形状是正方形，
且正方形截面的边长为 ，则抗弯截面系数 ；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为
，宽为 ，则抗弯截面系数 .若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则
（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆 的离心率为 ，则 的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在 上单调递增
学科网（北京）股份有限公司C.函数 的零点从小到大依次记为 ，若 ，则 的取值范围为
D.若函数 在 上恰有4个零点，则 的取值范围为
11.已知 ， ，定义运算 .规定 ，且当 ，
时，总有 则（ ）
A.
B.
C. ， ，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为__________.
13.已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则 __________.
14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是 右支上一点，过 作 的角平
分线的垂线，垂足为 .若 是圆 上任意一点，则 的取值范围为
__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
学科网（北京）股份有限公司的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， .
（1）求 ；
（2）若 外接圆的半径为5，求 的面积.
16.（15分）
一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球， 个白球，这些球除颜色外完全相同.若从盒子中随机摸出
1个球，则白球被摸出的概率为 .
（1）求 的值.
（2）现从盒子中一次性随机摸出4个球.
①求三种颜色的球都被摸出的概率；
②记摸出的球的颜色种类为 ，求 的分布列与期望.
17.（15分）
如图，在直四棱柱 中， ， ， ，
， ， 的中点分别为 ， .
（1）证明： .
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（17分）
已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 相切.
（1）求 的方程.
（2）过点 且与 平行的直线 与 相交于 ， 两点，求 .
（3）已知点 ，直线 与 相交于 ， 两点（异于点 ），若直线 ， 分别和以 为圆
学科网（北京）股份有限公司心的动圆相切，试问直线 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
19.（17分）
已知函数 ， ， .
（1）证明： .
（2）讨论函数 在 上的零点个数.
（3）当 ， 时，证明： ， .
学科网（北京）股份有限公司重庆高三数学考试参考答案
1.B 因为 ，所以 .
2.A 因为 ，所以 .
3.D 因为 的最小正周期为 ，所以 ，得 .
4.C 因为 ， ， ，所以 ， ，
则 .
5.A 由表中数据可得 ，代入经验回归方程可得 ，则
.
6.C ，
.
7.B 设球O的半径为R， 外接圆的半径为r，则 .因为球心O到平面ABC的
距离为1，所以 ，从而球O的表面积为 .
8.D 记这三种截面的周长为C，则 ，从而 ，
， .由 ，得 .
令 ， ，则 ，
显然 在 上恒成立，
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增，因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 .
9.BD 因为 恒成立，所以由C的离心率为 ，得 ，解得 或 .
10.AC 由题可知， ，A正确.作出 的部分图象，可知 在 上单调递增，
在 上单调递减，B不正确.由 ，得 ，根据函数的对称性可知，当 时，
可知 ， 是方程 的两个不同的根，且 ， ，根据 的图象可知，a的取值范围
为 ，C正确.当函数 在 上恰有4个零点时，根据 的图象可知，a的取
值范围为 ，D不正确.
11.ACD 由题可知， ，A正确.当 ，且 时， ，
所以 .令 ，
则由 ，
可得 ，B不正确.
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以
，C正确.
，从而 ，
即 ，D正确.
12. 因为 ，所以 ，则 ，从而曲线
在点 处的切线方程为 ，整理得 .
13.2500 由 ，得 ，解得 .当 时，由 ，得
，两式相减得 ，整理得 .
因为 ，所以 ，则 是以1为首项，2为公差的等差数列，
从而 .
14. 延长 ， ，使之交于点Q（图略），因为PM平分 ， ，
所以 ，M为 的中点.又坐标原点O为 的中点，
所以 ，
故M在以O为圆心，2为半径的圆上.由 ，得 ，
则N在以 为圆心，2为半径的圆上.因为 ，所以 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司15.解：（1）因为 ，所以 .
又 ，所以 ，则
则 ，即 或 ，即
因为 ，所以 ，则 .从而 .
（2）因为 外接圆的半径为5，所以
由（1）可得 ，则 .由 ，得
因为 ，所以 ，得 ，则 ，
故 的面积 .
16.解：（1）由题可知，从盒子中随机摸出1个球，白球被摸出的概率
（2）①从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有 种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有 种，
故三种颜色的球都被摸出的概率 .
②由题可知，X的取值可能为1，2，3，
且 ， ， ，
X的分布列为
1 2 3
学科网（北京）股份有限公司.
17.（1）证明：连接BD.因为 ， ，
所以 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 为等边三角形.
取AD的中点E，连接BE，PE，则
又P是 的中点，四棱柱 为直四棱柱，所以
因为 ，所以 平面PBE，因为 平面PBE，所以 .
（2）解：由题易知DC，DA， 两两垂直，故以D为坐标原点，DC，DA， 所在直线分别为x，
y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ， ， ，
， .
因为 ，所以 ，解得 ，
从而 ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面BPQ的法向量为 ，
由 得 ，
令 ，得 .
易知平面 的一个法向量为 ， ，
故平面BPQ与平面 夹角的余弦值为 .
18.解：（1）联立 整理得 .
因为 与W相切，所以 ，
解得 或 （舍去），故W的方程为 .
（2）由（1）可知 .因为 ，所以 的方程为 .设 ， .
联立 整理得 ，则 ， ，
.
（3）设 ， ，则直线l的方程为 ，①
直线AP的方程为 ，直线BP的方程为
设动圆F的半径为r， .
因为直线AP和圆F相切，所以 ，
整理得 ，
学科网（北京）股份有限公司同理可得
所以a，b是一元二次方程 的两个实数根，
则 ， ，代入①式整理得
由 ，得 ，此时 ，故直线AB恒过定点 .
19.（1）证明：因为 ， ，所以 .
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
从而 ，则 .
（2）解：因为 ， ，
所以 .
当n为奇数时， 在 上恒成立，则 在 上单调递减
因为 ， ，所以 在 上的零点个数为1.
当n为偶数时， ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
从而 ，
所以 在 上的零点个数为0.
学科网（北京）股份有限公司（3）证明：由（2）可知，当 ， 时，
要证 ， ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 .
由（1）可知， ，当且仅当 时，等号成立.
令 ，可得 ，
故
从而 ， .
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